【正文】 究結(jié)果表明 , 金融時間序列 的方差是隨時間變化的 , 如股票 市場 收益率、 利率、 通貨膨脹率、 匯 率 等 , 特別是 股票市場收益率 的表現(xiàn) , 在某 個時間段波動 較 大 , 而在另一時間段 波動 較小 . 對于這種具有“尖峰 厚 尾、波動 聚集性 ”等現(xiàn)象的 金融 時間序列 數(shù)據(jù) , 不能用 傳統(tǒng) 計量 經(jīng)濟 模型 來擬合 . 但 我們可以發(fā)現(xiàn) ：殘差序列的方差呈現(xiàn)某種自相關(guān) . Engle 的 ARCH 模型很好地埔捉到了金融時間序列數(shù)據(jù)的這個特點 . ARCH 模型的全稱是自回歸條件異方差 (auto regressive conditional heteroskedasticity, ARCH)模型 , 該模型是由美國經(jīng)濟學(xué)家 [4] Engle(1982) 提出的 , 主要用于具有“ 波動 聚集性 ”及方差隨時間變化特點的金融時間序列數(shù)據(jù)的 建模分析和統(tǒng)計推斷 . ARCH 模型的定義 設(shè) 1t?? 表示時刻 1t? 及時刻 1t? 以前的所有信息的集合 , 對于序列 {}ta , 如果 1|t t t tah??? ? , () 220 1rt i t iiha??????? , () iiN(0,1)t?～ . () 則稱序列 {}ta 是一個 ARCH(r)序列 (過程 ), 式 ()～ ()稱為 ARCH(r)模型 . 其中的iiN(0,1)表示獨立同標準正 態(tài) 分布 . 顯然 , 在任何時刻 t , ta 的條件期望 及 條件方差分別為 1( | ) 0ttEa ?? ? , () 21( | )t t tVar a h? ? ? , () ta 的條件分布 為 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計學(xué)院 2020 屆畢業(yè)論文 4 21| ii N ( 0 , )t t tah? ? ～ . () 一般要求 0 0,?? 0( 0),i i? ?? 以保證條件方差為正 . 容易 看出 , 序列 {}ta 的條件方差是一個隨時間變化的量 (即條件異方差 ), 這個隨時間變化的條件方差是序列 {}ta 的過去有限項平方的線性組合 (即自回歸 ), 因此 , 該模型稱為自回歸條件異方差 模型 . 為了方便 , 有時也將 ARCH(r)模型式 ()～ ()寫成如下形式： 12 210 1| ( )rt t i t iiaa? ? ?????? ? , () iiN(0,1)t?～ . () 或者 21| ii N (0, )t t tah? ? ～ , () 220 1rt i t iiha??????? . () ARCH 模型的特點 1) ARCH 序列呈現(xiàn)出波動的聚集性 (voiatility clustering)效應(yīng) , 即較大幅度的波動后面傾向于跟著一個較大幅度的波動 , 較小幅度的波動后面傾向于跟著一個較小幅度的波動 . 2) 用 ARCH 模型 能 夠 比較 精確地估計 模型 參數(shù) , 提高預(yù)測精度 以及可靠性 . 當(dāng) ARCH 效應(yīng)存在時 , 若仍使用傳統(tǒng)經(jīng)濟模型進行參數(shù)估計及統(tǒng)計推斷 , 就會產(chǎn)生較大偏差 。 如果使用 ARCH 模型 , 則可以克服上述不足，從而提高預(yù)測值的精度 和預(yù)測的可靠性 . 3) ARCH 模型的一個顯著特點是給出了計算時間序列的條件方差得方法 , ARCH 模型的 另一重要特征 是發(fā)現(xiàn)了金融時間序列中比較 顯著 的變化是可預(yù)測的 . 4) ARCH 模型 把方差與條件方差區(qū)分了開來 , 并假定條件方差是滯后殘差的函數(shù) , 這為解決異方差問題提供了新的方法 . ARCH 模型的不足 1) 條件方差方程中的參數(shù) 受到過度約束 , 要求條件方差方程中的參 數(shù) 全 是非負的 . 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計學(xué)院 2020 屆畢業(yè)論文 5 2) 限制 金融時間序列的條件分布 為正態(tài)分布 . 實際上 , 大量研究 表明 , 對 條件分布為正態(tài)分布所建立的 ARCH 模型進行殘差分析、標準化殘差擬合檢驗時卻常拒絕 條件分布 為正態(tài)分布 . 3) 把條件方差 2th 看成 2tia? 的 線性函數(shù) , 而 實際生活中 線性情況 并不多見 。 因此 , ARCH 模型 不能很好地擬合非線性的情況 . 4) 條件方差 2th 只與 2tia? 有關(guān) , 而與 tia? 的正負無關(guān) . 實際 上 , 條件方差 2th 還取決于tia? 的符號的正負 , 如金融產(chǎn)品的當(dāng)前收益變化與未來波動呈負相關(guān) . GARCH 模型 傳統(tǒng)計量經(jīng)濟模型假 設(shè) 金融時間序列的樣本方差為恒定常數(shù)，盡管 ARCR(r)模型擺脫了 這種“同方差”的限制 , 使“異方差”成為可能 , 但在實際 研究 中為了 使 擬合效果更好 , 需要的階數(shù) r .?? 于是 , 當(dāng) ARCH 模型的階數(shù)過高時可以在式 ()右邊加入過去的條件方差項 , 就得到廣義自回歸條件異方差模型 (generalized autoregressive conditional heteroskedasticity, GARCH), 該模型是由 [5 ]Bollersive(1986)提出的 . GARCH模型的條件方差 2th 不僅與 滯后項 的殘差項 2tia? 有關(guān) , 而且也 與 滯后項 的條件方差 2tjh? 有關(guān) . GARCH 模型的定義 對于序列 {}ta 如果 1|t t t tah??? ? , () 2 2 20 11rst i t i j t jijh a h? ? ?????? ? ??? , () iiN(0,1)t?～ . () 則稱序列 {}ta 是一個 GARCH(r, s)序列 (過程 ), 式 ()～ ()稱為 GARCH(r, s)模型 . 由于 2,tia? 2tjh? 的非負性 , 一般要求 0 0?? , 0,i?? 0( 0,j i? ?? 0)j? , 以保證條件方差為正 . GARCH(1, 1)模型 GARCH(1, 1)模型 雖然 形式 簡單 , 但它在金融學(xué)領(lǐng)域中 有著廣泛的應(yīng)用 . 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計學(xué)院 2020 屆畢業(yè)論文 6 GARCH(1, 1)模型可表示為： 1|t t t tah??? ? , () 2 2 20 1 1 1 1t t th a h? ? ???? ? ? , () ? ?iiN 0,1t?～ . () 其中 ? ?iiN 0,1t?～ 表示獨立同標準正 態(tài) 分布 , 參數(shù)滿足條件 0 0?? , 1 0?? , 1 0?? . 1|tta ?? ～ GARCH(1, 1)是平穩(wěn)序列的充要條件是 11??? ? 1. GARCH 模型的特點 1) 與 ARCH 模型相比 , 可 用低階的 GARCH 模型 代替高階的 ARCH 模型 , 從而使模型的 診斷 與 參數(shù) 估計都變得 較為容易 . 2) GARCH 模型 除了具有 ARCH 模型的優(yōu)點外 , 還 在解釋金融時間序列的波動 性 以及建模方面 具 有較強的優(yōu)勢 . GARCH(r, s)模型的不足 GARCH模型與 ARCH模型相比 , 雖然 適用性較強 , 但 GARCH(r, s)模型用于資產(chǎn)評估時存在一些不足： 1) 股票收益和收益變化波動之間 有時 呈現(xiàn) 出 負相關(guān)現(xiàn)象 , 但這種現(xiàn)象 無法 用GARCH 模型 來 解釋 , 從條件方差方程式 ()易知 , 殘差符號對波動無影響 , 即條件方差對正的收益變化和負的收益變化的反應(yīng)是對 稱 的 . 但是 , 大量的實際研究表明 ,當(dāng)出現(xiàn)好消息時 , 波動趨向于減小 , 當(dāng)出現(xiàn)利空消息時 , 波動趨向于增大 . 而 GARCH(r, s)模型無法解釋 這種非對稱現(xiàn)象 . 2) 條件方差方程中 假設(shè)所有系數(shù)均 為 非負 , 這些 限制 暗含 2ta 的任何滯后項都會 使2th 增大 , 因而排除了 2th 的隨機波動 性 . ARCH模型的其它拓廣 EGARCH 模型 對實際 金融時間序列數(shù)據(jù) 的 研究發(fā)現(xiàn) , 其分布較正態(tài)分布而言具有 “ 尖峰 厚 尾 ” 性的分布特征 . 用 GARCH 模型刻劃這種現(xiàn)象較為合適 , 但由于 GARCH 模型假設(shè)條件 方差是滯后 殘差平方 和滯后條件方差 的函數(shù) , 因此 , 殘差 符號對波動無影響 , 即條件方差對正的收益變化和負的收益變化 的反應(yīng)是對稱的 . 然而大量對金融時間序列的研究結(jié)果數(shù)學(xué)與統(tǒng)計學(xué)院 2020 屆畢業(yè)論文 7 表明 , 當(dāng)出現(xiàn)利空消息時 , 波動趨于增大；當(dāng)出現(xiàn) 利空 消息時 , 波動趨于減小 , 為了測試這種現(xiàn)象 , Engle 和 Ng 于 1933 年 給出了一種不對稱的消息沖擊曲線 , 見圖 2. 1. 為了擬合資產(chǎn)收益中的杠桿效應(yīng) , [6]Nelson(1991) 提出了指數(shù) GARCH(exponential GARCH, EGARCH)模型 , 其條件方差方程為： 220 11l n ( ) ( ) l n ( )qqt i t i j t jijh g h? ? ? ?????? ? ??? , () 其中 ( ) { | | ( | |) }t t t tgE? ?? ? ? ?? ? ? , () t t tah?? . () 目前 EGARCH 模型的條件方差方程表達式不唯一 , 本文采用較常用的形式： 220 2211l n ( ) l n ( ) ( )sr t i t it j t j i ijit i t iaahhhh? ? ? ??????? ? ? ??? . () TARCH 模型 考慮到正 tia? 與負 tia? 對時間序列 ta 的條件方差 2th 有不對稱影響 , 于是由 Glsoten、Jagannathan、 runkle(1992)和 Rabermannanjara、 Zakoian(1993)提出了 TGARCH(threshold ARCH)模型 , 該模型 主要用于分析金融資產(chǎn)的“杠桿效應(yīng)” , 即金融資產(chǎn)的波動率對 利空消息 的反應(yīng)比對 利好消息 的反應(yīng)更加迅速 . 考慮 TGARCH(1, 1)模型 , 其條件方差方數(shù)學(xué)與統(tǒng)計學(xué)院 2020 屆畢業(yè)論文 8 程表達式為 2 2 2 20 1 1 1 1 1 1t t t t th a I a h? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ? , () 其中 , 1tI? 為示性變量 1tI? =1 ( 1 0ta? ? ） , () 1 0tI? ? ( 1 0ta? ? ） . () 在式 ()中 211ttaI? ??項被稱為 TGARCH 項 , 條件方差 2th 依賴于 滯后 的殘差平方 21ta? 和條件方差 21th? 的大小 , 式 ()表明 利空消息 和 利好消息 對金融資產(chǎn)波動率的的影響是不 對稱 的 . 利空消息 ( 1 0ta? ? )對條件方差有 ( 0??? )倍的沖擊 , 而 利好消息 ( 1 0ta? ? )對方差只有 ( 0? )倍的沖擊 . 當(dāng) ? 0 時 , 負的 1ta? 對波動有更大的影響 , 說明杠桿效應(yīng) 存在 . 上面所討論的是一階 TGARCH 模型 , 它還可以擴展為高階模型： 2 2 2 201 1 1r s mt i t i j t j k t k t ki j kh a h I a? ? ? ?? ? ? ?? ? ?? ? ? ?? ? ? . ()