【正文】 勻量化 ?常用的壓擴(kuò)方法 A壓縮 律 （ A律 ）： 主要用于英國(guó)、法國(guó)、德國(guó)等歐洲各國(guó)和我國(guó)大陸； ?壓縮律（ ?律）： 主要用于美國(guó)、加拿大和日本等國(guó)。 非均勻量化 ? A壓縮 律 （ A律 ） ? 壓縮規(guī)律： ???????????????11,ln1ln110,ln1xAAAxAxAAxyA壓縮率 我國(guó)大陸： A = x y 1 1 1 1 0 A=1 A= 1/A 非均勻量化 ? 13折線壓縮特性 － A律的近似 y x 1 1/2 1/4 1/8 1/16 1/32 1/64 1/128 1 7/8 6/8 5/8 4/8 3/8 2/8 1/8 1/4 8 1/2 7 1 6 2 5 4 4 8 3 16 2 16 1 斜率 段號(hào) 各段斜率 1 2 3 4 5 6 7 8 A= A律壓縮特性 非均勻量化 ? A= A律 與 13折線壓縮特性比較 y x 1 8 2 8 3 8 4 8 5 8 6 8 7 8 1 按 A=得 x 1 128 1 1 1 1 1 1 1 按 13折線關(guān)系求得 x 1 128 1 64 1 32 1 16 1 8 1 4 1 2 1 非均勻量化 ? ?壓縮律 ? 壓縮規(guī)律： x y 0 ?=0 30 100 200 y x 0 ?=0 30 壓縮特性 擴(kuò)張?zhí)匦? 100 200 非均勻量化 ? 15折線壓縮特性 － ?律的近似 2551225512562551256 8/ ?????? iiyxi 0 1 2 3 4 5 6 7 8 y = i/8 0 1/8 2/8 3/8 4/8 5/8 6/8 7/8 1 x=(2i 1) / 255 0 1/255 3/255 7/255 15/255 31/255 63/255 127/255 1 斜率 ? 255 1/8 1/16 1/32 1/64 1/128 1/256 1/512 1/1024 段號(hào) 1 2 3 4 5 6 7 8 非均勻量化 ? 15折線壓縮特性 非均勻量化 ? 15折線壓縮特性 與 13折線壓縮特性比較 ? 15折線特性第一段的斜率（ 255/8）大約是 13折 線特性第一段斜率（ 16）的兩倍， 15折線特性 給出的小信號(hào)的信號(hào)量噪比約是 13折線特性的 兩倍 。 ? 對(duì)于大信號(hào)而言， 15折線特性給出的信號(hào)量噪 比要比 13折線特性時(shí)稍差。 ? 恢復(fù)原信號(hào)大小的擴(kuò)張?jiān)?，完全和壓縮的過(guò)程相反。 非均勻量化 ? 非 均勻量化和均勻量化比較 0 10 20 30 40 50 60 20lgy/x(dB) 60 50 40 30 20 10 SNR(dB) 均勻量化 11位碼字 均勻量化 7位碼字 非均勻量化 7位碼字 26 LloydMax 標(biāo)量量化器 ?問(wèn)題：信號(hào) x 的概率密度函數(shù)為 p(x) ，設(shè)計(jì)一個(gè) L 個(gè)輸出電平的量化器，以均方誤差作為評(píng)判標(biāo)準(zhǔn)，使其最小： 2[( ( )) ] m i nD M S QE E x Q x? ? ? ?LloydMax 標(biāo)量量化器 ?結(jié)果： LloydMax 最佳均方量化器（ MMSE， Lloyd 1957。 Max 1960） ? L1 個(gè)判決電平 (門(mén)限 )精確地位于輸出電平之間的中點(diǎn) →最近鄰 12iiiyyx i 1, 2, ..., L 1??? ? ?? L 個(gè) 輸出量化電平位于 pdf 函數(shù)在兩個(gè)連續(xù)判決門(mén)限之間的 質(zhì)心 ? ?? ?110,iiiixxi xxxp x dxy i 1, ..., M 1p x dx??? ? ???LloydMax 標(biāo)量量化器 證明： ?根據(jù)量化失真度量公式，得 ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?121 0 1112221122()iiiLL x x xix x xixxiLD x y p x dx x y p x dxx y p x dx x y p x dx??????? ? ? ? ? ?? ? ? ? ?? ? ? ???LloydMax 標(biāo)量量化器 ?現(xiàn)在要對(duì)此多元方程求 D 的極小值，根據(jù)拉格郎日極值定理，分別對(duì) xi 及 yi 求偏導(dǎo)，并使之為 0，得： LloydMax 標(biāo)量量化器 ?求解上述方程得： LloydMax 標(biāo)量量化器 ?最佳均方量化器的三個(gè)主要特點(diǎn)： ?設(shè) y=Q(x) ，量化誤差 ε= yx = Q(x) –x ，則 Q ( x )x ?x ??yy ??① 量化誤差的均值為 0，量化誤差無(wú)直流分量 [ ] 0E ? ?② 量化誤差和重建信號(hào)不相關(guān)，正交 [ ( ) ] 0E Q x ???③ 方差為輸入輸出信號(hào)方差的差值，方差減少 ? ?2 2 2 2xy?? ? ? ?? ? ?LloydMax 標(biāo)量量化器 ?說(shuō)明： （ 1） E[ε]=0，量化誤差沒(méi)有直流分量。用 ε= xQ[x] = x – y 替換，得到 E[x] = E[y] 。這表明 MMSE量化器的輸出電平 y 是輸入電平 x 的的無(wú)偏估計(jì)。 （ 2） E[Q(x)ε]=0，量化誤差正交于量化器的輸出電平。 （ 3） E[ε2]=σε2 = σx2 σy2 ，做數(shù)學(xué)代換得到 。 ? ?? ? 22222 11 xxxy Bf ????? ? ?????????? ??LloydMax 標(biāo)量量化器設(shè)計(jì) ?基本思想：前面介紹的最佳量化器條件，即最小均方誤差（ MMSE）量化器的最近鄰條件和質(zhì)心條件。 ? 給定 xi ，可以計(jì)算對(duì)應(yīng)的最佳 yi ? 給定 yi ，可以計(jì)算對(duì)應(yīng)的最佳 xi ? 顯然，判決電平 xi 和量化電平 yi 的求解是一個(gè)相互依賴(lài)的過(guò)程。 ?問(wèn)題： 如何同時(shí)計(jì)算最佳的 xi 和 yi ？ ?答案： 迭代，或查表法 ? ?? ?111 , 1 , 2 , ..., 12, 1 , ...,iiiiiiixxi xxyyx i Lxp x dxy i Lp x dx?????? ? ?????? ???????LloydMax 標(biāo)量量化器設(shè)計(jì) ?迭代法就是選擇參量，以同時(shí)達(dá)到最佳分區(qū)（最鄰近條件）和最佳碼表（質(zhì)心條件）的算法。 LloydMax 迭代算法的具體步驟如下： ? ?? ?? ? ? ?步繼續(xù)運(yùn)算。轉(zhuǎn)到第停止，否則令若由計(jì)算由計(jì)算新碼表用質(zhì)心條件，由分區(qū)用最近鄰條件計(jì)算最佳令）（選初始碼表）21)5)4,2,1,)31,2,1,2)2,0,1112111011111122110???????????????????????????? ????????????? ????????jjddddxxpyxmseddLixpdxxxpyCLiyyxxmsedjyyCjjjLixxxijxxxxxxijiiiixyxyxyxyxLjiiiiiiLLLL??????LloydMax 標(biāo)量量化器設(shè)計(jì) ? LloydMax 算法舉例 I ? x 是均值為 0，方差為 1 的高斯分布，即 x~N(0,1) ? 設(shè)計(jì)一個(gè) 4 個(gè)索引的量化器，使得失真 D* 最小 ? 用 LloydMax 算法得到最佳量化器 ? 判決電平（邊界）： , 0, ? 量化（重建）水平： –, , , ()px* 0 . 1 2 9 . 3 0 D d B??LloydMax 標(biāo)量量化器設(shè)計(jì) ? 收斂情況 初始化 A：判決邊界為： –3, 0, 3 初始化 A：判決邊界為： –1/2, 0, 1/2 2 0 . 1 2 9 . 3 0 qD d B?? ? ?? ?** 0 . 1D D D???在兩種情況下，經(jīng)過(guò) 6 次迭代后， LloydMax 標(biāo)量量化器設(shè)計(jì) ? LloydMax 算法舉例 II ? x 是均值為 0，方差為 1 的 Laplacian 分布 ? 設(shè)計(jì)一個(gè) 4 個(gè)索引的量化器，使得失真 D* 最小 ? 用 LloydMax算法得到最佳量化器 ? 判決電平（邊界）： , 0, ? 量化（重構(gòu)）水平： , , , 一個(gè)好的 預(yù)測(cè)器 輸出的預(yù)測(cè)差值信號(hào)通常滿足 0 周?chē)叻逯档姆植?， 如 Laplacian分布 * 0 . 1 8 7 . 5 4D d B??()pxLloydMax 標(biāo)量量化器設(shè)計(jì) 初始化 A：判決邊界為： –3, 0, 3 初始化 A：判決邊界為： –1/2, 0, 1/2 ? 收斂情況 ? ?** 0 . 1D D D???在兩種情況下，經(jīng)過(guò) 6 次迭代后， Laplacian 分布的尾巴更長(zhǎng)，外側(cè)步長(zhǎng)大；同時(shí)，內(nèi)側(cè)步長(zhǎng)小，因?yàn)樵谥行母浇怕蚀蟆? LloydMax 標(biāo)量量化器設(shè)計(jì) 4比特 Laplacian 最優(yōu)量化器 當(dāng)輸入方差小于假定方差 ， SNR下降很快 。 均方量化噪聲 MSQE減小 ， 因?yàn)檫^(guò)載噪聲減小 。 但是由于輸入方差小 ，SNR中的信號(hào) /噪聲比率減小很快 。 當(dāng)輸入方差大于假定方差 ， 均方量化噪聲 MSQE相應(yīng)增大 ， 但是由于輸入信號(hào)的能量增大 ， 信號(hào) /噪聲比率減小緩慢 。 ?當(dāng)真實(shí)的數(shù)據(jù)方差和假設(shè)的方差不匹配時(shí)造成的影響 LloydMax 標(biāo)量量化器設(shè)計(jì) ?當(dāng)信號(hào) x 的概率密度函數(shù) p(x) 不是均勻分布時(shí)，需要采用上述的反復(fù)迭代方法設(shè)計(jì)最佳均方量化器。 ?這種迭代過(guò)程是比較麻煩的， Max 已經(jīng)針對(duì)不同分布的 p(x)，計(jì)算出了最佳量化電平和判決電平。 在某些情況可以直接套用 。 判決門(mén)限 輸出電平 LloydMax 標(biāo)量量化器設(shè)計(jì) LloydMax 標(biāo)量量化器設(shè)計(jì) ?已知輸入信號(hào) x 的概率密度函數(shù) p(x) 為高斯分布、拉普拉斯分布或均勻分布，且均值 E[x]=0 ，標(biāo)準(zhǔn)方差 σx = 1 時(shí)，得到最佳量化器量化電平 yk (k=1,2,.,L) 標(biāo)準(zhǔn)表。 ?問(wèn)題： 當(dāng)隨機(jī)變量 x’ 的均值 μ= E[x’ ]≠0 ，標(biāo)準(zhǔn)差 σx’≠ 1 時(shí)，如何由標(biāo)準(zhǔn)表轉(zhuǎn)換出相應(yīng)的量化電平 ？ ?具體步驟如下圖： kxkyy ?? ??~? ?Lkyyk,...,1, ??? ? ? ? ? ? 10, 2 ?? xExExp ，xxx?