【正文】 MATLAB函數 [mag,phase,w]=bode(G)可得到對數幅頻特性曲線上每個頻率 w值對應的對數幅值 mag和相位角 phase。再用函數 wc=spline(mag, w, am) 可計算出 am=10lg 所對應的頻率 wc，即系統(tǒng)超前校正后的剪切頻率 。spline函數的用法詳見 MATLAB的幫助信息。 c2?c2? c ( j )G?? c2?? ?c2? ( ) 2 0 lgL ????( ) 2 0 lgL ??????c2?c2?? c2?第六章控制系統(tǒng)計算機輔助設計 超前 /滯后校正器的 Bode圖設計 (6) 求超前校正器傳遞函數中的 T，即 () (7) 在系統(tǒng)中串聯一個增益為 的放大器，可補償超前校正器引入帶來的增益損失，則超前校正器的傳遞函數可寫為 () (8) 根據校正后的開環(huán)傳遞函數繪制 Bode圖，驗證系統(tǒng)性能指標。校正后的開環(huán)傳遞函數為 ，其中 是超前校正器傳遞函數， 是校正前系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數。 (9) 繪制閉環(huán)系統(tǒng)的階躍響應曲線。 c21T???1?1()1cTsGsTs????c ( ) ( )G s G s c()Gs()Gs第六章控制系統(tǒng)計算機輔助設計 超前 /滯后校正器的 Bode圖設計 3．超前校正器的設計舉例 【 例 】 在圖 ，已知單位負反饋系統(tǒng)被控對象的傳遞函數為 () 試設計系統(tǒng)的超前校正器 ，使之滿足： (1) 在斜坡信號 r(t)=v0t作用下，系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差 ess≤； (2) 校正后系統(tǒng)的相位裕量 Pm范圍為： 43176。 ～ 50176。 。 解： (1) 由穩(wěn)態(tài)誤差要求，求系統(tǒng)開環(huán)增益 K。 根據自動控制理論和題目要求，該系統(tǒng)在斜坡信號 r(t)=v0t作用下的穩(wěn)態(tài)誤差 ≤ () 所以，系統(tǒng)開環(huán)增益 K≥1000，取 K=1000。 則被控對象的傳遞函數為 () () ( 2 1 ) ( 0 . 0 0 2 1 )KGs s s s? ??c()Gs0ss ve K?1000()( 2 1 ) ( 0 . 0 0 2 1 )Gs s s s? ??第六章控制系統(tǒng)計算機輔助設計 超前 /滯后校正器的 Bode圖設計 (2) 繪制系統(tǒng)校正前的 Bode圖和單位階躍響應曲線，并計算校正前系統(tǒng)的增益裕量 Gm、相位裕量 Pm。 繪制系統(tǒng)校正前 Bode圖的 MATLAB程序如下： s=tf(39。s39。)。 G=1000/(s*(2*s+1)*(*s+1))。 margin(G) 注： margin( )函數用于繪制 Bode圖，計算并顯示出增益裕量 Gm及其穿越頻率 ，相位裕量 Pm及其剪切頻率 。 上述程序運行后，得到系統(tǒng)校正前的 Bode圖如圖 。 該被控對象構成單位負反饋系統(tǒng)后，繪制該系統(tǒng)在校正前的單位階躍響應曲線的 MATLAB程序如下： s=tf(39。s39。)。 G=1000/(s*(2*s+1)*(*s+1))。 sys= feedback(G,1)。 % feedback(G,1)函數是用 G構成單位負反饋閉環(huán)系統(tǒng) sys step(sys)% step(sys)函數是畫出閉環(huán)系統(tǒng) sys的單位階躍響應曲線 g? c?第六章控制系統(tǒng)計算機輔助設計 超前 /滯后校正器的 Bode圖設計 上述程序運行后，得到系統(tǒng)校正前的單位階躍響應曲線如圖 。 由圖 ，該系統(tǒng)校正前的增益裕量 Gm為 、相位裕量 Pm為 176。 ，顯然系統(tǒng)的增益裕量 Gm和相位裕量 Pm均為負值，系統(tǒng)不穩(wěn)定，從圖 ，系統(tǒng)的單位階躍響應曲線是發(fā)散的。需要對系統(tǒng)進行超前校正。 圖 系統(tǒng)校正前的 Bode圖 T i m e /s 圖 系統(tǒng)校正前的單位階躍響應曲線 第六章控制系統(tǒng)計算機輔助設計 超前 /滯后校正器的 Bode圖設計 (3) 求超前校正器的傳遞函數。校正后系統(tǒng)的相位裕度 Pm范圍為： 43176。 ～ 50176。 ，取 Pm=45176。 ，按超前校正器設計步驟，編寫的 MATLAB程序如下： s=tf(39。s39。)。 G=1000/(s*(2*s+1)*(*s+1))。 [mag,phase,w]=bode(G)。 [Gm,Pm]=margin(G)。 QWPm=45。 FIm=QWPmPm+5。 FIm=FIm*pi/180。 alfa=(1sin(FIm))/(1+sin(FIm))。 adb=20*log10(mag)。am=10*log10(alfa)。 wc=spline(adb,w,am)。 %該句用法，前已說明 T=1/(wc*sqrt(alfa))。 alfat=alfa*T。 Gc=tf([T 1],[alfat 1]) 上述程序部分語句注釋： [mag,phase,w]=bode(G)。該句只計算 Bode圖上多個頻率點 w對應的幅值 mag和相位 phase，三個變量w,mag,phase均為有多個元素的矢量。該句不繪 Bode圖。 [Gm,Pm]=margin(G)。 該句只計算 Bode圖的增益裕量 Gm和相位裕量 Pm，不繪 Bode圖。 Gc=tf([T 1],[alfat 1])；該句是以 [T 1]為分子， [alfat 1]為分母構成傳遞函數 Gc 上述程序運行后，得到超前校正器的傳遞函數 c1 0 . 0 7 5 5 5 1() 1 0 . 0 0 9 3 2 9 1T s sGs T s s? ???? () 第六章控制系統(tǒng)計算機輔助設計 超前 /滯后校正器的 Bode圖設計 (4) 校正后系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數為 ，根據該開環(huán)傳遞函數繪制Bode圖，其 MATLAB程序如下： s=tf(39。s39。)。 G=1000/(s*(2*s+1)*(*s+1))。 Gc=(*s+1)/(*s+1)。 margin(Gc*G) 上述程序部分語句注釋： margin( *G)；該句中 *G表示 和 G串聯構成開環(huán)傳遞函數 ， margin( *G)函數繪制 Bode圖。 上述程序運行后，校正后系統(tǒng)的 Bode圖如圖 。 由圖 ，校正后系統(tǒng)的相位裕量 Pm為 176。 ，滿足本題目相位裕量 Pm范圍為 43176。 ～ 50176。 的設計要求。 校正后系統(tǒng)的單位階躍響應曲線如圖 ，系統(tǒng)經過超前校正后，是穩(wěn)定的，其 MATLAB程序如下： s=tf(39。s39。)。 G=1000/(s*(2*s+1)*(*s+1))。 Gc=(*s+1)/(*s+1)。 step(feedback(Gc*G,1)) c ( ) ( )G s G scG cG cG( ) ( )cG s G s cGcG第六章控制系統(tǒng)計算機輔助設計 超前 /滯后校正器的 Bode圖設計 T i m e /s 圖 校正后系統(tǒng)的 Bode圖 圖 校正后系統(tǒng)的單位階躍響應曲線 第六章控制系統(tǒng)計算機輔助設計 超前 /滯后校正器的 Bode圖設計 二 . 滯后校正器的 Bode圖設計 1. 滯后校正器的基本特性 滯后校正器的等效 RC網絡圖如圖 ，滯后校正器的傳遞函數為 () 式中，阻抗 ； ； 容易看出， 總是大于 1。 相位滯后校正器的幅頻特性和相頻特性分別為 () () 因 大于 1，則 總是小于 0，所以又把該校正器稱為相位滯后校正器。 對幅值 取常用對數再乘以 20，得到對數幅頻特性 (單位用分貝dB表示 )為 () 可見， 因大于 1， 則小于 0。 oci1() 1()( ) 1Us Z T sGsU s R Z T s??? ? ???2 1ZR Cs?? 2T RC? 122RRR? ?? ?22( ) 1()( ) 1TAT???????( ) a r c ta n ( ) a r c ta n ( )TT? ? ? ? ???? ()??()A? ()L?22( ) 1 0 l g [ ( ) 1 ] 1 0 l g [ ( ) 1 ]L T T? ? ? ?? ? ? ?? ()L?第六章控制系統(tǒng)計算機輔助設計 超前 /滯后校正器的 Bode圖設計 為了直觀表達滯后校正器的幅頻特性和相頻特性，現在假設式 ()中 T=1，因 ， 分別等于 、 、 ，執(zhí)行以下 MATLAB程序，繪制相位滯后校正器的 Bode圖，如圖 。 MATLAB程序如下： s=tf(39。s39。)。 T=1。 for beta=:: Gc=(T*s+1)/( beta*T*s+1)。 bode(Gc),hold on end 滯后校正器的基本特性是，其相頻曲線具有負相移 (滯后相位角 )。滯后校正器是一個低通濾波器，其 越大，高頻衰減越厲害。應用滯后校正主要是利用其高頻衰減特性。 采用滯后校正器將使校正后系統(tǒng)的剪切頻率比校正前小，系統(tǒng)的快速性能變差，但穩(wěn)定性能得以提高，這意味著滯后校正是以犧牲系統(tǒng)的快速性來換取系統(tǒng)穩(wěn)定性的。如果滯后校正器采用 RC無源網絡，雖無增益損失，但有負載效應之弊，故工程上常采用由集成運算放大器構成的有源滯后校正器。 1???第六章控制系統(tǒng)計算機輔助設計 超前 /滯后校正器的 Bode圖設計 圖 滯后校正器的 Bode圖 (T=1) 第六章控制系統(tǒng)計算機輔助設計 超前 /滯后校正器的 Bode圖設計 2. 滯后校正器的 Bode圖設計步驟 在給出受控對象傳遞函數和性能指標 (穩(wěn)態(tài)誤差指標、相位裕量 或者剪切頻率 )的要求下，滯后校正器的 Bode圖設計步驟如下： (1) 根據系統(tǒng)對穩(wěn)態(tài)誤差的要求，求出系統(tǒng)開環(huán)增益 K。 (2) 根據求得的開環(huán)增益 K，畫出系統(tǒng)校正前的 Bode圖，并計算校正前系統(tǒng)的增益裕量 Gm、相位裕量 Pm、剪切頻率 。檢驗這些性能指標是否符合要求。若不符合，則進行下一步。 (3) 根據題目對滯后校正后系統(tǒng)的期望相位裕量 P0，確定一個新的剪切頻率 。其方法是：先由期望相位裕量 P0(單位：角度 )計算校正前系統(tǒng)在 處的相位角 ，即 ＝－ 180176。 ＋ P0＋ (5176。 ～ 12176。 ) () 式中， (5176。 ～ 12176。 )為相位滯