空間力系的簡化與平衡-文庫吧
2025-07-31 23:13 本頁面
【正文】 。 設 B點滑輪上起吊重物的重量 G=20 kN， AD=AE=6 m， 其余尺寸如圖 。起重桿所在平面 ABC與對稱面 ACG重合 。 不計立柱和起重桿的自重 ， 求起重桿 AB、 立柱 AC和鋼索 CD， CE所受的力 。 C ??A ?45?45?605 m ?30B D E G 1. 先取滑輪 B為研究對象 。 注意 ， 起重桿 AB為桁架構(gòu)件 ， 兩端鉸接 ， 不計自重 ，它是一個二力構(gòu)件 ， 把滑輪 B簡化為一點 ，它的受力圖如圖所示 。 x y B ?60?30G FAB FBC ,0?? xF 030 c o s60 c o s ?? ?? BCAB FF,0?? yF 030 s in60 s in ??? GFF BCAB ??解： 這是一平面匯交力系，列平衡方程 k N , 20?? GF BC kN ?? GF AB解得 C ??A ?45?45?605 m ?30B D E G 2. 再選取 C點為研究對象，它的受力圖如圖所示。 此力系在 Axy平面上投影為一平面匯交力系，其中： x z A y ?45?45BCF?CEF?CDF?,0?? zF0c o sc o s60c o s ????? ?? CECDACBC FFFF ?先列出對 Az軸的投影方程 這是一空間匯交力系，作直角坐標系 Axy，把力系中各力投影到 Axy平面和 Az軸上。 ?60 s inBCBC FF ????? s inCDCD FF ??? s inCECE FF ?????? a r c t a n a r c t a n ACAD?C ??FAC FCE FCD BCF??60列平衡方程 ,0?? xF 045 s in45 s in ???? ?? CDCE FF,0?? xF 045 c o s45 c o s ?????? ?? CECDBC FFFkN c o s i n2 60 s i n ??? ?? ?BCCECD FFFkN o c o s2 ???? ?? BCCDAC FFF由此解得 kN ?ABFkN ?ACF?? CECD FF所求結(jié)果如下： x z A y ?45?45BCF?CEF?CDF?C ??FAC FCE FCD BCF??60二、空間的力矩 力偶矩 (1).定義 : 設空間一力 F作用在點 A,則定義力 F對空間任一點 O的矩為 矢量 xyzoAFr()omFB()om F r F??()omF 的大小方向 與矩心的選擇有關 ,因 此力對點的矩應畫在 矩心處 . ( ) 2o A B Cm F S ??(2). 的解析表達式 ()omFr O A x i y j z k? ? ? ?x y zF F i F j F k? ? ?()ox y zi j kM F r F x y zF F F? ? ? ( ) ( ) ( )z y x z y xy F z F i z F x F j x F y F k? ? ? ? ? ? (1).定義 空間力對軸的矩 是個 代數(shù)量 ,它等于這個力在垂 直于該軸的平面內(nèi)的投影對于這平面與該軸交點的矩 . xyzoFABA?B?xyF?c o sxyFF ??d()z x ym F F d? ? ?其正負由 右手螺旋規(guī)則 來確定 ,拇指方向與該軸方向一致為正 ,反之為負 ( ) 2z O A Bm F S ?????(2).力對軸的矩表達式 ? ?z y xM F x F y F??? ?x z yM F y F z F??? ?y x zM F z F x F??同理 (3).力對點的矩和力對軸的矩之間的關系 比較力對點的矩和力對于軸的矩的關系式得 ( ) ( )oxxM F M F?? ??? ( ) ( )oyyM F M F?? ??? ( ) ( )ozzM F M F?? ???投影關系 xyzoF yFzF( , , )A x y z例題 3－ 4 手柄 ABCE 在平面 Axy內(nèi)，在 D 處作用一個力 F，它垂直 y軸，偏離鉛垂線的角度為 α，若 CD = a， BC∥ x軸， CE ∥ y軸， AB = BC = l。 求力 F對 x、 y和 z三軸的矩。 顯然， Fx = Fsinα Fz = Fcosα 由合力矩定理可得： 解法 1 將力 F沿坐標軸分解為 Fx 和 Fz。 Fx Fz M x ( F ) = M x ( Fz ) = F z (AB+CD) = F ( l + a )cosα M y ( F ) = M y ( Fz ) = F z (BC) = Fl cosα M z ( F ) = M z ( Fx) = F x (AB+CD) = F ( l + a )sinα 解法 2 直接套用力對軸之矩的解析表達式： 力在 x、 y、 z軸的投影為 Fx = F sin α FY = 0 FZ = F cos α M x( F ) = yFZ － zFY = ( l + a )( Fcosα) 0 = F( l + a )cosα M y ( F ) = zFX － xFZ = 0 ( l ) ( Fcosα) = Flcosα M z ( F ) = xFY － yFX = 0 ( l + a ) ( Fsinα) = F( l + a )sinα Fx Fz 習題 在直角彎桿的 C端作用著力 F，試求該力對坐標軸以及坐標原點 O的矩。已知 OA =a = 6 m， AB=b=4 m， BC=c =3 m， ? =30186。, ? =60186。 解：由圖示可以求出力 F 在各坐標軸上的投影和力 F 作用點 C 的坐標分別為： x= b = 4 m y= a = 6 mz= c =－ 3 m 則可求得力 F 對坐標軸之矩： 力 F 對原點 O之矩的方向余弦： 力 F 對原點 O之矩大?。? 習題 圖示柱截面，在 A點受力 P作用。已知 P＝ 100kN， A點位置如圖所示。求該力對三個坐標軸的矩。 x y z P A O 100mm 250mm 0,10,25 ??????? zyx MmkNMmkNMF F? A B (1) 力偶矩的大??； (2) 力偶的轉(zhuǎn)向； (3) 力偶作用面的方位。 M 自由矢量 M 空間力偶的等效條件 兩個力偶的力偶矩矢相等，則它們是等效的。 方向用右手定則判定 三、空間力偶系的簡化與平衡條件 M=M1+M2+…+M n=∑Mi ?????? ?? ?? ?000iziyixMMMkjiM zyx MMM ???iznzzzziynyyyyixnxxxxMMMMMMMMMMMMMMM?????????????????????212121合力偶矩矢： 平衡條件 01???niiM平衡方程 ?????????????????MMMMMMMMMMzyxzyx),c os (),c os (),c os (222kMjMiM四、空間任意力系的簡化 z A B C F1 F2 F3 O x y O y x z M2 2F?M1 1F?M3 3F?RF?MO nn FF,FF,FF ?????? ?2211)()()( 2211 nOnOO FMM,FMM,FMM ??? ????????niiOOniiR11)( FMMFF主矢 MO 主矩 RF?力系向任一點 O 簡化的結(jié)果 主矢 主 矩 力系簡化的 最后結(jié)果 說 明 OM0? 平衡 平衡力系 0??RF OM0? 合力偶 主矩與簡化中心的 位置無關 OM0? 合力 合力作用線通過 簡化中心 0?OM RF⊥ OM 合力 合力作用線離簡化中心 O的距離ROFMd ? 0RMF // 力螺旋 力螺旋的中心軸通 過簡 化中心 0??RF 0?OM RF與0M 成 ? 角 力螺旋 力螺旋的中心軸離簡化中心 O 的距離ROFM
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