用平均值定理求某些問(wèn)題的最值-文庫(kù)吧
2025-07-23 14:45 本頁(yè)面
【正文】 若a，b，c∈R+，則≥，當(dāng)且僅當(dāng)a＝b＝c時(shí)，取“＝”號(hào)．師：我們把平均值定理改寫(xiě)成求某些函數(shù)(如引例中的函數(shù))最值的命題．(板書(shū)) 已知兩個(gè)正變數(shù)的積是一個(gè)常數(shù)．那么當(dāng)且僅當(dāng)這兩個(gè)數(shù)相等時(shí)，它們的和取最小值．師：類似地，你能否說(shuō)出求某些函數(shù)最大值的命題呢?生：已知兩個(gè)正變數(shù)的和是一個(gè)常數(shù)，那么當(dāng)且僅當(dāng)這兩個(gè)數(shù)相等時(shí)，它們的積取最大值．
(教師板書(shū))師：下面請(qǐng)同學(xué)們證明這個(gè)命題．生：設(shè)這兩個(gè)正變數(shù)為x和y．如果xy＝P(常數(shù))，那么由兩個(gè)正數(shù)的算術(shù)平均數(shù)不小于它們的幾何平均數(shù)，得x+y≥．當(dāng)且僅當(dāng)x＝y(tǒng)時(shí)，有x+y＝．這就是說(shuō)，當(dāng)x＝y(tǒng)時(shí)，x+y有最小值．如果x+y＝S(常數(shù))，那么由兩個(gè)正數(shù)的算術(shù)平均數(shù)不小于它們的幾何平均數(shù)，得，即xy≤當(dāng)且僅當(dāng)x＝y(tǒng)時(shí)，有xy＝．這就是說(shuō)，當(dāng)x＝y(tǒng)時(shí)，xy有最大值師：既然已經(jīng)證明了上述命題為真命題，那么我們把它叫做定理1．類似地，由三個(gè)正數(shù)的
算術(shù)平均數(shù)不小于它們的幾何平均數(shù)，誰(shuí)能說(shuō)出求某些函數(shù)最值的定理2呢?生：定理2 已知三個(gè)正變數(shù)和積(和)是一個(gè)常數(shù)，那么當(dāng)且僅當(dāng)這三個(gè)數(shù)相等時(shí)，它們的和(積)取得小(大)值．(投影片2)師：利用這兩個(gè)定理，可以解決許多定積或定和條件下，若干個(gè)正變量的和或積的極值問(wèn)題．但是，必須注意使用定理的條件，要注意哪幾個(gè)條件?生：注意三個(gè)條件．(1)這兩個(gè)或三個(gè)變數(shù)必須是正變數(shù)；(2)當(dāng)它們的和是定值時(shí)，其積
取得最大值；當(dāng)它們的積是定值時(shí)，其和取最小值；(3)當(dāng)且僅當(dāng)這兩個(gè)或三個(gè)數(shù)相等時(shí)，
取“＝”號(hào)．師：很好．看來(lái)從定理中也反映出現(xiàn)實(shí)世界中的量不等是普遍的，絕對(duì)的，而相等是局部的，相對(duì)的，必須同時(shí)滿足“正數(shù)”、“定值”、“相等”三個(gè)條件，才能求得此類函數(shù)的最值．(三)應(yīng)用定理例1(板書(shū)) 求函數(shù)y＝x+ (x≥0)的最小值，并求相應(yīng)的x值．師：求兩項(xiàng)和的最小值，可以考慮試用定理1．但是，此函數(shù)具備使用定理1的條件嗎?生：不具備．因?yàn)檫@個(gè)函數(shù)中的兩項(xiàng)不都是正數(shù)且x與的積也不是常數(shù)．師：能否創(chuàng)造條件?(學(xué)生討論)生甲：把函數(shù)變形為y＝(x+1)+ 1，這時(shí)，正數(shù)x+1，的積是常數(shù)1，可以用定理1求得這個(gè)函數(shù)的最小值．師：使用定理1的條件都具備了嗎?
生乙：當(dāng)且僅當(dāng)x+1＝時(shí)，這個(gè)函數(shù)能夠取得最小值．師：是只要求出方程x+1＝的解x＝0就能保證此函數(shù)能夠最得最小值嗎?生丙：還要注意解出的x＝0是否屬于函數(shù)的定義域．師：這一點(diǎn)也很重要，不容忽視．(教師板演，學(xué)生練習(xí)，共同完成解題過(guò)程)解：y＝x+＝(x+1)+ 1．由x≥0，知x+1＞0，＞0，且(x+1)＝1(常數(shù))因此由定理1得：當(dāng)且僅當(dāng)x+1＝，即x＝0時(shí)，y＝x+ (x≥0)有最小值，最小值是y＝1＝1．師：也可以書(shū)寫(xiě)成如下格式．(投影片3)解：y＝x+＝(x+1)+ 1．由x≥0，知x+1＞0，＞0．所以y＝(x+1)+ 1≥當(dāng)且僅當(dāng)x+1＝，即x＝0時(shí)，y＝x+ (x≥0)取得最小值，最小值是1．師：回顧解題過(guò)程，同學(xué)們根據(jù)此函數(shù)的特點(diǎn)，通過(guò)恰當(dāng)?shù)暮愕茸冃巍植鹱兞浚_定了
符合定理1條件的正變量(x+1)與，把問(wèn)題轉(zhuǎn)化為定積條件下的兩個(gè)正變量的和的最小值問(wèn)題，使問(wèn)題得以解決．下面請(qǐng)大家再解決一個(gè)問(wèn)題．例2 設(shè)0＜x＜，求x為何值時(shí)，函數(shù)y＝x(52x)2有最大值?最大值是多少?(投影片4)師：這是一個(gè)什么問(wèn)題?生：求三個(gè)正變量積的最大值．師：這三個(gè)正變量的和為定值嗎?若不
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