【正文】 顧 提高梁彎曲強度的措施總結(jié)：一、本章討論了平面彎曲時，梁的內(nèi)力、應(yīng)力以及梁的強度條件。本章是《建筑力學(xué)》的重點。 二、當(dāng)外力作用在梁的縱向?qū)ΨQ平面內(nèi)時，梁軸變形后的撓曲線仍在此縱向?qū)ΨQ平面內(nèi)，即梁的彎曲平面與荷載作用平面重合，這種彎曲叫做平面彎曲。平面彎曲是最簡單、最常見的一種彎曲。平面彎曲的梁，其橫截面上的內(nèi)力通常有剪力和彎矩，揭示梁內(nèi)力的基本方法仍然是截面法。 截面上的剪力等于截面一側(cè)梁段上所有外力沿截面方向投影的代數(shù)和。 截面上的彎矩等于截面一側(cè)梁段上所有外力對截面形心力矩的代數(shù)和。 內(nèi)力的符號有如下的規(guī)定：剪力使脫離體有順時針轉(zhuǎn)動趨勢時為正，反之為負(fù)；彎矩使脫離體產(chǎn)牛向下凸的變形時為正，反之為負(fù)。 三、內(nèi)力圖形象地表明了內(nèi)力在全梁范圍內(nèi)的變化情況。通過內(nèi)力圖可以確定最大彎矩值及最大剪力值并能確定它們所在的位置，即“危險截面”的位置。 四、與彎曲應(yīng)力及變形計算有關(guān)的平面圖形的幾何性質(zhì)。 1．組合圖形的形心坐標(biāo)公式 2．常用截面的慣性矩：矩形；圓形；各種型鋼的慣性矩可查型鋼表。 3．慣性矩的平行移軸公式： 用平行移軸公式可以計算組合圖形對形心軸的慣性矩。4．抗彎截面系數(shù)定義 五、平面彎曲的梁，其橫截面上一般存在著兩種應(yīng)力：正應(yīng)力口及剪應(yīng)力。 中性軸通過截面的形心，并與橫截面的豎向?qū)ΨQ軸垂直。中性軸將截面分成受拉區(qū)和受壓區(qū)。正應(yīng)力在橫截面上沿梁高按直線規(guī)律分布：中性軸上正應(yīng)力為零；距中性軸最遠(yuǎn)的上、下邊緣的點有正應(yīng)力的最大值。正應(yīng)力的正負(fù)號可通過梁的變形直接判定：受拉區(qū)的正應(yīng)力為正值；受壓區(qū)的正應(yīng)力為負(fù)值。剪應(yīng)力的方向與剪力相同。在中性軸上有剪應(yīng)力的最大值，而在距中性軸最遠(yuǎn)的上、下邊緣處，剪應(yīng)力為零。矩形截面梁的最大剪應(yīng)力、圓形截面梁的最大剪應(yīng)力工字形截面梁的最大剪應(yīng)力。 六、危險截面上應(yīng)力最大的點叫危險點。危險點的應(yīng)力必須控制在許用應(yīng)力范圍內(nèi)。應(yīng)用強度條件可以校核強度、選擇截面和計算許用荷載。江都職教集團教案建筑力學(xué)重點內(nèi)容教案（三） 新授課 第八章 壓桿穩(wěn)定第一節(jié)壓桿平衡狀態(tài)的穩(wěn)定性 受軸向壓力的直桿叫做壓桿。壓桿在軸向壓力作用下保持其原有的平衡狀態(tài)，叫做壓壓桿的穩(wěn)定性。從強度觀點出發(fā)，壓桿只要滿足軸向壓縮的強度條件就能正常工作。這種結(jié)論對于短粗桿來說是正確的，而對于細(xì)長的桿則不然。例如取一根長度為1m的松木直桿，其橫截面面積為530mm，抗壓強度極限為40 MPa，此桿的極限承載能力應(yīng)為 Pb=бbA=4010653010—6=6 000 N=6 kN實驗發(fā)現(xiàn)，木桿在P：30N時就突然變彎，這個壓力比計算的極限荷載小兩個數(shù)量級?？梢?，細(xì)長壓桿的承載能力并不取決于軸向壓縮的抗壓強度，而是與該桿在一定壓力作用下突然變彎、不能保持原有的直線形狀有關(guān)。這種在一定軸向壓力作用下，細(xì)長直桿突然喪失其原有直線平衡形態(tài)的現(xiàn)象叫做壓桿喪失穩(wěn)定性，簡稱失穩(wěn)。壓桿失穩(wěn)時的壓力比發(fā)生強度不足而破壞的壓力要小得多。因此，對細(xì)長壓桿必須進行穩(wěn)定性計算。 為了說明壓桿平衡狀態(tài)的穩(wěn)定性，用小球的三種平衡狀態(tài)為比擬。 圖8—1分別表示小球置于曲面底A、曲面頂B、水平面C并處于平衡狀態(tài)。這三種平衡狀態(tài)是有區(qū)別的。小球置于曲面底平衡時，用手輕輕推動一下，小球在A點附近來回滾動，最后又停留在原來的位置上。所以說小球在曲面底A點的平衡狀態(tài)是穩(wěn)定的。小球在曲面頂點平衡時，若輕輕推它一下，小球便滾落下去，再也不會自己回到原來的位置。所以說小球在曲面頂點B點的平衡狀態(tài)是不穩(wěn)定的。位于水平面而平衡的小球，若把它推到C’點，小球就停在c’點上，它既不會回到原處；也不會繼續(xù)滾動，而是在新的位置保持平衡。這種平衡狀態(tài)叫做臨界平衡狀態(tài)。臨界平衡狀態(tài)是由穩(wěn)定過渡到不穩(wěn)定平衡的一種平衡狀態(tài)。實質(zhì)上它屬于不穩(wěn)定的平衡狀態(tài)，因為這時小球在經(jīng)受干擾后已經(jīng)不能回到原來的位置了。 壓桿的平衡狀態(tài)也可以分為三種。圖8—2中一根直線形狀的壓桿，當(dāng)壓力P不太大時，用一個微小的橫向力干擾它，壓桿就微微彎曲。當(dāng)橫向力撤去后，壓桿能恢復(fù)原來的直線位置。 壓桿的平衡狀態(tài)也可以分為三種。圖8—2中一根直線形狀的壓桿，當(dāng)壓力P不太大時，用一個微小的橫向力干擾它，壓桿就微微彎曲。當(dāng)橫向力撤去后，壓桿能恢復(fù)原來的直線位置(圖8—20)。這時的直線形狀的平衡是穩(wěn)定的平衡狀態(tài)。當(dāng)壓力P增大到某一特定值Pcr時，微小的橫向力干擾撤去后，桿件維持干擾后的微彎曲狀態(tài)不變，不再回到原來的直線位置，而在微彎狀態(tài)下維持新的平衡(圖8—26)。這時的直線形狀的平衡狀態(tài)叫做臨界平衡狀態(tài)，這個軸向壓力的特定值Pcr叫做臨界力。在壓力P超過臨界力Pcr后，干擾力作用下的微彎曲會繼續(xù)增大甚至使壓桿彎斷。這時的直線形狀的平衡狀態(tài)(圖8—2C)，即壓桿喪失了穩(wěn)定性。 壓桿的穩(wěn)定性與軸向壓力的大小有關(guān)：當(dāng)軸向壓力小于臨界力Pcr時，壓桿是穩(wěn)定的；當(dāng)軸向壓力等于或大于臨界力Pcr時，壓桿是不穩(wěn)定的。因此，壓桿穩(wěn)定的關(guān)鍵，是確定各種壓桿的臨界力，要使控制壓桿承受的軸向壓力小于臨界力，保證壓矸的穩(wěn)定性。第二節(jié)臨界力 一、用歐拉公式計算臨界力 通過實驗得知，臨界力Pcr的大小與壓桿的長度、截面形狀、尺寸、桿件材料以及桿件的支承情況有關(guān)。在材料服從胡克定律的條件下，可推導(dǎo)出細(xì)長壓桿臨界力的計算公式——歐拉公式Pcr=л2EI/(μl)2 式中：E——材料的彈性模量； ． l一桿件的長度； μ——長度系數(shù)，其值與壓桿的支承情況有關(guān)； 、 μl ——計算長度； I——橫截面的最小慣性矩。 EI——抗彎剛度歐拉公式反映了以下的規(guī)律： 1．臨界力與壓桿的抗彎剛度日成正比。壓桿的抗彎剛度愈大，就愈不容易產(chǎn)生彎曲變形而失穩(wěn)，因而臨界力也俞大。壓桿失穩(wěn)時，桿件總是在抗彎剛度最小的方向發(fā)生彎曲。例如圖8—3a中的矩形截面，hb，截面的面積都分布在Y軸附近，所以截面對Y軸的慣性矩就是截面對形心軸的慣性矩中的最小值，即，Iy=Imin=hb3/12。實驗證明，矩形截面的壓桿失穩(wěn)時，是以圖8—3口中的y軸為中性軸發(fā)生彎曲的。同理，圖8—3b中的工字形截面柱，其失穩(wěn)時彎曲變形的中性軸也是，軸。圓形截面壓桿失穩(wěn)時的彎曲變形則可以在任意方向發(fā)生，因為圓形截面對過形心的任意軸的慣性矩均相等。 2臨界力與壓桿的計算長度平方成反比。計算長度綜合反映了壓桿的長度和支座的約束情況對臨界力的影響。壓桿的穩(wěn)定性隨著壓桿計算長度的增加而急劇下降。不同支座的長度，在計算壓桿的臨界力時，應(yīng)根據(jù)支座情況在表8—1中選用公式。 例8—1一端固定、一端自由的軸心受壓桿，長度l=1 m，彈性模量E=2．0105MPa。試計算圖8—4中三種截面的臨界力。(圖中尺寸為mm)解 (1)計算矩形截面。桿件在最小抗彎剛度平面內(nèi)失穩(wěn)，Imin=Iz=bh3/12=50X103/12=Pcr=л2EI/(μl) 2= (2X1000)2=(2)計算等肢角鋼截面。由型鋼表(見附錄工工)查得Imin=Iz==Pcr=л2EI/(μl) 2= (2X1000)2= (3)計算圓環(huán)截面。 I=л/64（D4d4）=л/64(384284)=72600mm4 Pcr=л2EI/(μl) 2= (2X1000)2=例中三種截面的面積接近相等，但臨界力相差很大，這是因為各截面形式不同、最小慣性矩差別很大。 二、臨界應(yīng)力 在臨界力的作用下，細(xì)長壓桿橫截面上的平均應(yīng)力叫做壓桿的臨界應(yīng)力。臨界應(yīng)力用d。表示，若壓桿的橫截面面積為A，則臨界應(yīng)力為 б=Pcr/A= Pcr=л2EI/(μl) 2A√上式中最小慣性矩A和橫截面面積A都是與截面形狀、尺寸有關(guān)的幾何量。令I(lǐng)/A= i2，則有I=上式中i叫做截面的慣性半徑，其單位是mm。于是，臨界應(yīng)力的計算公式可寫бcr=л2Ei2/(μl)2=л2E/(μl)2/ i2上式中μl和i都是反映壓桿幾何性質(zhì)的量，工程上取μl與i的比值來表示壓桿的細(xì)長程度，叫做壓桿的柔度或長細(xì)比。柔度用λ表示，是無量綱的量。 λ=μl/ i 于是臨界應(yīng)力的計算公式可簡化為 бcr=л2E/λ2 壓桿的柔度A綜合反映了桿長、約束條件、截面尺寸和形狀對臨界應(yīng)力的影響。式(8—3)是歐拉公式的另一形式。從式中可以看出，對同一種材料的壓桿而言，其臨界應(yīng)力與柔度的平方成反比。柔度愈大，臨界應(yīng)力愈小，即壓桿的穩(wěn)定性愈差。 三、歐拉公式的適用范圍歐拉公式是在材料服從胡克定律條件下導(dǎo)出的，因此，壓桿的臨界應(yīng)力不應(yīng)超過材料的比例極限бb。歐拉公式的適用條件可表達(dá)為бcr=л2E/λ2≥бb當(dāng)бcr=бb則，有λp=就是對一定材料的細(xì)長壓桿，用歐拉公式確定臨界應(yīng)力時柔度的最小值，叫做極限柔度。所以歐拉公式的適用范圍用柔度表達(dá)的形式是 (85) 不同材料的彈性模量E和比例極限бb，值不同，因此極限柔度бb也不同。對于任意已知材料，可將其E和бb代人式(8—5)，算出相應(yīng)的бb，從而確定歐拉公式對該材料壓桿的適用范圍。例如3號鋼，取E=2．0105 MPa，бb=196 MPa，代入式(8—5)得 λp =100所以，用3號鋼制成的壓桿，只有當(dāng)λ≥100時，才能用歐拉公式。 總之，歐拉公式只適用于柔度較大的細(xì)長壓桿。 當(dāng)壓桿的柔度，超出了歐拉公式的適用范圍。對于這類壓桿的臨界應(yīng)力，可用經(jīng)驗公式計算。 例8—2某軸心受桿長l=300 mm，矩形截面的面積為bh=210mm2，兩端鉸支，材料為3號鋼，E=2．0105MPa。試計算此壓桿的臨界應(yīng)力和臨界力。 解(1)計算最小慣性半徑。 I= (2)計算柔度。 λ=μl/ I=1X300/=520λp =100 (3)用歐拉公式計算臨界應(yīng)力。 бcr=л2E/λ2= (4)計算臨界力 Pcr=бcr?A=7．32 X 10=146 N檢查與回顧 歐拉公式的表達(dá)形式 第三節(jié) 壓桿的穩(wěn)定校核——折減系數(shù)法 一、壓桿的穩(wěn)定條件 當(dāng)壓桿的工作應(yīng)力達(dá)到臨界應(yīng)力時，壓桿就會失穩(wěn)而喪失工作能力。為保證壓桿穩(wěn)定，就必須確定一個考慮壓桿穩(wěn)定的許用應(yīng)力，它應(yīng)當(dāng)是 [бst]= бcr/nst 上式中的[бst]就是穩(wěn)定許用應(yīng)力；nst是穩(wěn)定的安全系數(shù)，它隨柔度的變化而變化。λ愈大，nst也愈大。壓桿的穩(wěn)定條件可寫為 б=P/A≤[бst]上式中б是壓桿的工作應(yīng)力。由于臨界應(yīng)力бst和穩(wěn)定安全系數(shù)nst都隨柔度而變化，所以[бst]也是隨柔度而變化的變量。 二、折減系數(shù)在壓桿的穩(wěn)定計算中，可將穩(wěn)定許用應(yīng)力[бst]改用強度許用應(yīng)力[б]來表達(dá)。Φ=бcrn/nstбu叫做折減系數(shù)。值小于1，是一個隨λ而變化的變量。表8—2列出了幾種材料的值供查用。壓桿的穩(wěn)定條件用折減系數(shù)與強度許用應(yīng)力表示為 б=P/A≤Φ[б] 三、穩(wěn)定校核 在已知壓桿的桿長、支座情況、材料、截面及荷載的情況下，可應(yīng)用式(8—7)校核壓桿的穩(wěn)定性。 例8—3一圓形木柱高6 m，直徑d=20 cm，兩端鉸支，承受軸向壓力P=50 kN，木材的許用應(yīng)力[б]=10 MPa。試校核柱的穩(wěn)定性。 解(1)計算截面的慣性半徑i。 I=d/4=5cm (2)計算柔度。因兩端鉸支，μ=1，所以 λ=μl/ I=1X600/5=120 (3)查折減系數(shù)。從表8—2中查得p=0．209。 (4)穩(wěn)定校核。 БP/A=1．59 N／mm=1．59 MPa Φ[б]=0．20910=2．09 MPa所以，木柱滿足穩(wěn)定條件。第四節(jié) 提高壓桿穩(wěn)定性的措施壓桿臨界力的大小反映壓桿穩(wěn)定性的高低。要提高壓桿的穩(wěn)定性，就要提高壓桿的臨界一、減小壓桿的長度 壓桿的臨界力與桿長的平方成反比，所以減小壓桿長度是提高壓桿穩(wěn)定性的有效措施之一。在條件許可的情