【正文】 14. 設(shè)Ak=O (k為正整數(shù)), 證明(EA)1=E+A+A2+ +Ak1. 證明 因?yàn)锳k=O , 所以EAk=E. 又因?yàn)? EAk=(EA)(E+A+A2+ +Ak1), 所以 (EA)(E+A+A2+ +Ak1)=E, 由定理2推論知(EA)可逆, 且 (EA)1=E+A+A2+ +Ak1. 證明 一方面, 有E=(EA)1(EA). 另一方面, 由Ak=O, 有 E=(EA)+(AA2)+A2 Ak1+(Ak1Ak) =(E+A+A2+ +A k1)(EA), 故 (EA)1(EA)=(E+A+A2+ +Ak1)(EA),兩端同時(shí)右乘(EA)1, 就有 (EA)1(EA)=E+A+A2+ +Ak1. 15. 設(shè)方陣A滿足A2A2E=O, 證明A及A+2E都可逆, 并求A1及(A+2E)1. 證明 由A2A2E=O得 A2A=2E, 即A(AE)=2E, 或 , 由定理2推論知A可逆, 且. 由A2A2E=O得 A2A6E=4E, 即(A+2E)(A3E)=4E, 或 由定理2推論知(A+2E)可逆, 且. 證明 由A2A2E=O得A2A=2E, 兩端同時(shí)取行列式得 |A2A|=2, 即 |A||AE|=2, 故 |A|185。0, 所以A可逆, 而A+2E=A2, |A+2E|=|A2|=|A|2185。0, 故A+2E也可逆.由 A2A2E=O 222。A(AE)=2E 222。A1A(AE)=2A1E222。, 又由 A2A2E=O222。(A+2E)A3(A+2E)=4E 222。 (A+2E)(A3E)=4 E, 所以 (A+2E)1(A+2E)(A3E)=4(A+2 E)1, . 16. 設(shè)A為3階矩陣, , 求|(2A)15A*|. 解 因?yàn)? 所以 =|2A1|=(2)3|A1|=8|A|1=8180。2=16. 17. 設(shè)矩陣A可逆, 證明其伴隨陣A*也可逆, 且(A*)1=(A1)*. 證明 由, 得A*=|A|A1, 所以當(dāng)A可逆時(shí), 有 |A*|=|A|n|A1|=|A|n1185。0, 從而A*也可逆. 因?yàn)锳*=|A|A1, 所以 (A*)1=|A|1A. 又, 所以 (A*)1=|A|1A=|A|1|A|(A1)*=(A1)*. 18. 設(shè)n階矩陣A的伴隨矩陣為A*, 證明: (1)若|A|=0, 則|A*|=0。 (2)|A*|=|A|n1. 證明 (1)用反證法證明. 假設(shè)|A*|185。0, 則有A*(A*)1=E, 由此得 A=A A*(A*)1=|A|E(A*)1=O , 所以A*=O, 這與|A*|185。0矛盾，故當(dāng)|A|=0時(shí), 有|A*|=0. (2)由于, 則AA*=|A|E, 取行列式得到 |A||A*|=|A|n. 若|A|185。0, 則|A*|=|A|n1。 若|A|=0, 由(1)知|A*|=0, 此時(shí)命題也成立. 因此|A*|=|A|n1. 19. 設(shè), AB=A+2B, 求B. 解 由AB=A+2E可得(A2E)B=A, 故 . 20. 設(shè), 且AB+E=A2+B, 求B. 解 由AB+E=A2+B得 (AE)B=A2E, 即 (AE)B=(AE)(A+E). 因?yàn)? 所以(AE)可逆, 從而 . 21. 設(shè)A=diag(1, 2, 1), A*BA=2BA8E, 求B. 解 由A*BA=2BA8E得 (A*2E)BA=8E, B=8(A*2E)1A1 =8[A(A*2E)]1 =8(AA*2A)1 =8(|A|E2A)1 =8(2E2A)1 =4(E+A)1 =4[diag(2, 1, 2)]1 =2diag(1, 2, 1). 22. 已知矩陣A的伴隨陣, 且ABA1=BA1+3E, 求B. 解 由|A*|=|A|3=8, 得|A|=2. 由ABA1=BA1+3E得 AB=B+3A, B=3(AE)1A=3[A(EA1)]1A . 23. 設(shè)P1AP=L, 其中, , 求A11. 解 由P1AP=L, 得A=PLP1, 所以A11= A=PL11P1. |P|=3, , , 而 , 故 . 24. 設(shè)AP=PL, 其中, , 求j(A)=A8(5E6A+A2). 解 j(L)=L8(5E6L+L2) =diag(1,1,58)[diag(5,5,5)diag(6,6,30)+diag(1,1,25)] =diag(1,1,58)diag(12,0,0)=12diag(1,0,0). j(A)=Pj(L)P1 . 25. 設(shè)矩陣A、B及A+B都可逆, 證明A1+B1也可逆, 并求其逆陣. 證明 因?yàn)? A1(A+B)B1=B1+A1=A1+B1, 而A1(A+B)B1是三個(gè)可逆矩陣的乘積, 所以A1(A+B)B1可逆, 即A1+B1可逆. (A1+B1)1=[A1(A+B)B1]1=B(A+B)1A. 26. 計(jì)算. 解 設(shè), , , , 則 , 而 , , 所以 , 即 . 27. 取, 驗(yàn)證. 解 , 而 , 故 . 28. 設(shè), 求|A8|及A4. 解　令, , 則 , 故 , . . 29. 設(shè)n階矩陣A及s階矩陣B都可逆, 求 (1)。 解 設(shè), 則 . 由此得 222。, 所以 . (2). 解 設(shè), 則 . 由此得 222。, 所以 . 30. 求下列矩陣的逆陣: (1)。 解 設(shè), , 則 , . 于是 . (2). 解 設(shè), , , 則 . 第三章　矩陣的初等變換與線性方程組 1. 把下列矩陣化為行最簡形矩陣: (1)。 解 (下一步: r2+(2)r1, r3+(3)r1. ) ~(下一步: r2184。(1), r3184。(2). ) ~(下一步: r3r2. ) ~(下一步: r3184。3. ) ~(下一步: r2+3r3. ) ~(下一步: r1+(2)r2, r1+r3. ) ~. (2)。 解 (下一步: r2180。2+(3)r1, r3+(2)r1. ) ~(下一步: r3+r2, r1+3r2. ) ~(下一步: r1184。2. ) ~. (3)。 解 (下一步: r23r1, r32r1, r43r1. ) ~(下一步: r2184。(4), r3184。(3) , r4184。(5). ) ~(下一步: r13r2, r3r2, r4r2. ) ~. (4). 解 (下一步: r12r2, r33r2, r42r2. ) ~(下一步: r2+2r1, r38r1, r47r1. ) ~(下一步: r1171。r2, r2180。(1), r4r3. ) ~(下一步: r2+r3. ) ~. 2. 設(shè), 求A. 解 是初等矩陣E(1, 2), 其逆矩陣就是其本身. 是初等矩陣E(1, 2(1)), 其逆矩陣是 E(1, 2(1)) . . 3. 試?yán)镁仃嚨某醯茸儞Q, 求下列方陣的逆矩陣: (1)。 解 ~ ~~ ~故逆矩陣為. (2). 解 ~ ~ ~ ~ ~故逆矩陣為. 4. (1)設(shè), , 求X使AX=B。 解 因?yàn)? , 所以 . (2)設(shè), , 求X使XA=B. 解 考慮ATXT=BT. 因?yàn)? , 所以 , 從而 . 5. 設(shè), AX =2X+A, 求X. 解 原方程化為(A2E)X =A. 因?yàn)? , 所以 . 6. 在秩是r 的矩陣中,有沒有等于0的r1階子式? 有沒有等于0的r階子式? 解 在秩是r的矩陣中, 可能存在等于0的r1階子式, 也可能存在等于0的r階子式. 例如, , R(A)=3. 是等于0的2階子式, 是等于0的3階子式. 7. 從矩陣A中劃去一行得到矩陣B, 問A, B的秩的關(guān)系怎樣? 解 R(A)179。R(B). 這是因?yàn)锽的非零子式必是A的非零子式, 故A的秩不會小于B的秩. 8. 求作一個(gè)秩是4的方陣, 它的兩個(gè)行向量是(1, 0, 1, 0, 0), (1, 1, 0, 0, 0). 解 用已知向量容易構(gòu)成一個(gè)有4個(gè)非零行的5階下三角矩陣: ,此矩陣的秩為4, 其第2行和第3行是已知向量. 9. 求下列矩陣的秩, 并求一個(gè)最高階非零子式: (1)。 解 (下一步: r1171。r2. ) ~(下一步: r23r1, r3r1. ) ~(下一步: r3r2. ) ~, 矩陣的, 是一個(gè)最高階非零子式. (2)。 解 (下一步: r1r2, r22r1, r37r1. ) ~(下一步: r33r2. ) ~, 矩陣的秩是2, 是一個(gè)最高階非零子式. (3). 解 (下一步: r12r4, r22r4, r33r4. ) ~(下一步: r2+3r1, r3+2r1. ) ~(下一步: r2184。16r4, r316r2. ) ~ ~, 矩陣的秩為3, 是一個(gè)最高階非零子式. 10. 設(shè)A、B都是m180。n矩陣, 證明A~B的充分必要條件是R(A)=R(B). 證明 根據(jù)定理3, 必要性是成立的. 充分性. 設(shè)R(A)=R(B), 則A與B的標(biāo)準(zhǔn)形是相同的. 設(shè)A與B的標(biāo)準(zhǔn)形為D, 則有A~D, D~B.由等價(jià)關(guān)系的傳遞性, 有A~B. 11. 設(shè), 問k為何值, 可使 (1)R(A)=1。 (2)R(A)=2。 (3)R(A)=3. 解 . (1)當(dāng)k=1時(shí), R(A)=1。 (2)當(dāng)k=2且k185。1時(shí), R(A)=2。 (3)當(dāng)k185。1且k185。2時(shí), R(A)=3. 12. 求解下列齊次線性方程組: (1)。 解　對系數(shù)矩陣A進(jìn)行初等行變換, 有 A=~, 于是 , 故方程組