【正文】 第一章 行列式 1. 利用對(duì)角線法則計(jì)算下列三階行列式: (1)。 解 =2180。(4)180。3+0180。(1)180。(1)+1180。1180。8 0180。1180。32180。(1)180。81180。(4)180。(1) =24+8+164=4. (2)。 解 =acb+bac+cbabbbaaaccc =3abca3b3c3. (3)。 解 =bc2+ca2+ab2ac2ba2cb2 =(ab)(bc)(ca). (4). 解 =x(x+y)y+yx(x+y)+(x+y)yxy3(x+y)3x3 =3xy(x+y)y33x2 yx3y3x3 =2(x3+y3). 2. 按自然數(shù)從小到大為標(biāo)準(zhǔn)次序, 求下列各排列的逆序數(shù): (1)1 2 3 4。 解 逆序數(shù)為0 (2)4 1 3 2。 解 逆序數(shù)為4: 41, 43, 42, 32. (3)3 4 2 1。 解 逆序數(shù)為5: 3 2, 3 1, 4 2, 4 1, 2 1. (4)2 4 1 3。 解 逆序數(shù)為3: 2 1, 4 1, 4 3. (5)1 3 (2n1) 2 4 (2n)。 解 逆序數(shù)為: 3 2 (1個(gè)) 5 2, 5 4(2個(gè)) 7 2, 7 4, 7 6(3個(gè)) (2n1)2, (2n1)4, (2n1)6, , (2n1)(2n2) (n1個(gè)) (6)1 3 (2n1) (2n) (2n2) 2. 解 逆序數(shù)為n(n1) : 3 2(1個(gè)) 5 2, 5 4 (2個(gè)) (2n1)2, (2n1)4, (2n1)6, , (2n1)(2n2) (n1個(gè)) 4 2(1個(gè)) 6 2, 6 4(2個(gè)) (2n)2, (2n)4, (2n)6, , (2n)(2n2) (n1個(gè)) 3. 寫出四階行列式中含有因子a11a23的項(xiàng). 解 含因子a11a23的項(xiàng)的一般形式為(1)ta11a23a3ra4s,其中rs是2和4構(gòu)成的排列, 這種排列共有兩個(gè), 即24和42. 所以含因子a11a23的項(xiàng)分別是 (1)ta11a23a32a44=(1)1a11a23a32a44=a11a23a32a44, (1)ta11a23a34a42=(1)2a11a23a34a42=a11a23a34a42. 4. 計(jì)算下列各行列式: (1)。 解 . (2)。 解 . (3)。 解 . (4). 解 =abcd+ab+cd+ad+1. 5. 證明: (1)=(ab)3。 證明 =(ab)3 . (2)。 證明 . (3)。 證明 (c4c3, c3c2, c2c1得) (c4c3, c3c2得) . (4) =(ab)(ac)(ad)(bc)(bd)(cd)(a+b+c+d)。 證明 =(ab)(ac)(ad)(bc)(bd)(cd)(a+b+c+d). (5)=xn+a1xn1+ +an1x+an . 證明 用數(shù)學(xué)歸納法證明. 當(dāng)n=2時(shí), , 命題成立. 假設(shè)對(duì)于(n1)階行列式命題成立, 即 Dn1=xn1+a1 xn2+ +an2x+an1, 則Dn按第一列展開, 有 =xD n1+an=xn+a1xn1+ +an1x+an . 因此, 對(duì)于n階行列式命題成立. 6. 設(shè)n階行列式D=det(aij), 把D上下翻轉(zhuǎn)、或逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90176。、或依副對(duì)角線翻轉(zhuǎn), 依次得 , , , 證明, D3=D . 證明　因?yàn)镈=det(aij), 所以 . 同理可證 . . 7. 計(jì)算下列各行列式(Dk為k階行列式): (1), 其中對(duì)角線上元素都是a, 未寫出的元素都是0。 解 (按第n行展開) =anan2=an2(a21). (2)。 解 將第一行乘(1)分別加到其余各行, 得 , 再將各列都加到第一列上, 得 =[x+(n1)a](xa)n1. (3)。 解 根據(jù)第6題結(jié)果, 有 此行列式為范德蒙德行列式. . (4)。 解 (按第1行展開) . 再按最后一行展開得遞推公式 D2n=andnD2n2bnD2n2, 即D2n=(andnbn)D2n2. 于是 . 而 , 所以 . (5) D=det(aij), 其中aij=|ij|。 解 aij=|ij|, =(1)n1(n1)2n2. (6), 其中a1a2 an185。0. 解 . 8. 用克萊姆法則解下列方程組: (1)。 解 因?yàn)? , , , , ,所以 , , , . (2). 解 因?yàn)? , , , , , , 所以, , , , . 9. 問l, m取何值時(shí), 齊次線性方程組有非零解？ 解 系數(shù)行列式為 . 令D=0, 得 m=0或l=1. 于是, 當(dāng)m=0或l=1時(shí)該齊次線性方程組有非零解. 10. 問l取何值時(shí), 齊次線性方程組有非零解？ 解 系數(shù)行列式為 =(1l)3+(l3)4(1l)2(1l)(3l) =(1l)3+2(1l)2+l3. 令D=0, 得 l=0, l=2或l=3. 于是, 當(dāng)l=0, l=2或l=3時(shí), 該齊次線性方程組有非零解. 第二章　矩陣及其運(yùn)算 1. 已知線性變換: , 求從變量x1, x2, x3到變量y1, y2, y3的線性變換. 解 由已知: , 故 , . 2. 已知兩個(gè)線性變換 , , 求從z1, z2, z3到x1, x2, x3的線性變換. 解 由已知 , 所以有. 3. 設(shè), , 求3AB2A及ATB. 解 , . 4. 計(jì)算下列乘積: (1)。 解 . (2)。 解 =(1180。3+2180。2+3180。1)=(10). (3)。 解 . (4) 。 解 . (5)。 解 =(a11x1+a12x2+a13x3 a12x1+a22x2+a23x3 a13x1+a23x2+a33x3) . 5. 設(shè), , 問: (1)AB=BA嗎? 解 AB185。BA. 因?yàn)? , 所以AB185。BA. (2)(A+B)2=A2+2AB+B2嗎? 解 (A+B)2185。A2+2AB+B2. 因?yàn)? , 但 , 所以(A+B)2185。A2+2AB+B2. (3)(A+B)(AB)=A2B2嗎? 解 (A+B)(AB)185。A2B2. 因?yàn)? , , 而 , 故(A+B)(AB)185。A2B2. 6. 舉反列說(shuō)明下列命題是錯(cuò)誤的: (1)若A2=0, 則A=0。 解 取, 則A2=0, 但A185。0. (2)若A2=A, 則A=0或A=E。 解 取, 則A2=A, 但A185。0且A185。E. (3)若AX=AY, 且A185。0, 則X=Y . 解 取 , , , 則AX=AY, 且A185。0, 但X185。Y . 7. 設(shè), 求A2, A3, , Ak. 解 , , , . 8. 設(shè), 求Ak . 解 首先觀察 , , , , , . 用數(shù)學(xué)歸納法證明: 當(dāng)k=2時(shí), 顯然成立. 假設(shè)k時(shí)成立，則k+1時(shí)， , 由數(shù)學(xué)歸納法原理知: . 9. 設(shè)A, B為n階矩陣，且A為對(duì)稱矩陣，證明BTAB也是對(duì)稱矩陣. 證明 因?yàn)锳T=A, 所以 (BTAB)T=BT(BTA)T=BTATB=BTAB, 從而BTAB是對(duì)稱矩陣. 10. 設(shè)A, B都是n階對(duì)稱矩陣，證明AB是對(duì)稱矩陣的充分必要條件是AB=BA. 證明 充分性: 因?yàn)锳T=A, BT=B, 且AB=BA, 所以 (AB)T=(BA)T=ATBT=AB, 即AB是對(duì)稱矩陣. 必要性: 因?yàn)锳T=A, BT=B, 且(AB)T=AB, 所以 AB=(AB)T=BTAT=BA. 11. 求下列矩陣的逆矩陣: (1)。 解 . |A|=1, 故A1存在. 因?yàn)? , 故 . (2)。 解 . |A|=1185。0, 故A1存在. 因?yàn)? , 所以 . (3)。 解 . |A|=2185。0, 故A1存在. 因?yàn)? , 所以 . (4)(a1a2 an 185。0) . 解 , 由對(duì)角矩陣的性質(zhì)知 . 12. 解下列矩陣方程: (1)。 解 . (2)。 解 . (3)。 解 . (4). 解 . 13. 利用逆矩陣解下列線性方程組: (1)。 解 方程組可表示為 , 故 , 從而有 . (2). 解 方程組可表示為 , 故 , 故有 .