【正文】 ??）求（）的分布函數(shù)；）求（；（）確定常數(shù)（其他）的概率密度為例：設(shè)二維隨機(jī)變量（.6161),(10 0320 0)32(??????? ?? ? ? ??? ?????????????? ????kkdyedxekdxdykedxdyyxfyxyx于是，）由性質(zhì)有解：（????????????? ?? ??????? ??.,0,0,0),1)(1(6),(),()2(0 032)32(其他由定義有y xyxvuy xxyeed u d ved u d vvufyxF5/2)1(36),(),(}{)3(0230 0)32(??????????????? ??? ???????????dyeedydxed x d yyxfd x d yyxfYXPyyyyxD yx 設(shè) G是平面上的有界區(qū)域 , 其面積為 S, 若二維隨機(jī)變量 ( X ,Y ) 的概率密度為 ????? ??其它0),(1),( GyxSyxf設(shè) ( X ,Y ) 在區(qū)域 G上服從均勻分布 , D為 G 內(nèi)的一區(qū)域 ,即 D?G,且 D的面積為 S(D),那么 SDSd x d ySd x d yyxfDYXP DD)(1),(}),{( ???? ????二維均勻分布 則稱 ( X,Y ) 在區(qū)域 G 上服從均勻分布 . 若說向區(qū)域 S上隨機(jī)投擲一點(diǎn)，將其質(zhì)點(diǎn)的坐標(biāo)用（ X,Y）來表示，則（ X,Y）服從該區(qū)域的均勻分布。這里“隨機(jī)投擲一點(diǎn)”的含義是指該點(diǎn)落入 S 內(nèi)任何部分區(qū)域內(nèi)的可能性只與這部分區(qū)域的面積成比例，而與這部分區(qū)域的位置和形狀無關(guān) . }.10,10{2,14,22??????YXPYXyxYX）（）的概率密度；）（求（上服從均勻分布，）在圓域例：設(shè)（? ??????????????1010.4141),(}10,10{10,102??dydxd x d yyxfYXPyxGG所以所確定的區(qū)域，為不等式）（???????????其他。的概率密度為）故（的面積）圓域解：（,0,4,41),(,4412222yxyxfYXAyx??若 ( X , Y )的概率密度為 ]})())((2)([)1(21e x p {121),(2222212121212221?????????????????????????yyxxyxf二維正態(tài)分布 ).,(~),(),(.11,0,0,2221212121??????????NYXYX記為服從二維正態(tài)分布，則稱其中 ?????????????????.2121}{,s i n,c o s.21}{),(21),(}.{),0,0,0(~),(22222222245402222222???????????????????????? ???????????????????d r dreYXPryrxd x d yeYXPyxeyxfYXPNYXryxyxyx則引進(jìn)極坐標(biāo)：所以解：易知求例：設(shè) n維隨機(jī)變量 設(shè) E是一個(gè)隨機(jī)試驗(yàn) ,它的樣本空間是 ?(e). 設(shè)隨機(jī)變量 是定義在同一樣本空間 上的 n個(gè)隨機(jī)變量，則稱向量 為 n維隨機(jī)向量或 n維隨機(jī)變量。 簡記為 )(,),(),( 21 eXeXeX n?))(,),(),(( 21 eXeXeX n?),( 21 nXXX ?設(shè) 是 n維隨機(jī)變量，對于任意實(shí)數(shù) ,稱 n元函數(shù) 為 n維隨機(jī)變量 的聯(lián)合分布函數(shù)。 ),( 21 nXXX ?nxxx , 21 ?},{),...,( 221121 nnn xXxXxXPxxxF ???? ?),( 21 nXXX ? X 和 Y 自身的分布函數(shù)分別稱為二維隨機(jī)向量( X,Y )關(guān)于 X 和 Y 的邊緣分布函數(shù)，分別記為 FX (x), FY (y)。設(shè) ( X, Y )的聯(lián)合分布函數(shù) F (x, y) 時(shí)，則 ),(),(lim},{lim},{}{)(yFyxFyYxXPyYXPyYPyFxxY????????????????????求得兩個(gè)邊緣分布函數(shù) 第二節(jié) 邊緣分布 ? ?),(),(l i m},{l i m},{}{????????????????????xFyxFyYxXPYxXPxXPxFyyX例 1：設(shè)二維隨機(jī)向量 (X,Y)的聯(lián)合分布函數(shù)為 }2{}30,20{)3(。)2(。,)1()3a rc t a n)(2a rc t a n(),(????????XPYXPYXCBAyCxBAyxF及求的邊緣分布函數(shù)和求的值試確定.2,2,1,0)2)(2a r c t a n(),(0)3a r c t a n)(2(),(1)2)(2(),(,)1(:2??????????????????????????????CBACxBAxFyCBAyFCBAF由此可解得知由分布函數(shù)的性質(zhì)解3a r c t a n121)3a r c t a n2(1),()(2a r c t a n121)2a r c t a n2(1),()()2(22yyyFyFxxxFxFYX????????????????????????由定義可得161418383169)0,0()3,0()0,2()3,2(}30,20{:41)2(1}2{1}2{,)3(????????????????????FFFFYXPFXPXPXX可得得的邊緣分布函數(shù)由二維離散型隨機(jī)變量的邊緣分布 ?,2,1,},{,),(???? jipyYxXPYXijji其分布律為為二維離散型隨機(jī)向量設(shè)??.2,1,},{}{),(, .2,1,},{}{,),(11????????????????????jpyYxXPyYPYYXipyYxXPxXPXYXYXYXiijijijjijjjii的邊緣分布律為關(guān)于同理的邊緣分布律關(guān)于的邊緣分布律關(guān)于和關(guān)于自身分布律分別稱之為和 將聯(lián)合分布律表的每一行或每一列相加得到邊緣分布。 例 2 設(shè)隨機(jī)變量 X 在 1， 2， 3， 4四個(gè)整數(shù)中等可能的取值，另一隨機(jī)變量 Y 在 1～ X 中可能的取一整數(shù)值，試求（ X,Y）的聯(lián)合分布律和其邊緣分布律。 解： ｛ X=i,Y=j｝的可能取值情況是： i=1, 2, 3, 4, j=1, … , i P{X=i,Y=j}=P{Y=j |X=i} P{ X=i } iji ,...1 4,3,2,1i 411 ????所以（ X,Y）的聯(lián)合分布律為 1/16 0 0 0 4 1/16 1/12 0 0 3 1/16 1/12 1/8 0 2 1/16 1/12 1/8 1/4 1 4 3 2 1 X Y 關(guān)于 X 的邊緣分布 4,3,2,1 4141}{11????? ????iiPiXPijijij關(guān)于 X 的邊緣分布 4,3,2,1 4141}{11????? ????iiPiXPijijij4,3,2,1 41}{4ji4ji???? ????jiPjYP ij關(guān)于 Y的邊緣分布 例 3：某人進(jìn)行射擊，擊中目標(biāo)的概率為 p（ 0 p1） , 射擊進(jìn)行到擊中兩次目標(biāo)為止，設(shè) X 表示第一次擊中目標(biāo)時(shí)的射擊次數(shù)， Y 表示共進(jìn)行射擊的次數(shù)，試求X和 Y 的聯(lián)合分布和邊緣分布。 解：按提議 X=m ,Y=n表示 m1次不中，第 m次擊中，接著 n1m次不中，第 n次擊中。 2 n 2{ , } q ( q 1 p ) 1 , 2 ... 1 n 2 , 3 . . . P X m Y n Pmn? ? ? ?? ? ?...2,1 },{}{ 11221???????????????mpqqpnYmXPmXPmmnnmn＝＝又...3,2 )1( },{}{ 22112211??????????????nqpnqpnymXPnYPnnmnnm＝＝2 n 2{ , } q ( q 1 p ) 1 , 2 ... 1 n 2 , 3 . . . P X m Y n Pmn? ? ? ?? ? ?0},{,1,0,1,0:2121 ????? kYkXPnkknYnX時(shí)當(dāng)?shù)乃锌赡苤禐榈乃锌赡苤禐榻??1 2 3 1 2 3i j 1 2 3 i ii 1 2 3124 : A , A , A A , A , AAA Φ ( i j) , A A A Ω , P ( A ) p ,0 p 1( i 1, 2, 3) , p p p 1., , A , A, ( , ).EEn X Y nX Y X Y? ? ? ?? ? ? ? ? ?例 試 驗(yàn) 有 三 個(gè) 結(jié) 果 。 滿 足將 試 驗(yàn) 獨(dú)立 地 重 復(fù) 次 以 分 別 表 示 次 試 驗(yàn) 中 出現(xiàn) 的 次 數(shù) 求 的 分 布 律 及 關(guān) 于 和 關(guān) 于 的邊 緣 分 布 律,)1(,212121212121321213221121kknkkkknkkpppppppkknAkAkAnkk???????????次試驗(yàn)中出現(xiàn)的概率為在其余次試驗(yàn)中出現(xiàn)在另外指定的某次試驗(yàn)中出現(xiàn)在指定的某由于試驗(yàn)的獨(dú)立性時(shí)當(dāng)2121211211211211)1(},{,.,212121212211kknkkkknknkknknkknknkknknppppCCkYkXPCCCCCCAAkAkAn???????????因此個(gè)事件兩兩互斥的種不同順序?qū)Χ疫@種不同的出現(xiàn)順序總共有次試驗(yàn)中出現(xiàn)可在其中任意而次試驗(yàn)中出現(xiàn)可在其中任意次試驗(yàn)中考慮到在nkppCkYPYknkkn ,2,1,0,)1(}{ 2222222 ????? ?的邊緣分布律為同樣可求得關(guān)于nkknkkppppCCkYkXPYXkknkkkknkn???????????