【正文】 　　 a[0]=1。　　 a[1]=1?！　?write(a,1)。　　 for (k=2。k=n。k++)　　 { pnext(a,k)。　　 write(a,k)?！　?getchar()?！　?}　　}　　四、遞歸　　 遞歸是設(shè)計和描述算法的一種有力的工具，由于它在復(fù)雜算法的描述中被經(jīng)常采用，為此在進一步介紹其他算法設(shè)計方法之前先討論它?！　?能采用遞歸描述的算法通常有這樣的特征：為求解規(guī)模為N的問題，設(shè)法將它分解成規(guī)模較小的問題，然后從這些小問題的解方便地構(gòu)造出大問題的解，并且這些規(guī)模較小的問題也能采用同樣的分解和綜合方法，分解成規(guī)模更小的問題，并從這些更小問題的解構(gòu)造出規(guī)模較大問題的解。特別地，當(dāng)規(guī)模N=1時，能直接得解?！　　締栴}】 編寫計算斐波那契（Fibonacci）數(shù)列的第n項函數(shù)fib（n）?！　?斐波那契數(shù)列為：0、……，即：　　 fib(0)=0?！　?fib(1)=1?！　?fib(n)=fib(n1)+fib(n2) （當(dāng)n1時）?！　懗蛇f歸函數(shù)有：　　int fib(int n)　　{ if (n==0) return 0?！　?if (n==1) return 1?！　?if (n1) return fib(n1)+fib(n2)?！　　　 遞歸算法的執(zhí)行過程分遞推和回歸兩個階段。在遞推階段，把較復(fù)雜的問題（規(guī)模為n）的求解推到比原問題簡單一些的問題（規(guī)模小于n）的求解。例如上例中，求解fib(n)，把它推到求解fib(n1)和fib(n2)。也就是說，為計算fib(n)，必須先計算fib(n1)和fib(n2)，而計算fib(n1)和fib(n2)，又必須先計算fib(n3)和fib(n4)。依次類推，直至計算fib(1)和fib(0)，分別能立即得到結(jié)果1和0。在遞推階段，必須要有終止遞歸的情況。例如在函數(shù)fib中，當(dāng)n為1和0的情況?！　?在回歸階段，當(dāng)獲得最簡單情況的解后，逐級返回，依次得到稍復(fù)雜問題的解，例如得到fib(1)和fib(0)后，返回得到fib(2)的結(jié)果，……，在得到了fib(n1)和fib(n2)的結(jié)果后，返回得到fib(n)的結(jié)果?！　?在編寫遞歸函數(shù)時要注意，函數(shù)中的局部變量和參數(shù)知識局限于當(dāng)前調(diào)用層，當(dāng)遞推進入“簡單問題”層時，原來層次上的參數(shù)和局部變量便被隱蔽起來。在一系列“簡單問題”層，它們各有自己的參數(shù)和局部變量。　　 由于遞歸引起一系列的函數(shù)調(diào)用，并且可能會有一系列的重復(fù)計算，遞歸算法的執(zhí)行效率相對較低。當(dāng)某個遞歸算法能較方便地轉(zhuǎn)換成遞推算法時，通常按遞推算法編寫程序。例如上例計算斐波那契數(shù)列的第n項的函數(shù)fib(n)應(yīng)采用遞推算法，即從斐波那契數(shù)列的前兩項出發(fā)，逐次由前兩項計算出下一項，直至計算出要求的第n項?！　　締栴}】 組合問題　　問題描述：找出從自然數(shù)……、n中任取r個數(shù)的所有組合。例如n=5，r=3的所有組合為： （1）3 （2）2 （3）1　　 （4）2 （5）1 （6）1　　 （7）2 （8）1 （9）1　　 （10）1　　 分析所列的10個組合，可以采用這樣的遞歸思想來考慮求組合函數(shù)的算法。設(shè)函數(shù)為void b(int m,int k)為找出從自然數(shù)……、m中任取k個數(shù)的所有組合。當(dāng)組合的第一個數(shù)字選定時，其后的數(shù)字是從余下的m1個數(shù)中取k1數(shù)的組合。這就將求m個數(shù)中取k個數(shù)的組合問題轉(zhuǎn)化成求m1個數(shù)中取k1個數(shù)的組合問題。設(shè)函數(shù)引入工作數(shù)組a[ ]存放求出的組合的數(shù)字，約定函數(shù)將確定的k個數(shù)字組合的第一個數(shù)字放在a[k]中，當(dāng)一個組合求出后，才將a[ ]中的一個組合輸出。第一個數(shù)可以是m、m……、k，函數(shù)將確定組合的第一個數(shù)字放入數(shù)組后，有兩種可能的選擇，因還未去頂組合的其余元素，繼續(xù)遞歸去確定；或因已確定了組合的全部元素，輸出這個組合。細(xì)節(jié)見以下程序中的函數(shù)b?！　　境绦颉俊　?include 　　 define MAXN 100　　int a[MAXN]?！　oid b(int m,int k)　　{ int i,j。　　 for (i=m。i=k。i)　　 { a[k]=i?！　?if (k1)　　 b(i1,k1)。　　 else　　 { for (j=a[0]。j0。j)　　 printf(“%4d”,a[j])?！　?printf(“\n”)?！　?}　　 }　　}　　　　void main()　　{ a[0]=3?！　?b(5,3)?！　　　【問題】 背包問題　　問題描述：有不同價值、不同重量的物品n件，求從這n件物品中選取一部分物品的選擇方案，使選中物品的總重量不超過指定的限制重量，但選中物品的價值之和最大?！　≡O(shè)n件物品的重量分別為w0、w…、wn1，物品的價值分別為v0、v…、vn1。采用遞歸尋找物品的選擇方案。設(shè)前面已有了多種選擇的方案，并保留了其中總價值最大的方案于數(shù)組option[ ]，該方案的總價值存于變量maxv。當(dāng)前正在考察新方案，其物品選擇情況保存于數(shù)組cop[ ]。假定當(dāng)前方案已考慮了前i1件物品，現(xiàn)在要考慮第i件物品；當(dāng)前方案已包含的物品的重量之和為tw；至此，若其余物品都選擇是可能的話，本方案能達到的總價值的期望值為tv。算法引入tv是當(dāng)一旦當(dāng)前方案的總價值的期望值也小于前面方案的總價值maxv時，繼續(xù)考察當(dāng)前方案變成無意義的工作，應(yīng)終止當(dāng)前方案，立即去考察下一個方案。因為當(dāng)方案的總價值不比maxv大時，該方案不會被再考察，這同時保證函數(shù)后找到的方案一定會比前面的方案更好?！　τ诘趇件物品的選擇考慮有兩種可能：　?。?） 考慮物品i被選擇，這種可能性僅當(dāng)包含它不會超過方案總重量限制時才是可行的。選中后，繼續(xù)遞歸去考慮其余物品的選擇?！　。?） 考慮物品i不被選擇，這種可能性僅當(dāng)不包含物品i也有可能會找到價值更大的方案的情況。　　按以上思想寫出遞歸算法如下：　　try(物品i，當(dāng)前選擇已達到的重量和，本方案可能達到的總價值tv)　　{ /*考慮物品i包含在當(dāng)前方案中的可能性*/　　 if(包含物品i是可以接受的)　　 { 將物品i包含在當(dāng)前方案中；　　 if (i　　 try(i+1,tw+物品i的重量,tv)。　　 else　　 /*又一個完整方案，因為它比前面的方案好，以它作為最佳方案*/　　以當(dāng)前方案作為臨時最佳方案保存。　　 恢復(fù)物品i不包含狀態(tài)；　　 }　　 /*考慮物品i不包含在當(dāng)前方案中的可能性*/　　 if (不包含物品i僅是可男考慮的)　　 if (i　　 try(i+1,tw,tv物品i的價值)；　　 else　　 /*又一個完整方案，因它比前面的方案好，以它作為最佳方案*/　　以當(dāng)前方案作為臨時最佳方案保存?！　?}　　 為了理解上述算法，特舉以下實例。設(shè)有4件物品，它們的重量和價值見表：　　物品 0 1 2 3　　重量 5 3 2 1　　價值 4 4 3 1　　　　并設(shè)限制重量為7。則按以上算法，下圖表示找解過程。由圖知，一旦找到一個解，算法就進一步找更好的佳。如能判定某個查找分支不會找到更好的解，算法不會在該分支繼續(xù)查找，而是立即終止該分支，并去考察下一個分支?！　　　“瓷鲜鏊惴ň帉懞瘮?shù)和程序如下：　　【程序】　　 include 　　 define N 100　　double limitW,totV,maxV?！　nt option[N],cop[N]?！　truct { double weight?！　?double value。　　 }a[N]?！　nt n?！　oid find(int i,double tw,double tv)　　{ int k?！　?/*考慮物品i包含在當(dāng)前方案中的可能性*/　　 if (tw+=limitW)　　 { cop=1?！　?if (i　　 else　　 { for (k=0。k　　 option[k]=cop[k]?！　?maxv=tv?！　?}　　 cop=0?！　　　 /*考慮物品i不包含在當(dāng)前方案中的可能性*/　　 if (maxV)　　 if (i　　 else　　 { for (k=0。k　　 option[k]=cop[k]。　　 maxv=?！　?}　　}　　　　void main()　　{ int k?！　?double w,v?！　?printf(“輸入物品種數(shù)\n”)?！　?scanf((“%d”,amp。n)?！　?printf(“輸入各物品的重量和價值\n”)?！　?for (totv=,k=0。k　　 { scanf(“%1f%1f”,amp。w,amp。v)?！　?a[k].weight=w?！　?a[k].value=v?！　?totV+=V?！　?}　　 printf(“輸入限制重量\n”)?！　?scanf(“%1f”,amp。limitV)?！　?maxv=?！　?for (k=0。k　　 find(0,totV)?！　?for (k=0。k　　 if (option[k]) printf(“%4d”,k+1)?！　?printf(“\n總價值為%.2f\n”,maxv)?！　　　 作為對比，下面以同樣的解題思想，考慮非遞歸的程序解。為了提高找解速度，程序不是簡單地逐一生成所有候選解，而是從每個物品對候選解的影響來形成值得進一步考慮的候選解，一個候選解是通過依次考察每個物品形成的。對物品i的考察有這樣幾種情況：當(dāng)該物品被包含在候選解中依舊滿足解的總重量的限制，該物品被包含在候選解中是應(yīng)該繼續(xù)考慮的；反之，該物品不應(yīng)該包括在當(dāng)前正在形成的候選解中。同樣地，僅當(dāng)物品不被包括在候選解中，還是有可能找到比目前臨時最佳解更好的候選解時，才去考慮該物品不被包括在候選解中；反之，該物品不包括在當(dāng)前候選解中的方案也不應(yīng)繼續(xù)考慮。對于任一值得繼續(xù)考慮的方案，程序就去進一步考慮下一個物品?！　　境绦颉俊　?include 　　 define N 100　　double limitW?！　nt cop[N]?！　truct ele { double weight?！　?double value?！　?} a[N]?！　nt k,n。　　struct { int ?！　?double tw。　　 double tv?！　?}twv[N]?！　oid next(int i,double tw,double tv)　　{ twv.=1?！　?=tw?！　?=tv。　　}　　double find(struct ele *a,int n)　　{ int i,k,f?！　?double maxv,tw,tv,totv?！　?maxv=0?！　?for (totv=,k=0。k　　 totv+=a[k].value?！　?next(0,totv)?！　?i=0?！　?While (i=0)　　 { f=twv.?！　?tw=?！　?tv=?！　?switch(f)　　 { case 1: twv.++。　　 if (tw+=limitW)　　 if (i　　 { next(i+1,tw+,tv)?！　?i++?！　?}　　 else　　 { maxv=tv。　　 for (k=0。k　　 cop[k]=twv[k].!=0?！　?}　　 break?！　?case 0: i?！　?break。　　 default: twv.=0?！　?if (maxv)　　 if (i　　 { next(i+1,tw,)?！　?i++?！　?}　　 else　　 { maxv=?！　?for (k=0。k　　 cop[k]=twv[k].!=0?！　?}　　 break?！　?}　　 }　　 return maxv?！　　　　　void main()　　{ double maxv?！　?printf(“輸入物品種數(shù)\n”)?！　?scanf((“%d”,amp。n)。　　 printf(“輸入限制重量\n”)?！　?scanf(“%1f”,amp。limitW)?！　rintf(“輸入各物品的重量和價值\n”)?！　?for (k=0。k　　 scanf(“%1f%1f”,amp。a[k].weight,amp。a[k].value)。　　 maxv=find(a,n)?！　?printf(“\n選中的物品為\n”)?！　or (k=0。k　　 if (option[k]) printf(“%4d”,k+1)?！　?printf(“\n總價值為%.2f\n”,maxv)?！　　　五、回溯法　　 回溯法也稱為試探法，該方法首先暫時放棄關(guān)于問題規(guī)模大小的限制，并將問題的候選解按某種順序逐一枚舉和檢驗。當(dāng)發(fā)現(xiàn)當(dāng)前候選解不可能是解時，就選擇下一個候選解；倘若當(dāng)前候選解除了還不滿足問題規(guī)模要求外，滿足所有其他要求時，繼續(xù)擴大當(dāng)前候選解的規(guī)模，并繼續(xù)試探。如果當(dāng)前候選解滿足包括問題規(guī)模在內(nèi)的所有要求時，該候選解就是問題的一個解。在回溯法中，放棄當(dāng)前候選解，尋找下一個候選解的過程稱為回溯。擴大當(dāng)前候選解的規(guī)模，以繼續(xù)試探的過程稱為向前試探?！　』厮莘ǖ囊话忝枋觥　】捎没厮莘ㄇ蠼獾膯栴}P，通常要能表達為：對于已知的由n元組（x1，x2，…，xn）組成的一個狀態(tài)空間E={（x1，x2，…，xn）∣xi∈Si ，i=1，2，…，n}，給定關(guān)于n元組中的一個分量的一個約束集D，要求E中滿足D的全部約束條