【正文】 第二，對應(yīng)性質(zhì)相同，都是單值對應(yīng)與多值對應(yīng)即都是 “ 一對一 ” ( 當然包含一一對應(yīng) ) 或 “ 多對一 ” 的對應(yīng)． 不同點： 第一，從結(jié)構(gòu)上看，函數(shù)的定義域與值域都是非空的數(shù)集，而映射中兩個集合 A 與 B 中的元素可以是數(shù)或點或別的什么． 第二，從性質(zhì)上看，函數(shù)的值域是全體函數(shù)值的集合，而映射中 B 集合則不然，全體 A 中元素的象所構(gòu)成的集合只是 B 的子集，即 { f ( a )| a ∈ A } ? B . 聯(lián)系：函數(shù)是一種特殊的映射．即非空數(shù)集間的映射． 4 ． 函數(shù)的三種表示法及其各自的優(yōu)點與不足 ( 1 ) 解析法與分段函數(shù) ① 定義：把兩個變量的函數(shù)關(guān)系，用一個等式來表示的方法叫做解析法，這個等式叫做函數(shù)的解析表達式，簡稱解析式．如： s＝ 60 t2， y ＝ x － 2 ， y ＝????? x ? x ≥ 0 ?－ x ? x ＜ 0 ?. 這三個函數(shù)都是用解析法表示的，第三個函數(shù)雖然分成了兩段，但還是用一個 等號連接，不要以為是分成了幾段就是幾個函數(shù)，實際上是一個函數(shù)，這類函數(shù)叫分段函數(shù)，其定義域是各段自變量范圍的并集． ② 由函數(shù)定義可知任一垂直于 x 軸的直線與函數(shù)的圖象至多一個交點． ③ 優(yōu)點與不足 用解析式表示函數(shù)關(guān)系的優(yōu)點是：函數(shù)關(guān)系清楚，容易從自變量的值求出其對應(yīng)的函數(shù)值，便于用解析式來研究函數(shù)的性質(zhì)．而不足是抽象、不直觀，不能像列表法與圖象法那樣對函數(shù)的動態(tài)變化那樣很具體，很直觀地被感知． ( 2 ) 列表法 ① 定義：把兩個變量的函數(shù)關(guān)系用表格的形式表示出來．這種表示法就叫做列表法． 例如，國內(nèi)生產(chǎn)總值表，就表 示了我國生產(chǎn)總值與年份的函數(shù)關(guān)系，還有車站內(nèi)里程與票價表，就表示了票價與里程的函數(shù)關(guān)系． ② 優(yōu)點與不足 用列表法表示函數(shù)關(guān)系的優(yōu)點是具體、直觀，不必通過計算就知道當自變量取某些值時函數(shù)的對應(yīng)值；而不足是對函數(shù)規(guī)律，即函數(shù)與自變量之間的內(nèi)在聯(lián)系表達不清楚．對應(yīng)法則究竟是什么，從表格上有時很難看出來． ( 3 ) 圖象法 ① 定義：圖象法就是用函數(shù)圖象來表示兩個變量之間的關(guān)系． 例如我國人口出生率變化曲線，它表示了人口出生率與時間的函數(shù)關(guān)系，又如護士記錄的人體溫度隨時間變化的曲線也表示了人體溫度與時間的函數(shù)關(guān)系．生活和 生產(chǎn)實踐中用圖象法表示函數(shù)的例子很多． ② 優(yōu)點與不足 用圖象法表示函數(shù)的優(yōu)點是：直觀形象，對函數(shù)與自變量之間的運動變化的關(guān)系很形象、很直觀地顯示出來；而不足是不能了解函數(shù)與自變量運動變化的本質(zhì)規(guī)律．因為圖象顯示出來的畢竟只是一部分，還有其他的呢，即繼續(xù)下去又是什么規(guī)律，不得而知． ( 4 ) 函數(shù)的三種表示法雖然各有優(yōu)點，但也各有不足，在實踐中可以相互補充、相互利用、相互轉(zhuǎn)化． 5 ． 函數(shù)定義域的求法與應(yīng)用 ( 1 ) 法則 函數(shù)的定義域是使函數(shù)有意義的自變量的取值范圍，因此必須遵循以下法則 ( 在此只列舉中學(xué)數(shù)學(xué)中常用的 ) ： ① 分式的分母不能為零； ② 偶次根號下不能為負； ③ 對數(shù)的真數(shù)必須大于 0 ，如果對數(shù)函數(shù)的底數(shù)中也含有自變量，則底數(shù)大于 0 且不等于 1 ； ④ 指數(shù)函數(shù)的底數(shù)大于 0 且不等于 1 ； ⑤ 正切函數(shù)對定義域的限制； ⑥ 由有限個函數(shù)的四則運算得到的函數(shù)，其定義域是這有限個函數(shù)的定義域的交集； ⑦ 對于由實際問題建立的函數(shù)，其定義域還應(yīng)該受到實際問題的具體條件制約． ( 2 ) 應(yīng)用 關(guān)于定義域的應(yīng)用，比較常見的有以下幾個方面： ① 求值域或確定函數(shù)值的變化范圍 ② 解析式的變形或化簡 在運算過程中，要經(jīng)常對解析式進行變化或化簡處理，但要 注意同時乘以或除以一個符號不確定的因子時，要討論是否在定義域范圍內(nèi)，否則就不是恒等變形，或者說就不是原來的函數(shù)了． ③ 解不等式或解方程 在解不等式時，應(yīng)注意不等式的解集是定義域的子集． 在解方程時由于對方程兩邊進行了 “ 平方 ” ， “ 同乘 ” 或 “ 同除 ” ，導(dǎo)致未知數(shù)的范圍擴大或縮小從而產(chǎn)生了增根或失根這類現(xiàn)象．防止的對策是：第一，變形時，保證是同解變形；第二，如不是同解變形時，則需檢驗；第三，對實際問題應(yīng)檢驗是否符合實際意義，即是否在定義域內(nèi)． ④ 求函數(shù)的最值 函數(shù)最值是自變量 x 取某個值 x0時所得到的對應(yīng)的函數(shù)值的極端情形 f ( x0) ，如果這個值 f ( x0) 在定義域中沒有這樣的 x0與它對應(yīng)，那么它就是偽值．在解題中往往有許多同學(xué)不注意而導(dǎo)致錯誤． 6 ． 復(fù)合函數(shù) 若 y 是 u 的函數(shù)， u 又是 x 的函數(shù)，即 y ＝ f ( u ) ， u ＝ g ( x ) ， x ∈ ( a ，b ) ， u ∈ ( m ， n ) ，那么 y 關(guān)于 x 的函數(shù) y ＝ f [ g ( x )] ， x ∈ ( a ， b ) 叫做 f和 g 的復(fù)合函數(shù)， u 叫做中間變量， u 的取值范圍是 g ( x ) 的值域． 復(fù)合函數(shù)的定義域由外函數(shù)的定義域、內(nèi)函數(shù)的值域以及內(nèi)函數(shù)的定義域共同確定． 7 ． 求函數(shù)解析式的問題類型與解題方法 ( 1 ) 求函數(shù)解析式的常見問題類型： ① 已知 f ( x ) 和 g ( x ) ，求 f [ g ( x )] ； ② 已知 f [ g ( x )] 和 g ( x ) ，求 f ( x ) ； ③ 解含 f ( x ) 的方程，求 f ( x ) ； ④ 已知 f ( x ) 的局部性質(zhì)，求 f ( x ) ； ⑤ 已知 f ( x ) 的圖象特征，求 f ( x ) ． ( 2 ) 求函數(shù)解析式的常用方法： 常用方法有：代入法、換元法、待定系數(shù)法、配湊法、賦值法、解方程 ( 或方程組 ) 法等． 在何種情況下使用哪一種方法，應(yīng)根據(jù)具體情況確定，但是待定系數(shù)法一般在已知函數(shù)的基本類型后方可使用 . 典 例 對 對 碰 題型一 相同函數(shù)的判定 例 1 給出下列四組定義在實數(shù)范圍內(nèi)的函數(shù) f ( x ) 和 g ( x ) ： ① f ( x ) ＝ lg x ， g ( x ) ＝12lg x2； ② f ( x ) ＝ x ， g ( x ) ＝ x2； ③ f ( x ) ＝ 2 x ＋ 1 ， g ( x ) ＝ 3 x ＋ 1 ； ④ f ( x ) ＝ x ＋ 1 ， g ( x ) ＝x ＋ 1x2＋ 1( x2＋ 1) ； 其中 f ( x ) 與 g ( x ) 表示同一函數(shù)的組的序號是 _ _ _ _ _ _ ． 分析 判斷兩個函數(shù)是否為同一函數(shù)的依據(jù)是函數(shù)的三要素，若兩個函數(shù)在定義域、值域、對應(yīng)法則這三個要素中有一個不相同，那么這兩個函數(shù)就不是同一個函數(shù)．由于函數(shù)的定義域一旦確定，那么在給定的對應(yīng)法則之下，函數(shù)的值域也被確定，所以判斷兩個函數(shù)是否為同一函數(shù)，可以主要從對應(yīng)法則和定義域是否相同來進行分辨． 解析 ① 中 f ( x ) 的定義域為 (0 ，＋ ∞ ) ，而 g ( x ) 的定義域為 ( － ∞ ，0) ∪ (0 ，＋ ∞ ) ， ② 中 f ( x ) 的值域為 R ， g ( x ) 的值域為 [0 ，＋ ∞ ) ， ③ 中 f ( x ) 與 g ( x ) 的對應(yīng)法則不同， ④ 中表面看兩個函數(shù)不同，變形后可以看到兩個函數(shù)的三個要素都相同． 答案 ④ 點評 當給出函數(shù)的對應(yīng)法則比較復(fù)雜時，通常需要化簡函數(shù)解析式，這時應(yīng)力求避免在變形的過程中改變函數(shù)的定義域． 如 ① ，若不注意 g ( x ) ＝12lg x2＝ lg | x |，則將在確定定義域時產(chǎn)生錯誤 . 變式遷移 1 給出 3 組定義在實數(shù)范圍內(nèi)的 f ( x ) 和 g ( x ) ： ① f ( x ) ＝ x2， g ( x ) ＝ | x |2； ② f ( x ) ＝ x2， g ( x ) ＝ x | x | ； ③ f ( x ) ＝4 x2－ 12 x ＋ 9 ， g ( x ) ＝ |3 － 2 x |，其中兩函數(shù)相同的是 ( ) A ． ①③ B ． ②③ C ． ③ D ．以上答案都不對 答案 A 解析 兩函數(shù)相同，應(yīng)該是定義域與函數(shù)關(guān)系完全相同． ① 中f ( x ) 與 g ( x ) 解析式相同，定義域也相同； ② 中 f ( x ) 與 g ( x ) 函數(shù)關(guān)系不同； ③ 中 f ( x ) 與 g ( x ) 定義域相同．故選 A. 題型二 函數(shù)的定義域 例 2 ( 1 ) y ＝ lo g12? x2－ 1 ? 的定義域是 ( ) A ． [ － 2 ，－ 1) ∪ (1 ， 2 ] B ． ( － 2 ，－ 1) ∪ (1 ， 2 ) C ． [ － 2 ，－ 1) ∪ ( 1 , 2 ] D ． ( － 2 ，－ 1) ∪ ( 1 , 2 ) ( 2 ) 函數(shù) f ( x ) ＝? 2 － x ?? x ＋ 1 ?| x |＋ x的定義域是 ( ) A ． ( － ∞ ，－ 1] ∪ [2 ，＋ ∞ ) B ． ( 0 , 2 ] C ． [ － 1 , 2 ] D ． [2 ，＋ ∞ ) 分析 根據(jù)解析式的意義列出不等式組，解出各個不等式的解集后，利用數(shù)軸來確定它們的交集，要特別注意對于各個區(qū)間端點值的取舍考慮． 解析 ( 1 ) ∵ lo g12( x2－ 1) ≥ 0 ， ∴ 0 ＜ x2－ 1 ≤ 1 ， 故得 1 ＜ x2≤ 2 ， ∴ x ∈ [ － 2 ，－ 1) ∪ (1 ， 2 ] ． ∴ 正確選項為 A ； ( 2 ) ∵????? ? 2 － x ?? x ＋ 1 ? ≥ 0 ，| x |＋ x ≠ 0 ， ∴????? ? x ＋ 1 ?? x － 2 ? ≤ 0 ，| x |≠ － x ， 即－ 1 ≤ x ≤ 2 ，且 x ＞ 0 ， ∴ x ∈ ( 0 , 2 ] ∴ 正確選項為 B. 答案 ( 1 ) A ( 2 ) B 變式遷移 2