dgiaaa113-三個正數(shù)的算術(shù)--幾何平均不等式-課件(人教a選修4-5)-文庫吧
2025-07-09 10:50 本頁面
【正文】 3。ac＋ 33caabbc－ 3 ＝ 6 － 3 ＝ 3. 當(dāng) 且僅當(dāng) a ＝ b ＝ c 時取等號． (1)不等式的證明方法較多，關(guān)鍵是從式子的結(jié)構(gòu)入手進(jìn)行分析． (2)運(yùn)用三個正數(shù)的平均值不等式證明不等式時，仍要注意 “一正、二定、三相等 ”，在解題中，若兩次用平均值不等式，則只有在 “相等 ”條件相同時，才能取到等號． 1. 設(shè) a 、 b 、 c ∈ R ＋ ，求證： ( a ＋ b ＋ c )??????1a ＋1b ＋1c ≥ 9. 證明： ∵ a ， b ， c ∈ R＋時， a ＋ b ＋ c ≥ 3 3abc ， 1a＋1b＋1c≥ 3 31abc. ∴ ( a ＋ b ＋ c )??????1a＋1b＋1c≥ 9. 當(dāng)且僅當(dāng) a ＝ b ＝ c 時，等號成立． 證明： 因?yàn)?a 1 是正數(shù)，根據(jù)三個正數(shù)的平均不等式，有 2 ＋ a 1＝ 1 ＋ 1 ＋ a 1 ≥ 33a 1 . 同理 2 ＋ a j≥ 3 3a j ( j＝ 2,3 ， ? n ) ． 將上述各不等式的兩邊分別相乘即得 2．已知 a1， a2， … ， an都是正數(shù)，且 a1a2… an＝ 1，求證： (2＋ a1)(2＋ a2)…(2 ＋ an)≥3n. (2 ＋ a1)(2 ＋ a2) ? (2 ＋ an) ≥ (33a1)(33a2) ? (33an) ＝ 3n3a1a2? an. ∵ a1a2? an＝ 1 ， ∴ (2 ＋ a1)(2 ＋ a2) ? (2 ＋ an) ≥ 3n. 當(dāng)且僅當(dāng) a1＝ a2＝ ? ＝ a
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