基于lqr的一階倒立擺控制-文庫(kù)吧
2024-10-21 03:38 本頁(yè)面
【正文】 （4） （4）式中，Q為半正定對(duì)稱常數(shù)矩陣，為狀態(tài)工的加權(quán)陣；足為正定實(shí)對(duì)稱常數(shù)矩陣，為控制比的加權(quán)陣。根據(jù)最小值原理，可以得到最優(yōu)控制規(guī)律： （5）式中為最優(yōu)反饋增益矩陣；P為正定常數(shù)矩陣，且滿足Riccati代數(shù)方程： （6）因此，最優(yōu)控制規(guī)律的設(shè)計(jì)歸結(jié)于求解Riccati代數(shù)方程的問(wèn)題。在LQR的設(shè)計(jì)時(shí)，在運(yùn)用線性二次型最優(yōu)控制原理進(jìn)行控制器設(shè)計(jì)時(shí)，主要問(wèn)題是求解Riccati代數(shù)方程，進(jìn)而獲得最優(yōu)反饋增益矩陣K。在求解Riccati代數(shù)方程的過(guò)程中需要對(duì)二次型目標(biāo)函數(shù)中的加權(quán)陣Q、R進(jìn)行設(shè)置。為使問(wèn)題簡(jiǎn)化并且使加權(quán)陣Q、R具有明顯的物理意義，可取R=I，Q為對(duì)角陣，即假設(shè)： （7） 若用x1表示小車(chē)的位移，x2表示小車(chē)的速度，x3表示直桿的角度，x4表示直桿偏角角速度的大小則二次型目標(biāo)函數(shù)為： （8） 可見(jiàn)，qii是對(duì)xi的平方加權(quán)，qii的相對(duì)增加就會(huì)使xi在性能指標(biāo)中的比重加大。由倒立擺系統(tǒng)的狀態(tài)空間形式的數(shù)學(xué)模型可知，q1q2q3q44“分別表示小車(chē)位置、小車(chē)速度、擺桿角度、擺桿角速度4個(gè)狀態(tài)量在系統(tǒng)性能指標(biāo)中的權(quán)重，因此改變qii將直接影響相應(yīng)的狀態(tài)量xi的控制性能。在調(diào)試系統(tǒng)時(shí)，將q22和q44設(shè)為0，改變q11和q33的值來(lái)調(diào)節(jié)系統(tǒng)的性能，一般來(lái)說(shuō)，權(quán)值在一定范圍內(nèi)增加，系統(tǒng)的抗干擾性能將增強(qiáng)，但是，qii不可以無(wú)限的增大，否則將引起系統(tǒng)不穩(wěn)定。在確定好加權(quán)陣Q后，進(jìn)行LQR控制器的設(shè)計(jì)，利用K=lqr(A,B,R,Q) 語(yǔ)句求的LQR控制器的反饋增益矩陣K，利用 Kc=place(Ac,Bc,p)語(yǔ)句可以對(duì)系統(tǒng)的極點(diǎn)進(jìn)行任意的設(shè)置，其中Ac=[(AB*K)]，Bc=[B]，pi(i=1,2,3,4)為任意配置的極點(diǎn)，由GUI用戶界面進(jìn)行輸入。 經(jīng)過(guò)對(duì)題目的分析和對(duì)LQR控制器原理的理解以及對(duì)MATLAB GUI用戶界面制作的學(xué)習(xí)，我決定采用這樣的一個(gè)設(shè)計(jì)方案：先設(shè)計(jì)一個(gè)簡(jiǎn)單的只具有輸入功能的GUI界面，再在設(shè)計(jì)的過(guò)程中逐步的添加控件，完善設(shè)計(jì)方案。我認(rèn)為這樣思路會(huì)比較清晰，由淺入深，最終設(shè)計(jì)出理想的LQR控制器。利用以上所描述的方案設(shè)計(jì)思想，首先完成一階倒立擺參數(shù)數(shù)據(jù)和狀態(tài)加權(quán)矩陣Q的輸入，其次是LQR控制器反饋增益矩陣K的輸出和由界面輸入任意設(shè)定的系統(tǒng)閉環(huán)極點(diǎn)pi（i=1,2,3,4）,最后是在所設(shè)計(jì)的GUI界面上輸出控制器和系統(tǒng)的輸出波形。至此，整個(gè)設(shè)計(jì)就算是大體上完成了，剩下的就是調(diào)試問(wèn)題，調(diào)試是通過(guò)調(diào)節(jié)Q來(lái)進(jìn)行的，通過(guò)調(diào)節(jié)Q矩陣中權(quán)值的大小可以增強(qiáng)系統(tǒng)的抗干擾性能，使系統(tǒng)的調(diào)整時(shí)間縮短，使系統(tǒng)處于最佳控制狀態(tài)。 GUI用戶界面的設(shè)定設(shè)計(jì)從GUI用戶界面開(kāi)始展開(kāi)，首先新建一個(gè)空白的GUI，在這個(gè)空白的GUI上放置好所需要的控件，如圖3所示： 圖3 預(yù)先放置好的GUI界面運(yùn)行GUI生成圖4所示的界面： 圖4 運(yùn)行GUI生成的界面運(yùn)行界面后各個(gè)控件會(huì)生成相應(yīng)的代碼，通過(guò)給這些代碼添加操作的程序便可已完成軟件的設(shè)計(jì)了。 數(shù)據(jù)從界面輸入并被讀取以找到“文本框”（Edit Text)的響應(yīng)，例如：其中一文本框生成的響應(yīng)“function edit2_Callback(hObject, eventdata, handles)”，在該語(yǔ)句后插入語(yǔ)句“input = str2num(get(hObject,39。String39。))。 ”就可以完成文本框中數(shù)據(jù)的讀取了。文本框返回的數(shù)據(jù)是string類(lèi)型的，所以要用“str2double”將數(shù)據(jù)轉(zhuǎn)換成雙精度的數(shù)值型數(shù)據(jù)，例如：“M=str2double(get(,39。String39。))。”語(yǔ)句就是將string類(lèi)型數(shù)據(jù)轉(zhuǎn)換為double類(lèi)型的數(shù)據(jù)傳遞給M。 編寫(xiě)開(kāi)關(guān)控件響應(yīng)下的程序找到“開(kāi)關(guān)”控件（Push Button）的響應(yīng)“function pushbutton1_Callback(hObject, eventdata, handles)”在該響應(yīng)后添加想要完成的操作，在此設(shè)計(jì)中即為主程序部分。這部分是整個(gè)設(shè)計(jì)的核心部分，主要完成LQR控制器設(shè)計(jì)中的系數(shù)計(jì)算、控制器算法設(shè)計(jì)和波形輸出等重要問(wèn)題。系數(shù)矩陣和反饋增益矩陣K的計(jì)算理論和方法在本文的“LQR控制器基本理論”部分已經(jīng)闡述過(guò)，這里不再做更多的描述，只要利用MATLAB合理的編程完成計(jì)算即可。矩陣K在界面上的輸出則是利用創(chuàng)建的控件“Static Text”來(lái)完成的，在“K=lqr(A,B,Q,R)”語(yǔ)句后插入“seth(,39。string39。,K)?！奔纯?。這部分的難點(diǎn)在怎么去給出LQR的控制算法和圖形的繪制輸出？系統(tǒng)的輸出是依靠解方程的出的，而控制器輸出是通過(guò)得出的。在設(shè)計(jì)的過(guò)程中，用于存放微分方程。對(duì)系統(tǒng)和控制器進(jìn)行初始化后，用離散的量k*ts表示連續(xù)的時(shí)間，然后利用MATLAB中的ode45()，計(jì)算出控制器輸出狀態(tài)的偏差ei(k)(i=1,2,3,4)，根據(jù)得出離散后的LQR控制器算法。具體設(shè)計(jì)見(jiàn)主程序中相應(yīng)部分語(yǔ)句。 在所設(shè)計(jì)好的用戶界面輸入數(shù)據(jù)，對(duì)系統(tǒng)進(jìn)行調(diào)試，主要調(diào)試方法為保持倒立擺的自身參數(shù)數(shù)據(jù)和配置的極點(diǎn)為確定的值，調(diào)節(jié)加權(quán)矩陣Q的值，觀察輸出波形的超調(diào)量、調(diào)整時(shí)間以及穩(wěn)定性的變化，選取其中狀態(tài)相對(duì)較好時(shí)的Q矩陣作為系統(tǒng)最終的輸入值。下面選取一組數(shù)據(jù)對(duì)系統(tǒng)進(jìn)行調(diào)試：首先從界面輸入小車(chē)質(zhì)量M=1kg，桿的質(zhì)量m=，=，所設(shè)置的極點(diǎn)為p1=1，p2=2，p3=1+2i，p4=12i；然后輸入Q矩陣的對(duì)角線上的元素值q11=100，q22=0，q33=10，q44=0。輸入完畢后，點(diǎn)擊“開(kāi)始”，程序開(kāi)始運(yùn)行，等待片刻，界
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