【正文】 的多變量系統(tǒng)（三、四級以及多級倒立擺）線性系統(tǒng)設計方法的局限性就十分明顯，這就要求采用更有效的方法來進行合理的設計。 （ 2） 預測控制和變結構控制方法 由于線性控制理論與倒立擺系統(tǒng)多變量、非線性之間的矛盾，使人們意識到針對多變量、非線性對象，采用具有非線性特性的多變量控制解決多變量、非線性的必由之路。人們先后開展了預測控制、變結構控 制和自適應控制的研究。 （ 3） 智能控制方法 基于 MATLAB 的倒立擺控制系統(tǒng)仿真 2 在倒立擺系統(tǒng)中用到的智能控制方法主要有神經(jīng)網(wǎng)絡控制、模糊控制、仿人智能控制、擬人智能控制和云模型控制等。 （ 4） 魯棒控制方法 雖然，目前對倒立擺系統(tǒng)的控制策略有如此之多，而且有許多控制策略都對倒立擺進行了穩(wěn)定控制，但大多數(shù)都沒考慮倒立擺系統(tǒng)本身的大量不確定因素和外界干擾，目前對不確定倒立擺系統(tǒng)的魯棒控制問題進行了研究并取得了一系列成果。 MATLAB/Simulink 簡介 在科學研究和工程應用中，為了克服一般語言對大量的數(shù)學運算，尤其當涉及到矩陣運算時編制程序復雜、調試麻煩等困難，美國 Math Works 軟件公司于 1967 年構思并開發(fā)了矩陣實驗室（ Matrix Laboratory ,MATLAB）軟件包。經(jīng)過不斷更新和擴充，該公司 于 1984 年推出 MATLAB 的正式版 ，特別是 1992 年推出具有跨時代意義的 MATLAB 版，并于 1993 年推出其微機版，以配合當時日益流行的 Microsoft Windows 操作系統(tǒng)。截止到 2021 年，該公司先后推出了 MATLAB 、 MATLAB ，以及 MATLAB 等版本，該軟件的應用范圍越來越廣。 MATLAB 以它的 “語言 ”化的數(shù)值計算，強大的矩陣處理及繪圖功能，以及靈活的可擴充性和產(chǎn)業(yè)化的開發(fā)思路，很快就為自動控制界的研究人員所矚目。 目前，在自動控制、圖像處理、語言處理、信號分析、振動原理、優(yōu)化設計、時序分析和系統(tǒng)建模等領域廣泛應用。 1990 年 ,Math Works 軟件公司為 MATLAB 提供了新的控制系統(tǒng)圖形化模型輸入與仿真工具 Simulink。 Simulink 是 MATLAB 最重要的組件之一 ， 它提供一個動態(tài)系統(tǒng)建模、仿真和綜合分析的集成環(huán)境。在該環(huán)境中，無需大量書寫程序，而只需要通過簡單直觀的鼠標操作，就可構造出復雜的系統(tǒng)。 Simulink 具有適應面廣、結構和流程清晰及仿真精細、貼近實際、效率高、靈活等優(yōu)點，并基于以上優(yōu)點 Simulink 已被廣泛應用于控制理論和數(shù)字信號處理的復雜仿真和設計。同時有大量的第三方軟件和硬件可應用于或被要求應用于 Simulink。 Simulink 是 MATLAB 中的一種可視化仿真工具，是一種基于 MATLAB 的框圖設計環(huán)境，是實現(xiàn)動態(tài)系統(tǒng)建模、仿真和分析的一個軟件包， 被廣泛應用于線性系統(tǒng)、非線性系統(tǒng)、數(shù)字控制及數(shù)字信號處理的建模和仿真中。 Simulink 可以用連續(xù)采樣時間、離散采樣時間或兩種混合的采樣時間進行建模，它也支持多速率系統(tǒng)，也就是系 基于 MATLAB 的倒立擺控制系統(tǒng)仿真 3 統(tǒng)中的不同部分具有不同的采樣速率。為了創(chuàng)建動態(tài)系統(tǒng)模型， Simulink 提供了一個建立模型方塊圖的圖形用戶接口 (GUI) ，這個創(chuàng)建過程只需單擊和拖動鼠標操作就能完成，它提供了一種更快捷、直接明了的方式，而且用戶可以立即看到系統(tǒng)的仿真結果。 Simulinkamp。reg 是用于動態(tài)系統(tǒng)和嵌入式系統(tǒng)的多領域仿真和基于模型的設計工具。對各種時變系統(tǒng)，包括通訊、控制、信號處理、視頻處理和圖像處理系統(tǒng)， Simulink提供了交互式圖形化環(huán)境和可定制模塊庫來對其進行設計、仿真、執(zhí)行和測試。 構架在 Simulink 基礎之上的其他產(chǎn)品擴展了 Simulink 多領域建模功能，也提供了用于設計、執(zhí)行、驗證和確認任務的相應工具。 Simulink 與 MATLABamp。reg 緊密集成，可以直接訪問 MATLAB 大量的工具來進行算法研發(fā)、仿真的分析和可視化、批處理腳本的創(chuàng)建、建模環(huán)境的定制以及信號參數(shù)和測試數(shù) 據(jù)的定義。 另外，模型輸入與仿真環(huán)境 Simulink 更使 MATLAB 為控制系統(tǒng)的仿真與在 CAD中的應用開辟了嶄新的局面，使 MATLAB 成為目前國際上最流行的控制系統(tǒng)計算機輔助設計的軟件工具。 MATLAB 不僅流行于控制界，在生物醫(yī)學工程、語言處理、圖像信號處理、雷達工程、信號分析，以及計算機技術等行業(yè)中也都廣泛應用。 主要內容 本 文 以一 級 倒立擺為被控對象，用古典控制理論設計控制器（ PID 控制器）的設計方法和用現(xiàn)代控制理論設計控制器（極點配置）的設計方法 ， 包括三方面的內容： （ 1）建立直線一級倒立擺的線性化數(shù)學模型； （ 2）倒立擺系統(tǒng)的 PID 控制器設計、 MATLAB 仿真； （ 3）倒立擺系統(tǒng)的狀態(tài)空間極點配置控制器設計、 MATLAB 仿真。 2 一 級 倒立擺 實驗設備簡介 一級倒立擺系統(tǒng)的結構示意圖如圖 21 所示。 基于 MATLAB 的倒立擺控制系統(tǒng)仿真 4 小 車滑 軌皮 帶電 機擺 桿 圖 21 一階倒立擺結構示意圖 系統(tǒng)組成框圖如圖 22 所示 。 圖 22 一級倒立擺系統(tǒng)組成框圖 系統(tǒng)是由計算機、運動控制卡、伺服機構、倒立擺本體和光電碼盤幾大部分組成的閉環(huán)系統(tǒng)。光電碼盤 1 將小車的位移、速度信號反饋給伺服驅動器和運動控制卡，擺桿的角度、角速度信號由光電碼盤 2 反饋給運動控制卡。計算機從運動控制卡中讀取實時數(shù)據(jù)，確定控制決策（小車運動方向、移動速度、加速度等），并由運動控制卡來實現(xiàn)該控制決策，產(chǎn)生相應的控制量，使電機轉動，通過皮帶，帶動小車運動，保持擺桿平衡。 3 直線一級倒立擺的數(shù)學模型 直線一級倒立擺數(shù)學模型的推導 采用牛頓－歐拉方法建立直線型一級倒立擺系統(tǒng)的數(shù)學模型。 在忽略了空氣阻力和各種摩擦之后，可將直線一級倒立擺系統(tǒng)抽象成小車和勻質桿組成的系統(tǒng)，如圖 31 所示。 基于 MATLAB 的倒立擺控制系統(tǒng)仿真 5 圖 31 直線一級倒立擺模型 本系統(tǒng)內部各相關參數(shù)定義如下： M 小車質量 m 擺桿質量 b 小車摩擦系數(shù) l 擺桿轉動軸心到桿質心的長度 I 擺桿慣量 F 加在小車上的力 x 小車位置 ? 擺桿與垂直向上方向的夾角 ? 擺桿與垂直向下方向的夾角（考慮到擺桿初始位置為豎直向下） 圖 32 是系統(tǒng)中小車和擺桿的受力分析圖。其中， N 和 P 為小車與擺桿相互作用力的水平和垂直方向的分量。 注意：在實際倒立擺系統(tǒng) 中檢測和執(zhí)行裝置的正負方向已經(jīng)完全確定，因而矢量方向定義如圖，圖示方向為矢量正方向。 圖 32 小車及擺桿受力分析 應用 Newton 方法來建立系統(tǒng)的動力學方程過程如下： 分析小車水平方向所受的合力，可以得到以下方程： 基于 MATLAB 的倒立擺控制系統(tǒng)仿真 6 NxbFxM ??? ??? (31) 由擺桿水平方向的受力進行分析可以得到下面等式： 22 ( sin )dN m x ldt ??? (32) 即： 2c os si nN m x m l m l? ? ? ?? ? ? (33) 把這個等式代入上式中，就得到系統(tǒng)的第一個運動方程： FmlmlxbxmM ????? ???? s i nc o s)( 2?????? (34) 為了推出系統(tǒng)的第二個運動方程，我們對擺桿垂直方向上的合力進行分析，可以得到下面方程： 22 ( c o s )dP m g m ldt ?? ? ? (35) 即： 2sin c osP m g m l m l? ? ? ?? ? ? (36) 力矩平衡方程如下： ??? ??INlPl ??? c o ss in (37) 注意：此方程中力矩的方向，由于 ??????? s i ns i n,c o sc o s, ?????? ，因此等式前面有負號。 合并這兩個方程，約去 P 和 N ，得到第二個運動方程： ??? c o ss i n)( 2 xmlm g lmlI ???? ???? (38) 微分方程模型 設 ??? ?? ， 當擺桿與垂直向上方向之間的夾角 ? 與 1（單位是弧度）相比很小，即 1??? 時，則可以進行近似處理： 1cos ??? ， ?? ??sin ， 0)( 2 ?dtd? 。為了與控 基于 MATLAB 的倒立擺控制系統(tǒng)仿真 7 制理論的表達習慣相統(tǒng)一，即 u 一般表示控制量，用 u 來代表被控對象的輸入力 F ，線性化后得到該系統(tǒng)數(shù)學模型的微分方程表達式： ? ?????????????umlxbxmMxmlm glmlI??? ?????????)(2 (39) 傳遞函數(shù)模型 對方程組（ 29）進行拉普拉斯變換，得到 : ? ?????? ????? ????? )()()()()( )()()(22222sUssmlssbXssXmMssm lXsm glssmlI (310) 注意：推導傳遞函數(shù)時假設初始條件為 0。 由于輸出為角度 ? ，求解方程組（ 310）的第一個方程，可以得到 : )(])([)( 22 ssgmlmlIsX ???? (311) 或 : ? ?? ? ? ? 222s m lsXsI m l s m g l? ???