【正文】 的多變量系統(tǒng)（三、四級(jí)以及多級(jí)倒立擺）線性系統(tǒng)設(shè)計(jì)方法的局限性就十分明顯，這就要求采用更有效的方法來進(jìn)行合理的設(shè)計(jì)。 （ 2） 預(yù)測(cè)控制和變結(jié)構(gòu)控制方法 由于線性控制理論與倒立擺系統(tǒng)多變量、非線性之間的矛盾，使人們意識(shí)到針對(duì)多變量、非線性對(duì)象，采用具有非線性特性的多變量控制解決多變量、非線性的必由之路。人們先后開展了預(yù)測(cè)控制、變結(jié)構(gòu)控 制和自適應(yīng)控制的研究。 （ 3） 智能控制方法 基于 MATLAB 的倒立擺控制系統(tǒng)仿真 2 在倒立擺系統(tǒng)中用到的智能控制方法主要有神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)控制、模糊控制、仿人智能控制、擬人智能控制和云模型控制等。 （ 4） 魯棒控制方法 雖然，目前對(duì)倒立擺系統(tǒng)的控制策略有如此之多，而且有許多控制策略都對(duì)倒立擺進(jìn)行了穩(wěn)定控制，但大多數(shù)都沒考慮倒立擺系統(tǒng)本身的大量不確定因素和外界干擾，目前對(duì)不確定倒立擺系統(tǒng)的魯棒控制問題進(jìn)行了研究并取得了一系列成果。 MATLAB/Simulink 簡介 在科學(xué)研究和工程應(yīng)用中，為了克服一般語言對(duì)大量的數(shù)學(xué)運(yùn)算，尤其當(dāng)涉及到矩陣運(yùn)算時(shí)編制程序復(fù)雜、調(diào)試麻煩等困難，美國 Math Works 軟件公司于 1967 年構(gòu)思并開發(fā)了矩陣實(shí)驗(yàn)室（ Matrix Laboratory ,MATLAB）軟件包。經(jīng)過不斷更新和擴(kuò)充，該公司 于 1984 年推出 MATLAB 的正式版 ，特別是 1992 年推出具有跨時(shí)代意義的 MATLAB 版，并于 1993 年推出其微機(jī)版，以配合當(dāng)時(shí)日益流行的 Microsoft Windows 操作系統(tǒng)。截止到 2021 年，該公司先后推出了 MATLAB 、 MATLAB ，以及 MATLAB 等版本，該軟件的應(yīng)用范圍越來越廣。 MATLAB 以它的 “語言 ”化的數(shù)值計(jì)算，強(qiáng)大的矩陣處理及繪圖功能，以及靈活的可擴(kuò)充性和產(chǎn)業(yè)化的開發(fā)思路，很快就為自動(dòng)控制界的研究人員所矚目。 目前，在自動(dòng)控制、圖像處理、語言處理、信號(hào)分析、振動(dòng)原理、優(yōu)化設(shè)計(jì)、時(shí)序分析和系統(tǒng)建模等領(lǐng)域廣泛應(yīng)用。 1990 年 ,Math Works 軟件公司為 MATLAB 提供了新的控制系統(tǒng)圖形化模型輸入與仿真工具 Simulink。 Simulink 是 MATLAB 最重要的組件之一 ， 它提供一個(gè)動(dòng)態(tài)系統(tǒng)建模、仿真和綜合分析的集成環(huán)境。在該環(huán)境中，無需大量書寫程序，而只需要通過簡單直觀的鼠標(biāo)操作，就可構(gòu)造出復(fù)雜的系統(tǒng)。 Simulink 具有適應(yīng)面廣、結(jié)構(gòu)和流程清晰及仿真精細(xì)、貼近實(shí)際、效率高、靈活等優(yōu)點(diǎn)，并基于以上優(yōu)點(diǎn) Simulink 已被廣泛應(yīng)用于控制理論和數(shù)字信號(hào)處理的復(fù)雜仿真和設(shè)計(jì)。同時(shí)有大量的第三方軟件和硬件可應(yīng)用于或被要求應(yīng)用于 Simulink。 Simulink 是 MATLAB 中的一種可視化仿真工具，是一種基于 MATLAB 的框圖設(shè)計(jì)環(huán)境，是實(shí)現(xiàn)動(dòng)態(tài)系統(tǒng)建模、仿真和分析的一個(gè)軟件包， 被廣泛應(yīng)用于線性系統(tǒng)、非線性系統(tǒng)、數(shù)字控制及數(shù)字信號(hào)處理的建模和仿真中。 Simulink 可以用連續(xù)采樣時(shí)間、離散采樣時(shí)間或兩種混合的采樣時(shí)間進(jìn)行建模，它也支持多速率系統(tǒng)，也就是系 基于 MATLAB 的倒立擺控制系統(tǒng)仿真 3 統(tǒng)中的不同部分具有不同的采樣速率。為了創(chuàng)建動(dòng)態(tài)系統(tǒng)模型， Simulink 提供了一個(gè)建立模型方塊圖的圖形用戶接口 (GUI) ，這個(gè)創(chuàng)建過程只需單擊和拖動(dòng)鼠標(biāo)操作就能完成，它提供了一種更快捷、直接明了的方式，而且用戶可以立即看到系統(tǒng)的仿真結(jié)果。 Simulinkamp。reg 是用于動(dòng)態(tài)系統(tǒng)和嵌入式系統(tǒng)的多領(lǐng)域仿真和基于模型的設(shè)計(jì)工具。對(duì)各種時(shí)變系統(tǒng)，包括通訊、控制、信號(hào)處理、視頻處理和圖像處理系統(tǒng)， Simulink提供了交互式圖形化環(huán)境和可定制模塊庫來對(duì)其進(jìn)行設(shè)計(jì)、仿真、執(zhí)行和測(cè)試。 構(gòu)架在 Simulink 基礎(chǔ)之上的其他產(chǎn)品擴(kuò)展了 Simulink 多領(lǐng)域建模功能，也提供了用于設(shè)計(jì)、執(zhí)行、驗(yàn)證和確認(rèn)任務(wù)的相應(yīng)工具。 Simulink 與 MATLABamp。reg 緊密集成，可以直接訪問 MATLAB 大量的工具來進(jìn)行算法研發(fā)、仿真的分析和可視化、批處理腳本的創(chuàng)建、建模環(huán)境的定制以及信號(hào)參數(shù)和測(cè)試數(shù) 據(jù)的定義。 另外，模型輸入與仿真環(huán)境 Simulink 更使 MATLAB 為控制系統(tǒng)的仿真與在 CAD中的應(yīng)用開辟了嶄新的局面，使 MATLAB 成為目前國際上最流行的控制系統(tǒng)計(jì)算機(jī)輔助設(shè)計(jì)的軟件工具。 MATLAB 不僅流行于控制界，在生物醫(yī)學(xué)工程、語言處理、圖像信號(hào)處理、雷達(dá)工程、信號(hào)分析，以及計(jì)算機(jī)技術(shù)等行業(yè)中也都廣泛應(yīng)用。 主要內(nèi)容 本 文 以一 級(jí) 倒立擺為被控對(duì)象，用古典控制理論設(shè)計(jì)控制器（ PID 控制器）的設(shè)計(jì)方法和用現(xiàn)代控制理論設(shè)計(jì)控制器（極點(diǎn)配置）的設(shè)計(jì)方法 ， 包括三方面的內(nèi)容： （ 1）建立直線一級(jí)倒立擺的線性化數(shù)學(xué)模型； （ 2）倒立擺系統(tǒng)的 PID 控制器設(shè)計(jì)、 MATLAB 仿真； （ 3）倒立擺系統(tǒng)的狀態(tài)空間極點(diǎn)配置控制器設(shè)計(jì)、 MATLAB 仿真。 2 一 級(jí) 倒立擺 實(shí)驗(yàn)設(shè)備簡介 一級(jí)倒立擺系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)示意圖如圖 21 所示。 基于 MATLAB 的倒立擺控制系統(tǒng)仿真 4 小 車滑 軌皮 帶電 機(jī)擺 桿 圖 21 一階倒立擺結(jié)構(gòu)示意圖 系統(tǒng)組成框圖如圖 22 所示 。 圖 22 一級(jí)倒立擺系統(tǒng)組成框圖 系統(tǒng)是由計(jì)算機(jī)、運(yùn)動(dòng)控制卡、伺服機(jī)構(gòu)、倒立擺本體和光電碼盤幾大部分組成的閉環(huán)系統(tǒng)。光電碼盤 1 將小車的位移、速度信號(hào)反饋給伺服驅(qū)動(dòng)器和運(yùn)動(dòng)控制卡，擺桿的角度、角速度信號(hào)由光電碼盤 2 反饋給運(yùn)動(dòng)控制卡。計(jì)算機(jī)從運(yùn)動(dòng)控制卡中讀取實(shí)時(shí)數(shù)據(jù)，確定控制決策（小車運(yùn)動(dòng)方向、移動(dòng)速度、加速度等），并由運(yùn)動(dòng)控制卡來實(shí)現(xiàn)該控制決策，產(chǎn)生相應(yīng)的控制量，使電機(jī)轉(zhuǎn)動(dòng)，通過皮帶，帶動(dòng)小車運(yùn)動(dòng)，保持?jǐn)[桿平衡。 3 直線一級(jí)倒立擺的數(shù)學(xué)模型 直線一級(jí)倒立擺數(shù)學(xué)模型的推導(dǎo) 采用牛頓－歐拉方法建立直線型一級(jí)倒立擺系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型。 在忽略了空氣阻力和各種摩擦之后，可將直線一級(jí)倒立擺系統(tǒng)抽象成小車和勻質(zhì)桿組成的系統(tǒng)，如圖 31 所示。 基于 MATLAB 的倒立擺控制系統(tǒng)仿真 5 圖 31 直線一級(jí)倒立擺模型 本系統(tǒng)內(nèi)部各相關(guān)參數(shù)定義如下： M 小車質(zhì)量 m 擺桿質(zhì)量 b 小車摩擦系數(shù) l 擺桿轉(zhuǎn)動(dòng)軸心到桿質(zhì)心的長度 I 擺桿慣量 F 加在小車上的力 x 小車位置 ? 擺桿與垂直向上方向的夾角 ? 擺桿與垂直向下方向的夾角（考慮到擺桿初始位置為豎直向下） 圖 32 是系統(tǒng)中小車和擺桿的受力分析圖。其中， N 和 P 為小車與擺桿相互作用力的水平和垂直方向的分量。 注意：在實(shí)際倒立擺系統(tǒng) 中檢測(cè)和執(zhí)行裝置的正負(fù)方向已經(jīng)完全確定，因而矢量方向定義如圖，圖示方向?yàn)槭噶空较颉? 圖 32 小車及擺桿受力分析 應(yīng)用 Newton 方法來建立系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)方程過程如下： 分析小車水平方向所受的合力，可以得到以下方程： 基于 MATLAB 的倒立擺控制系統(tǒng)仿真 6 NxbFxM ??? ??? (31) 由擺桿水平方向的受力進(jìn)行分析可以得到下面等式： 22 ( sin )dN m x ldt ??? (32) 即： 2c os si nN m x m l m l? ? ? ?? ? ? (33) 把這個(gè)等式代入上式中，就得到系統(tǒng)的第一個(gè)運(yùn)動(dòng)方程： FmlmlxbxmM ????? ???? s i nc o s)( 2?????? (34) 為了推出系統(tǒng)的第二個(gè)運(yùn)動(dòng)方程，我們對(duì)擺桿垂直方向上的合力進(jìn)行分析，可以得到下面方程： 22 ( c o s )dP m g m ldt ?? ? ? (35) 即： 2sin c osP m g m l m l? ? ? ?? ? ? (36) 力矩平衡方程如下： ??? ??INlPl ??? c o ss in (37) 注意：此方程中力矩的方向，由于 ??????? s i ns i n,c o sc o s, ?????? ，因此等式前面有負(fù)號(hào)。 合并這兩個(gè)方程，約去 P 和 N ，得到第二個(gè)運(yùn)動(dòng)方程： ??? c o ss i n)( 2 xmlm g lmlI ???? ???? (38) 微分方程模型 設(shè) ??? ?? ， 當(dāng)擺桿與垂直向上方向之間的夾角 ? 與 1（單位是弧度）相比很小，即 1??? 時(shí)，則可以進(jìn)行近似處理： 1cos ??? ， ?? ??sin ， 0)( 2 ?dtd? 。為了與控 基于 MATLAB 的倒立擺控制系統(tǒng)仿真 7 制理論的表達(dá)習(xí)慣相統(tǒng)一，即 u 一般表示控制量，用 u 來代表被控對(duì)象的輸入力 F ，線性化后得到該系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型的微分方程表達(dá)式： ? ?????????????umlxbxmMxmlm glmlI??? ?????????)(2 (39) 傳遞函數(shù)模型 對(duì)方程組（ 29）進(jìn)行拉普拉斯變換，得到 : ? ?????? ????? ????? )()()()()( )()()(22222sUssmlssbXssXmMssm lXsm glssmlI (310) 注意：推導(dǎo)傳遞函數(shù)時(shí)假設(shè)初始條件為 0。 由于輸出為角度 ? ，求解方程組（ 310）的第一個(gè)方程，可以得到 : )(])([)( 22 ssgmlmlIsX ???? (311) 或 : ? ?? ? ? ? 222s m lsXsI m l s m g l? ???