bxxaaa113三個(gè)正數(shù)的算術(shù)--幾何平均不等式-課件(人教a選修4-5)-文庫(kù)吧
2025-07-09 08:52 本頁(yè)面
【正文】 式定理求最值，可簡(jiǎn)記為 “積定和最小，和定積最大 ”． (2)應(yīng)用算術(shù) —幾何平均不等式定理，要注意三個(gè)條件即“一正二定三相等 ”同時(shí)具備時(shí)，函數(shù)方可取得最值．其中定值條件決定著平均不等式應(yīng)用的可行性，獲得定值需要一定的技巧，如：配系數(shù)、拆項(xiàng)、分離常數(shù)、平方變形等． (3)當(dāng)不具備使用平均不等式定理的條件時(shí)，求函數(shù)的最值可考慮利用函數(shù)的單調(diào)性． [通一類(lèi) ] 1．已知 x∈ R＋ ，求函數(shù) y＝ x2(1－ x)的最大值． 解 ： y ＝ x2(1 － x ) ＝ x x (1 － x ) ＝ x x ( 2 － 2 x ) 12 ≤12 ????????x ＋ x ＋ 2 － 2 x33＝12827＝427. 當(dāng)且僅當(dāng) x ＝ 2 － 2 x ，即 x ＝23時(shí)取等號(hào)． 此時(shí)， yma x＝427. [研一題 ] [ 例 2] 設(shè) a 、 b 、 c ∈ R ＋ ，求證： ( 1) (1a2 ＋1b2 ＋1c2 )( a ＋ b ＋ c )2≥ 27 ； ( 2) ( a ＋ b ＋ c )(1a ＋ b＋1b ＋ c＋1a ＋ c) ≥92. [精講詳析 ] 本題考查平均不等式的應(yīng)用，解答本題需要先觀察求證式子的結(jié)構(gòu)，然后通過(guò)變形轉(zhuǎn)化為用平均不等式證明的問(wèn)題． ( 1) ∵ a ， b ， c ∈ R ＋ ， ∴ a ＋ b ＋ c ≥ 33abc ＞ 0 ， 從而 ( a ＋ b ＋ c )2≥ 93a2b2c2＞ 0 ， 又1a2 ＋1b2 ＋1c2 ≥ 331a2b2c2 ＞ 0 ， ∴ (1a2 ＋1b2 ＋1c2 )( a ＋ b ＋ c )2 ≥ 331a2b2c2 93a2b2c2＝ 27. 當(dāng)且僅當(dāng) a ＝ b ＝ c 時(shí)，等號(hào)成立． ( 2) ∵ a ，
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