數(shù)據(jù)、模型與決策-文庫(kù)吧
2025-07-04 17:45 本頁(yè)面
【正文】 決策 例 ： max z = 50 x1 + 100 x2 約束條件： . x1 + x2 ≤ 300 (A) 2 x1 + x2 ≤ 400 (B) x2 ≤ 250 (C) x1 ≥ 0 (D) x2 ≥ 0 (E) 得到最優(yōu)解： x1 = 50， x2 = 250 最優(yōu)目標(biāo)值 z = 27500 2022/8/16 數(shù)據(jù)、模型與決策 14 15 x1 x2 z=20220=50x1+100x2 z=27500=50x1+100x2 z=0=50x1+100x2 z=10000=50x1+100x2 C B A D E 圖 解 法 改變目標(biāo)向量 目標(biāo)函數(shù)中的系數(shù) ci 的靈敏度分析 考慮例 1的情況， ci 的變化只影響目標(biāo)函數(shù)等值線的斜率， 目標(biāo)函數(shù) z = 50 x1 + 100 x2 在 z = x2 (x2 = z 斜率為 0 ) 到 z = x1 + x2 (x2 = x1 + z 斜 率為 1 )之間時(shí)，原最優(yōu)解 x1 = 50， x2 = 100 仍是最優(yōu)解。 一般情況 z = c1 x1 + c2 x2 寫成斜截式 x2 = (c1 / c2 ) x1 + z / c2 目標(biāo)函數(shù)等值線的斜率為 (c1 / c2 ) ， 當(dāng) 1 ? (c1 / c2 ) ? 0 （ *） 時(shí)，原最優(yōu)解仍是最優(yōu)解。 2022/8/16 數(shù)據(jù)、模型與決策 16 17 ? 假設(shè)產(chǎn)品 Ⅱ 的利潤(rùn) 100元不變，即 c2 = 100，代到式（ *）并整理得 0 ? c1 ? 100 ? 假設(shè)產(chǎn)品 Ⅰ 的利潤(rùn) 50 元不變，即 c1 = 50 ，代到式（ *）并整理得 50 ? c2 ? + ? ? 假若產(chǎn)品 Ⅰ 、 Ⅱ 的利潤(rùn)均改變，則可直接用式（ *）來(lái)判斷。 ? 假設(shè)產(chǎn)品 Ⅰ 、 Ⅱ 的利潤(rùn)分別為 60元、 55元，則 2 ? (60 / 55) ? 1 那么，最優(yōu)解為 z = x1 + x2 和 z = 2 x1 + x2 的交點(diǎn) x1 = 100， x2 = 200 。 2022/8/16 數(shù)據(jù)、模型與決策 18 約束條件中右邊系數(shù) bj 的靈敏度分析 當(dāng)約束條件中右邊系數(shù) bj 變化時(shí)，線性規(guī)劃的可行域發(fā)生變化，可能引起最優(yōu)解的變化。 考慮例 1的情況： 假設(shè)設(shè)備臺(tái)時(shí)增加 10個(gè)臺(tái)時(shí)，即 b1變化為 310，這時(shí)可行域擴(kuò)大， 最優(yōu)解為 x2 = 250 和 x1 + x2 = 310 的交點(diǎn) x1 = 60， x2 = 250 。 變化后的總利潤(rùn) 變化前的總利潤(rùn) = 增加的利潤(rùn) (50 60+ 100 250) (50 50+100 250) = 500 ， 500 /10 = 50 元 說(shuō)明在一定范圍內(nèi)每增加（減少） 1個(gè)臺(tái)時(shí)的設(shè)備能力就可增加（減少） 50元利潤(rùn)，稱為該約束條件的對(duì)偶價(jià)格。 改變右端向量 19 假設(shè)原料 A 增加 10 千克時(shí)，即 b2變化為 410，這時(shí)可行域 擴(kuò)大，但 最優(yōu)解仍為 x2 = 250 和 x1 + x2 = 300 的交點(diǎn) x1 = 50， x2 = 250 。此變化對(duì)總利潤(rùn)無(wú)影響，該約束條件的對(duì)偶 價(jià)格為 0 。 解釋： 原最優(yōu)解沒(méi)有把原料 A 用盡，有 50千克的剩余， 因此增加 10千克值增加了庫(kù)存，而不會(huì)增加利潤(rùn)。 在一定范圍內(nèi)，當(dāng)約束條件右邊常數(shù)增加 1個(gè)單位時(shí) （ 1）若約束條件的對(duì)偶價(jià)格大于 0，則其最優(yōu)目標(biāo)函數(shù)值得 到改善（變好）； （ 2）若約束條件的對(duì)偶價(jià)格小于 0，則其最優(yōu)目標(biāo)函數(shù)值受 到影響（變壞）； （ 3）若約束條件的對(duì)偶價(jià)格等于 0，則最優(yōu)目標(biāo)函數(shù)值不變。 2022/8/16 數(shù)據(jù)、模型與決策 20 當(dāng) 有多個(gè)系數(shù)變化時(shí)，需要進(jìn)一步討論。 百分之一百法則：對(duì)于所有變化的目標(biāo)函數(shù)決策系數(shù)（約束條 件右邊常數(shù)值），當(dāng)其所有允許增加的百分比與允許減少的百分比 之和不超過(guò) 100%時(shí)，最優(yōu)解不變（對(duì)偶價(jià)格不變，最優(yōu)解仍是原 來(lái)幾個(gè)線性方程的解）。 * 允許增加量 = 上限 現(xiàn)在值 c1 的允許增加量為 100 50 = 50 b1 的允許增加量為 325 300 = 25 * 允許減少量 = 現(xiàn)在值 下限 c2 的允許減少量為 100 50 = 50 b3 的允許減少量為 250 200 = 50 * 允許增加的百分比 = 增加量 / 允許增加量 * 允許減少的百分比 = 減少量 / 允許減少量 百分百法則 2022/8/16 數(shù)據(jù)、模型與決策 21
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