高三數(shù)學(xué)函數(shù)與方程思想-文庫吧
2024-10-20 08:50 本頁面
【正文】 ， f ′ ( c ) 0 ， 函數(shù) f ( c ) 在區(qū)間 (1 － 2 ， 1) 上是增函數(shù)； 當(dāng) 1 c 1 ＋ 2 時， f ′ ( c ) 0 ， 函數(shù) f ( c ) 在區(qū)間 ( 1 , 1 ＋ 2 ) 上是增函數(shù)， 當(dāng) c 1 ＋ 2 ， f ′ ( c ) 0 ，函數(shù) f ( c ) 在區(qū)間 (1 ＋ 2 ，＋ ∞ )上是減函數(shù)． 函數(shù) f ( c ) ＝c2＋ 11 － c的圖象如圖所示． 所以 f ( c ) ≥ f (1 － 2 ) ＝－ 2 ＋ 2 2 或 f ( c ) ≤ f (1 ＋ 2 ) ＝－ 2 － 2 2 ， 所以 a 的范圍是 a ≥ － 2 ＋ 2 2 或 a ≤ － 2 － 2 2 . 方法三 ( 函數(shù)思想 ) ：同方法二， 可令 f ( c ) ＝1 ＋ c1 － c－ c ＝－ 2 ＋ (1 － c ) ＋21 － c， 當(dāng) 1 － c 0 時， f ( c ) ≥ － 2 ＋ 2 ( 1 － c )21 － c＝－ 2 ＋ 2 2 ； 當(dāng) 1 － c 0 時， f ( c ) ≤ － 2 － 2 ( c － 1 )2c － 1＝－ 2 － 2 2 . 所以 a 的范圍是 a ≥ － 2 ＋ 2 2 或 a ≤ － 2 － 2 2 . 探究提高 ( 1 ) 求字母 ( 或式子 ) 的值的問題往往要根據(jù)題設(shè)條件構(gòu)建以待求字母 ( 式子 ) 為元的方程 ( 組 ) ，然后由方程 ( 組 )求得． ( 2 ) 求參數(shù)的取值范圍是函數(shù)、方程、不等式、數(shù)列、解析幾何等問題中的重要問題．解決這類問題一般有兩種途徑：其一，充分挖掘題設(shè)條件中的不等關(guān)系，構(gòu)建以待求字母為元的不等式 ( 組 ) 求解；其二，充分應(yīng)用題設(shè)中的等量關(guān)系，將待求參數(shù)表示成其他變量的函數(shù)，然后，應(yīng)用函數(shù)知識求值域． ( 3 ) 當(dāng)問題中出現(xiàn)兩數(shù)積與這兩數(shù)和時，是構(gòu)建一元二次方程的明顯信息，構(gòu)造方程后再利用方程知識可使問題巧妙解決． ( 4 ) 當(dāng)問題中出現(xiàn)多個變量時，往往要利用等量關(guān)系去減少變量的個數(shù)，如最后能把其中一個變量表示成關(guān)于另一個變量的表達(dá)式，那么就可用研究函數(shù)的方法將問題解決． 變式訓(xùn)練 1 若 a 、 b 是正數(shù)，且滿足 ab ＝ a ＋ b ＋ 3 ，求 ab 的取值范圍． 解 方法一 ( 看成函數(shù)的值域 ) ∵ ab ＝ a ＋ b ＋ 3 ， ∴ a ≠ 1 ， ∴ b ＝a ＋ 3a － 1，而 b 0 ， ∴a ＋ 3a － 10 ， 即 a 1 或 a － 3 ，又 a 0 ， ∴ a 1 ，故 a － 10 . ∴ ab ＝ a a ＋ 3a － 1＝( a － 1 )2＋ 5 ( a － 1 ) ＋ 4a － 1 ＝ ( a － 1) ＋4a － 1＋ 5 ≥ 9. 當(dāng)且僅當(dāng) a － 1 ＝4a － 1，即 a ＝ 3 時取等號． 又 a 3 時， ( a － 1) ＋4a － 1＋ 5 是關(guān)于 a 的單調(diào)增函數(shù)． ∴ ab 的取值范圍是 [9 ，＋ ∞ ) ． 方法二 ( 看成不等式的解集 ) ∵ a ， b 為正數(shù)， ∴ a ＋ b ≥ 2 ab ，又 ab ＝ a ＋ b ＋ 3 ， ∴ ab ≥ 2 ab ＋ 3. 即 ( ab )2－ 2 ab － 3 ≥ 0 ， 解得 ab ≥ 3 或 ab ≤ － 1( 舍去 ) ， ∴ ab ≥ 9. ∴ ab 的取值范圍是 [9 ，＋ ∞ ) ． 方法三 若設(shè) ab ＝ t ，則 a ＋ b ＝ t － 3 ， ∴ a ， b 可看成方程 x2－ ( t － 3) x ＋ t ＝ 0 的兩個正根． 從 而有????? Δ ＝ ( t － 3 )2－ 4 t ≥ 0a ＋ b ＝ t － 3 0ab ＝ t 0，即????? t ≤ 1 或 t ≥ 9t 3t 0， 解得 t ≥ 9 ，即 ab ≥ 9. ∴ ab 的取值范圍是 [9 ，＋ ∞ ) ． 題型二 函數(shù)與方程思想在方程問題中的應(yīng)用 例 2 如果方程 co s2x － s i n x ＋ a ＝ 0 在 (0 ，π2] 上有解， 求 a 的取值范圍． 思維啟迪 可分離變量為 a ＝－ co s 2 x ＋ s i n x ，轉(zhuǎn)化為確定的相關(guān)函數(shù)的值域． 解 方法一 把方程變形為 a ＝－ c o s2x ＋ s i n x . 設(shè) f ( x ) ＝－ c o s2x ＋ s i n x ( x ∈ (0 ，π2]) ． 顯然當(dāng)且僅當(dāng) a 屬于 f ( x ) 的值域時， a ＝ f ( x ) 有解． ∵ f ( x ) ＝－ (1 － s i n2x ) ＋ si n x ＝ ( si n x ＋12)2－54， 且由 x ∈ (0 ，π2] 知 s i n x ∈ ( 0 , 1 ] ． 易求得 f ( x ) 的值域為 ( － 1 , 1 ] ． 故 a 的取值范圍是 ( － 1 , 1 ] ． 方法二 令 t ＝ si n x ，由 x ∈ (0 ，π2] ，可得 t ∈ ( 0 , 1 ] ． 將方程變?yōu)?t2＋ t － 1 － a ＝ 0. 依題意，該方程在 ( 0 , 1 ] 上有解． 設(shè) f ( t ) ＝ t2＋ t － 1 － a . 其圖象是開口向上的拋物線，對稱軸 t ＝－12， 如圖所示． 因此 f ( t ) ＝ 0 在 ( 0 , 1 ] 上有解等價于?????
教學(xué)課件相關(guān)推薦
鄂ICP備17016276號-1