【正文】 進(jìn)制數(shù)。例如。 （）8=（001 010 100）2=（）2 ②二進(jìn)制與十六進(jìn)制相互轉(zhuǎn)換 從小數(shù)點(diǎn)起，把二進(jìn)制數(shù)每四位分成一組，然后寫出每一組的等值十六進(jìn)制數(shù)，順序排列起來就得到所要求的十六進(jìn)制數(shù)。同理，將一位十六進(jìn)制數(shù)用四位二進(jìn)制數(shù)表示，就可直接將十六進(jìn)制數(shù)轉(zhuǎn)換成二進(jìn)制數(shù)。例如。 （）16=（0010 1011 .0101 1110）2=（）2 ③八進(jìn)制與十六進(jìn)制相互轉(zhuǎn)換。通常采用二進(jìn)制作為中間媒介，即先把八進(jìn)制轉(zhuǎn)換為二進(jìn)制，然后再把二進(jìn)制轉(zhuǎn)換成為對應(yīng)的十六進(jìn)制。把十六進(jìn)制轉(zhuǎn)換為八進(jìn)制與此相似。數(shù)據(jù)的表示 在計(jì)算機(jī)中表示實(shí)際數(shù)據(jù)時(shí)，有兩個(gè)問題需要解決，一是數(shù)值的正負(fù)，二是小數(shù)點(diǎn)位置。一般用最高位標(biāo)識數(shù)的正負(fù)，0表示正數(shù)，1表示負(fù)數(shù)，該位稱為符號位，這種形式表示的數(shù)通常稱為機(jī)器數(shù)。對于小數(shù)點(diǎn)問題，可分為小數(shù)點(diǎn)位置固定（定點(diǎn)數(shù)）、位置不固定（浮點(diǎn)數(shù)）兩種情況，分別予以處理。 1. 常用碼制 （1）原碼。最高位是符號位，0代表正，1代表負(fù)，其余各位是數(shù)的絕對值的二進(jìn)制代碼。通常用[X]原表示數(shù)X的原碼。例如，設(shè)機(jī)器字長為8位，則有下列結(jié)果。 [+1]原=00000001[1]原=10000001 [+0]原=00000000[0]原=10000000 按照原碼編碼規(guī)則，零有兩種表示形式。 原碼表示方法簡明易懂，與其真值轉(zhuǎn)換方便，比較容易進(jìn)行乘除運(yùn)算，但是在進(jìn)行加減運(yùn)算時(shí)，原碼運(yùn)算不方便，主要源于符號位不能參加運(yùn)算，需要增加很多判斷條件。 （2）反碼。最高位是符號位，對正數(shù)而言，最高位為0,其余各位是數(shù)的絕對值二進(jìn)制代碼；對負(fù)數(shù)而言，最高位為1,其余各位是數(shù)的絕對值二進(jìn)制代碼各位取反。通常用[X]反表示數(shù)X的反碼。例如，設(shè)機(jī)器字長為8位，則有下列結(jié)果。 [+1]反=00000001[1]反=11111110 [+0]反=00000000[0]反=11111111 按照反碼編碼規(guī)則，零也有兩種表示形式，反碼同樣不方便運(yùn)算。 （3）補(bǔ)碼。補(bǔ)碼源于模和同余的概念，是為了方便計(jì)算機(jī)進(jìn)行加減運(yùn)算而引入的。最高位是符號位，正數(shù)的補(bǔ)碼等于其原碼，[X]補(bǔ)表示數(shù)X的反碼。例如，設(shè)機(jī)器字長為8位，則有下列結(jié)果。 [+1]補(bǔ)=00000001[1]補(bǔ)=11111111 [+0]補(bǔ)=00000000[0]補(bǔ)=00000000 按照補(bǔ)碼編碼規(guī)則，零有唯一的表示形式。 采用補(bǔ)碼進(jìn)行加減運(yùn)算十分方便，可以允許符號位一起參與運(yùn)算，而且可以把減法運(yùn)算轉(zhuǎn)化為加法運(yùn)算，提高了運(yùn)算速度。 采用補(bǔ)碼進(jìn)行加減運(yùn)算時(shí)，若運(yùn)算結(jié)果不超出機(jī)器所表示范圍，則有如下關(guān)系。 [X+Y]補(bǔ)=[X]補(bǔ)+[Y]補(bǔ) [XY]補(bǔ)=[X]補(bǔ)+[Y]補(bǔ) （4）移碼。又稱為增碼、余碼或偏碼，常用于表示浮點(diǎn)數(shù)中的階碼。通常用[X]移表示數(shù)X的移碼，設(shè)機(jī)器字長為n,取1位符號位，真值X所對應(yīng)的移碼如下。 [X]移=2n1+x（2n1=X2n1） 實(shí)際應(yīng)用中，不用上面關(guān)系式計(jì)算移碼。機(jī)器數(shù)補(bǔ)碼與移碼的符號位互補(bǔ)，其余位完全相同，所以二者轉(zhuǎn)換時(shí)只需把符號位取反。 2. 定點(diǎn)數(shù)與浮點(diǎn)數(shù) 定點(diǎn)數(shù)是指小數(shù)點(diǎn)位置固定的數(shù)，一般將定點(diǎn)數(shù)分成定點(diǎn)整數(shù)和定點(diǎn)小數(shù)兩種。定點(diǎn)整數(shù)的小數(shù)點(diǎn)固定在數(shù)據(jù)數(shù)值部分的最右邊，n+1位定點(diǎn)整數(shù)表示范圍：2n~，數(shù)值位的左邊，它一定是純小數(shù)，n+1位定點(diǎn)小數(shù)表示范圍：1~12n. 定點(diǎn)數(shù)運(yùn)算時(shí)，所有數(shù)據(jù)都必須保證處于有效數(shù)值范圍內(nèi)。如遇到絕對值小于最小正數(shù)的數(shù)，則被當(dāng)作機(jī)器數(shù)0來處理，稱為下溢.而大于最大正數(shù)和小于絕對值最大負(fù)數(shù)的數(shù)，則稱為溢出,此時(shí)計(jì)算機(jī)暫停當(dāng)前工作，而轉(zhuǎn)去進(jìn)行溢出處理。 與定點(diǎn)數(shù)不同，浮點(diǎn)數(shù)小數(shù)點(diǎn)位置能根據(jù)需要浮動(dòng)。一個(gè)R進(jìn)制數(shù)N通常表示為如下形式。 其中R稱為基數(shù)，E稱為階碼，F(xiàn)稱為尾數(shù)。在計(jì)算機(jī)中，基數(shù)R一般都是2,階碼E采用定點(diǎn)整數(shù)的形式，尾數(shù)F采用定點(diǎn)小數(shù)的形式，E和F決定浮點(diǎn)數(shù)的表示精度，E和R決定浮點(diǎn)數(shù)的表示范圍。在機(jī)器中，一般按照下列形式構(gòu)成浮點(diǎn)數(shù)。 在這種表示法中，階碼一般是原碼、補(bǔ)碼或移碼，尾數(shù)一般是原碼或補(bǔ)碼。 浮點(diǎn)數(shù)表示有一定范圍，超出后就會(huì)溢出。設(shè)浮點(diǎn)數(shù)階碼和尾數(shù)均用補(bǔ)碼表示，階碼為m+1位（其中1位是符號位），尾數(shù)為n+1位（其中1位是符號位），則浮點(diǎn)數(shù)的典型范圍值如表12所示。表12 浮點(diǎn)數(shù)的典型范圍值 為便于軟件移植，浮點(diǎn)數(shù)表示格式應(yīng)該有統(tǒng)一標(biāo)準(zhǔn)。1985年IEEE提出了IEEE754標(biāo)準(zhǔn)，該標(biāo)準(zhǔn)規(guī)定基數(shù)R為2,階碼E用移碼表示，尾數(shù)F用原碼表示。該標(biāo)準(zhǔn)規(guī)定了三種不同浮點(diǎn)數(shù)的表示規(guī)則，如表13所示。表13 IEEE754規(guī)定的三種不同浮點(diǎn)數(shù) 3. 二十進(jìn)制編碼 十進(jìn)制有10個(gè)不同的數(shù)符，4位二進(jìn)制可組成16種不同的代碼，從中選出10個(gè)代碼來表示十進(jìn)制的10個(gè)數(shù)符，會(huì)有很多種方案，這些方案統(tǒng)稱為BCD碼。 根據(jù)二進(jìn)制代碼中不同位置是否有確定的權(quán)值，BCD碼分成有權(quán)碼和無權(quán)碼。 常用有權(quán)碼包括8421碼、2421碼、5211碼等，它們的權(quán)值從高到低分別為1（8421碼），1（2421碼），1（5211碼）。 常用無權(quán)碼包括余3碼和格雷碼，余3碼是在8421碼基礎(chǔ)上把每個(gè)代碼加3（0011）后得到的代碼。格雷碼也稱為循環(huán)碼，這10個(gè)代碼中任何相鄰兩個(gè)代碼中只有1位二進(jìn)制位的值不同，其余3位的值都必須相同。 上述幾種碼制與十進(jìn)制數(shù)符的對應(yīng)關(guān)系如表14所示。表14 常見BCD碼與十進(jìn)制數(shù)符的對應(yīng)關(guān)系 注意，對BCD碼進(jìn)行運(yùn)算時(shí)，如果結(jié)果在10~15之間，那么結(jié)果須加修正。如果相加之和有進(jìn)位，那么也必須加6修正。算術(shù)運(yùn)算 1. 定點(diǎn)加減運(yùn)算 從原理上說，原碼、反碼、補(bǔ)碼都能進(jìn)行加減運(yùn)算，但由于補(bǔ)碼運(yùn)算比較方便，所以大多數(shù)情況下都是采用補(bǔ)碼進(jìn)行加減運(yùn)算。 補(bǔ)碼加法公式如下。 [X+Y]補(bǔ)=[X]補(bǔ)+[Y]補(bǔ) 補(bǔ)碼減法可以看作負(fù)數(shù)加法，這樣可以使減法與加法使用同一個(gè)加法器，簡化計(jì)算機(jī)設(shè)計(jì)，公式如下。 [XY]補(bǔ)=[X]補(bǔ)[Y]補(bǔ)=[X]補(bǔ)+[Y]補(bǔ) 由[X]補(bǔ)求[X]補(bǔ)的方法是：[X]補(bǔ)的各位取反（包括符號位），符號位和碼值一起參與運(yùn)算，符號位相加后如果有進(jìn)位，該進(jìn)位應(yīng)當(dāng)被舍去。 例如，設(shè)二進(jìn)制整數(shù)X=+1001,Y=+0101,求X+Y、XY的值。[X]補(bǔ)=01001,[Y]補(bǔ)=00101,[Y]補(bǔ)=11011,符號位參與運(yùn)算，過程如下。 其中，虛線內(nèi)的1是進(jìn)位，需要舍去。 在計(jì)算機(jī)中，數(shù)的表示范圍是有限的，若運(yùn)算結(jié)果超出該范圍，就稱為溢出，此時(shí)計(jì)算機(jī)要停止運(yùn)算，進(jìn)行中斷處理。判斷是否溢出，常用下述方法。 ①單符號位判別法。設(shè)[X]補(bǔ)=…Xn,[Y]補(bǔ)=…Yn,二者的和（差）為[S]補(bǔ)=…，結(jié)果不會(huì)溢出。當(dāng)Xs=Ys=0,Ss=1時(shí)，產(chǎn)生上溢。當(dāng)Xs=Ys=1,Ss=0時(shí)，產(chǎn)生下溢。 ②進(jìn)位位判別法。設(shè)兩數(shù)運(yùn)算時(shí)，各位產(chǎn)生的進(jìn)位為：…，Cs為符號位產(chǎn)生的進(jìn)位，C1為最高數(shù)值位產(chǎn)生的進(jìn)位。 兩個(gè)正數(shù)相加，當(dāng)最高有效位產(chǎn)生進(jìn)位（C1=1），而符號位不產(chǎn)生進(jìn)位（Cs=0）時(shí)，發(fā)生上溢；兩個(gè)負(fù)數(shù)相加，當(dāng)最高有效位不產(chǎn)生進(jìn)位（C1=0），而符號位產(chǎn)生進(jìn)位（Cs=1）時(shí)，發(fā)生下溢。 ③雙符號為判別法。將符號位擴(kuò)充到兩位：S1和S2,用S1S2=00表示正數(shù)，S1S2=11表示負(fù)數(shù)。運(yùn)算結(jié)束后，S1S2有四種不同的取值，含義分別如下。 S1S2=00:結(jié)果為正數(shù)，無溢出 S1S2=01:結(jié)果正溢 S1S2=10:結(jié)果負(fù)溢 S1S2=11:結(jié)果為負(fù)數(shù)，無溢出 2. 浮點(diǎn)加減運(yùn)算 一個(gè)浮點(diǎn)數(shù)的表示形式通常不惟一，常采用浮點(diǎn)數(shù)規(guī)格化形式，即規(guī)定尾數(shù)的最高數(shù)位必須是一個(gè)有效數(shù)，即其尾數(shù)F的絕對值必須滿足： 當(dāng)基數(shù)R=2時(shí)， 當(dāng)尾數(shù)F用原碼表示時(shí)，規(guī)格化后尾數(shù)最高位與符號位不同，即當(dāng)時(shí)，…的形式。而當(dāng)時(shí)，…的形式。 設(shè)有兩個(gè)浮點(diǎn)數(shù)X和Y,它們分別是X=2ExFx , Y=2Ey： 完成上述加減運(yùn)算，需要包括下述步驟。 （1）零操作數(shù)檢查。如果兩個(gè)操作數(shù)X和Y中有一個(gè)數(shù)為0,那么就可得知運(yùn)算結(jié)果而不再進(jìn)行后繼的操作。 （2）對階操作。首先求出階碼之差，若，說明X和Y階碼相同，可以直接進(jìn)行尾數(shù)加減運(yùn)算。若，則需要移動(dòng)尾數(shù)來改變Ex和Ey,使之相等。一般采用小階向大階看齊的原則，通過向右移動(dòng)小階數(shù)據(jù)的尾數(shù)位，使得X和Y的階碼相同。 （3）尾數(shù)相加減。無論加法還是減法運(yùn)算，都按加法進(jìn)行操作，其方法與定點(diǎn)加減法運(yùn)算相同。 （4）尾數(shù)規(guī)格化。按照定點(diǎn)加減法的判斷準(zhǔn)則，若尾數(shù)溢出，則應(yīng)使尾數(shù)結(jié)果右移一位，階碼加1,稱為右規(guī)格化。若尾數(shù)沒有溢出，但數(shù)值部分的最高位與符號位相同，表明不滿足規(guī)格化，此時(shí)應(yīng)使尾數(shù)結(jié)果左移一位，階碼減1,重復(fù)執(zhí)行直到數(shù)值部分最高位與符號位不同為止，稱為左規(guī)格化。 （5）舍入處理。在對階或向右規(guī)格化時(shí)，尾數(shù)向右移動(dòng)，這樣被右移尾數(shù)的最低位部分就會(huì)丟掉，從而造成一定誤差，此時(shí)需要舍入處理。一般采用下述舍入方法。 0舍1入法.如果右移時(shí)被丟掉數(shù)位的最高位是0,則舍去，否則將尾數(shù)的末位加1. 恒置1法.只要有數(shù)位被移出，就在尾數(shù)的末尾恒置1. 3. 浮點(diǎn)乘除運(yùn)算 設(shè)有兩個(gè)浮點(diǎn)數(shù)X和Y,它們分別是： X=2ExFx Y=2EyFy 浮點(diǎn)乘法運(yùn)算規(guī)則是：XY=2（Ex+Ey）（FxFy），即乘積的尾數(shù)是二者尾數(shù)之積，乘積的階碼是二者階碼之和。 浮點(diǎn)除法運(yùn)算規(guī)則是：X247。Y=2（ExEy）（Fx247。Fy），即商的尾數(shù)是二者尾數(shù)之商，商的階碼是二者階碼之差。 與浮點(diǎn)數(shù)加減運(yùn)算相同，浮點(diǎn)數(shù)乘除運(yùn)算也大體分為5個(gè)步驟：零操作數(shù)檢查、階碼加或減操作、尾數(shù)乘或除操作、結(jié)果規(guī)格化和舍入處理。邏輯運(yùn)算 邏輯數(shù)是指不帶符號的二進(jìn)制數(shù)，對這些數(shù)可以進(jìn)行邏輯運(yùn)算，在非數(shù)值應(yīng)用的廣大領(lǐng)域中，非常有用。計(jì)算機(jī)中的邏輯運(yùn)算，主要是指邏輯非、邏輯或、邏輯與、邏輯異或等四種基本運(yùn)算。 1. 邏輯非運(yùn)算 又稱求反，對某數(shù)進(jìn)行邏輯非運(yùn)算，就是按位求它的反，常用變量上方加一橫來表示。設(shè)一個(gè)數(shù)x表示成 對x求邏輯非，則有：. 其中：. 2. 邏輯或運(yùn)算 又稱邏輯加，對兩個(gè)數(shù)進(jìn)行邏輯加，就是按位求它們的或,常用記號+來表示。 設(shè)有兩個(gè)數(shù)x和y，它們表示為，. 若 則：. 3. 邏輯與運(yùn)算 又稱邏輯乘，對兩個(gè)數(shù)進(jìn)行邏輯乘，就是按位求它們的與,常用記號來表示。 設(shè)有兩個(gè)數(shù)x和y，它們表示為， 若 則：. 4. 邏輯異或運(yùn)算 又稱按位加，對兩個(gè)數(shù)進(jìn)行邏輯異或，就是按位求它們的模2和，常用記號來表示。 設(shè)有兩個(gè)數(shù)x和y，它們表示為，. 若 則：.字符編碼 1. 字符的表示 常用美國國家信息交換標(biāo)準(zhǔn)字符碼（ASCII）表示字符。常見的ASCII碼為7位二進(jìn)制代碼，可以表示128種不同字符符號，它包括10個(gè)十進(jìn)制數(shù)字、52個(gè)英文大小寫字母、34個(gè)專用符號和32個(gè)控制符號，這128個(gè)符號中有96個(gè)是可打印的字符。 對于ASCII碼來說，字節(jié)最左邊的一位可以作為奇偶校驗(yàn)位，也可以直接設(shè)置為0,作為西文字符和漢字的區(qū)分標(biāo)識。在某些應(yīng)用中，需要使用ASCII碼的高位信息，這種被擴(kuò)充的編碼方式稱為擴(kuò)展ASCII碼，它采用8位二進(jìn)制數(shù)表示一個(gè)字符，一共可以表示256個(gè)不同的字符。 2. 漢字的表示 漢字字?jǐn)?shù)繁多、字形復(fù)雜、讀音多變，要想在計(jì)算機(jī)中表示漢字，最方便的方法是對漢字進(jìn)行編碼，漢字編碼要與西文字符及其它字符有明顯的區(qū)別。 （1）國標(biāo)碼。又稱為漢字交換碼，主要用于漢字信息處理系統(tǒng)之間或者通信系統(tǒng)之間的信息交換。1981年國家標(biāo)準(zhǔn)總局公布了GB231280,即《信息交換用漢字編碼字符集基本集》，簡稱國標(biāo)碼（GB碼）。該標(biāo)準(zhǔn)共收集常用漢字6763個(gè)，其中一級漢字3755個(gè)，按拼音排序。二級漢字3008個(gè)，按部首排序。另外還有各種圖形符號682個(gè)，共計(jì)7445個(gè)。 （2）區(qū)位碼。將國標(biāo)碼中的6763個(gè)漢字分為94個(gè)區(qū)，每個(gè)區(qū)中包含94個(gè)漢字（位）。每個(gè)漢字都對應(yīng)一個(gè)區(qū)號和位號，二者組合在一起就構(gòu)成了區(qū)位碼。漢字區(qū)位碼定長4位，前兩位表示區(qū)號，后兩位表示位號，二者都用十進(jìn)制表示，范圍都是01到94. 在區(qū)位碼表中，第1到15區(qū)包含西文字母、數(shù)字和圖形符號，以及用戶自定義的專用符號（統(tǒng)稱非漢字圖形字符）。第16到55區(qū)為一級漢字。第56到87區(qū)為二級漢字。87區(qū)以上為空白區(qū)，可供造新字使用。 區(qū)位碼與國標(biāo)碼不同，二者關(guān)系為：國標(biāo)碼=區(qū)位碼（十六進(jìn)制）+2020H. （3）機(jī)內(nèi)碼。漢字處理系統(tǒng)要保證中西文兼容，以字節(jié)為單位時(shí)，ASCII碼和國標(biāo)碼的最高位都是0,其它7位有時(shí)候會(huì)相同，所以會(huì)產(chǎn)生二義性。漢字在計(jì)算機(jī)內(nèi)部的惟一編碼稱為機(jī)內(nèi)碼，機(jī)內(nèi)碼編碼時(shí)要避免該二