【正文】 陣A表示了系統(tǒng)內部狀態(tài)變量之間的聯系，取決于被控系統(tǒng)的作用機理、結構和各項參數，稱之為系數矩陣；矩陣B表示各個輸入變量如何控制狀態(tài)變量，稱之為控制矩陣；矩陣C表示輸出變量如何反映狀態(tài)變量，稱之為輸出矩陣；矩陣D表示輸入對輸出的直接作用，稱之為直饋矩陣[10]。當輸入變量u(t)和輸出變量y(t)都是標量，且矩陣的元素都是常數時，系統(tǒng)(21)稱為線性定常系統(tǒng)，其狀態(tài)空間表達式為x=Ax+Buy=Cx+Du (22) 線性變換1）系統(tǒng)狀態(tài)的線性變換 如果x=[x1 x2 ? xn]T是一組由 n 個狀態(tài)變量構成的 n 維狀態(tài)向量，則x1，x2，?，xn的線性組合x1, x2,?, xn也完全可以作為一組新的狀態(tài)變量，構成新的狀態(tài)向量x=[x1 x2 ? xn]，只要這種組合是一一對應的關系，即這兩組狀態(tài)變量之間存在著非奇異線性變換關系。x=Px 或 x=P1x (23)其中P是n x n階非奇異變換矩陣，這里P=p11p12?p1np12p22?p2n?pn1?pn2 ??pnn這種唯一的對應關系，說明盡管狀態(tài)變量選取不同，所得的狀態(tài)空間表達式也不同，但狀態(tài)向量x和x都是對同一系統(tǒng)動態(tài)行為的描述。 如果狀態(tài)向量x和x之間存在著非奇異線性變換，則稱這種變換為狀態(tài)的線性變換或等價變換。2）狀態(tài)變換前后系統(tǒng)的不變性系統(tǒng)的狀態(tài)變換既然是狀態(tài)空間的坐標變換，選擇不同的狀態(tài)變量去描述系統(tǒng)的行為，其狀態(tài)空間表達式是不相同的，但這只不過是數學描述形式的不同，系統(tǒng)的本質及其基本特性不會因描述形式的不同而有所改變。因此，我們可以得出如下結論：（1）狀態(tài)變換不改變系統(tǒng)的特征方程和特征值； （2）狀態(tài)變換不改變系統(tǒng)的傳遞函數矩陣方程。 線性系統(tǒng)的能控性與能觀性 能控性的定義及判據考慮線性時變系統(tǒng)的狀態(tài)方程xt=Atxt+Btut, t∈[t0,tf] (24)其中，x(t)為n維狀態(tài)向量，u(t)為l維輸入向量；[t0,tf]為自定義時間區(qū)間；A(t) 為n x n階系數矩陣,B(t)為n x l階控制矩陣。 對于線性時變系統(tǒng)（24），如果對取定初始時刻t∈[t0,tf]的一個非零初始狀態(tài)x0，若存在某一時刻tf和一個無約束的容許控制u(t)，使得系統(tǒng)在這個控制的作用下，系統(tǒng)由x0出發(fā)的運動軌跡經過時間tft0后由x0轉移到x(tf)=0，則稱此x0是系統(tǒng)在t0時刻的一個能控狀態(tài)。 對于線性時變系統(tǒng)（24），如果初始時刻為零初始狀態(tài)x(t0)=0，若存在某一時刻tf和一個無約束的容許控制u(t)，使得系統(tǒng)在這個控制的作用下，系統(tǒng)由出發(fā)的運動軌跡經過時間tft0后由零初始狀態(tài)轉移到狀態(tài)空間任意一點x(tf)=x，則稱此系統(tǒng)是一個完全能達系統(tǒng)，簡稱能達系統(tǒng)。 對于線性時變系統(tǒng)（24），如果狀態(tài)空間中的所有非零狀態(tài)都是在t0時刻的能控狀態(tài)，則稱系統(tǒng)（24）在時刻t0是完全能控的。如果對于任何t∈[t0,tf]，系統(tǒng)均是在t時刻為能控的，則稱系統(tǒng)（24）在區(qū)間[t0,tf]上是完全能控的。 對于線性時變系統(tǒng)（24），取定初始時刻t0，如果狀態(tài)空間中存在一個或一些非零狀態(tài)在時刻t是不能控，則稱系統(tǒng)（24）在時刻t是不完全能控的。定理21 線性時變系統(tǒng)（24）在t0時刻完全能控的充分必要條件是存在某個有限時刻t1t0，使得格拉姆（Gram）矩陣Wct1,t0=t0t1?t1,τBτBTτ?T(t1,τ)dτ是正定的。當矩陣A(t)和B(t)為定常時，系統(tǒng)（24）化為x=Axt+But, xt0=x0, t≥t0 (25) 定理22 線性定常系統(tǒng)（25）能控的充分必要條件是rankB AB ? An1B=n (26)MATLAB中的ctrb函數可以根據動態(tài)系統(tǒng)生成系統(tǒng)的能控性矩陣Qc，調用格式為：Qc=ctrb(A,B)。 能觀性的定義及判據考慮線性時變系統(tǒng)在零輸入下的狀態(tài)方程和輸出方程xt=Atxt, xt0=x0, t∈[t0,tf] yt=Ctx(t) (27) 對于線性時變系統(tǒng)（27），如果對取定初始時刻t0∈[t0,tf]的一個非零初始狀態(tài)x0，若存在一個有限時刻t1∈[t0,tf]，使得由區(qū)間上的系統(tǒng)輸出y(t)可以唯一地確定系統(tǒng)的初始狀態(tài)x0，則稱此x0在時刻t0為能觀的。 對于線性時變系統(tǒng)（27），取定初始時刻t0∈[t0,tf]及其一個非零初始狀態(tài)x0，如果對于任何有限時刻t1∈[t0,tf]，t1t0，均有yt=0，t∈[t0,t1]，則稱此x0在時刻t0為不能觀的。 對于線性時變系統(tǒng)（27），如果狀態(tài)空間中的所有狀態(tài)都是時刻t0的能觀狀態(tài)，則稱系統(tǒng)（27）在t0時刻是完全能觀的。如果對于任何t∈[T1,T2]，系統(tǒng)均是在t0時刻為能觀的，則稱系統(tǒng)（27）在區(qū)間[T1,T2]上是完全能觀的。 對于線性時變系統(tǒng)（27），取定初始時刻t0∈[t0,tf]，如果狀態(tài)空間中存在一個或一些非零狀態(tài)在時刻t0是不能觀的，則稱系統(tǒng)（27）在時刻t0是不完全能觀的。 定理23 線性時變系統(tǒng)（27）在t0時刻完全能觀的充分必要條件是存在某個有限時刻t1t0，使得格拉姆（Gram）矩陣Wot1,t0=t0t1?Tτ,t0CTτCτ?(τ,t0)dτ是正定的。 當矩陣A(t)和C(t)為定常時，系統(tǒng)（27）化為xt=Axt, xt0=x0, t∈[t0,tf]yt=Cx(t) (28) 定理24 線性定常系統(tǒng)（28）能觀的充分必要條件是rankCCA?CAn1=n (29)MATLAB中的obsv函數可以根據動態(tài)系統(tǒng)生成系統(tǒng)的能觀性矩陣Qo，調用格式為：Qo=obsv(A,C)。 對偶原理 若系統(tǒng)1的狀態(tài)空間表達式為x1t=Ax1t+Bu1(t) y1t=Cx1(t)若系統(tǒng)2的狀態(tài)空間表達式為x2t=ATx2t+CTu2(t) y2t=BTx2(t) 稱系統(tǒng)1和2互為對偶的，即系統(tǒng)2是系統(tǒng)1的對偶系統(tǒng)，反之，系統(tǒng)1是系統(tǒng)2的對偶系統(tǒng)。定理25 系統(tǒng)1狀態(tài)完全能控的充要條件是其對偶系統(tǒng)2的狀態(tài)完全能觀；系統(tǒng)1狀態(tài)完全能觀的充要條件是其對偶系統(tǒng)2的狀態(tài)完全能控。 狀態(tài)反饋與極點配置 狀態(tài)反饋的定義及其性質假設線性連續(xù)定常系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達式為x=Ax+Buy=Cx+Du (210)若在系統(tǒng)中引入狀態(tài)反饋控制律u=LvKx (211)這里的v為 l 維控制輸入量，K為l x n階的狀態(tài)反饋增益矩陣，它是實常數矩陣，L為l x l為非奇異實常數矩陣，稱為輸入變換矩陣。通常我們稱式（211）的反饋控制律為線性狀態(tài)反饋，簡稱狀態(tài)反饋。 將式（211）代入原系統(tǒng)（210）后得到閉環(huán)系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達式為x=(ABK)x+BLvy=(CDK)x+DLv (212) 定理26 狀態(tài)反饋不改變受控系統(tǒng)（210）的能控性，但卻不一定能保持系統(tǒng)的能觀性。 關于極點配置的定理 定理27 設系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達式為式（210），通過狀態(tài)反饋u=Kx+v能使其閉環(huán)極點位于預先任意指定位置上的充分必要條件是系統(tǒng)（210）為完全能控的。 關于極點配置的方法設給定能控系統(tǒng)(210)和一組在復共軛成對出現情況下的閉環(huán)期望特征值λ1*,λ2*,?,λn*，求1 x n的實向量K，使得矩陣(ABK)的特征值為給定的{λ1*,λ2*,?,λn*}。 （1）求A的特征多項式detsIA=sn+a1sn1+?+an1s+an （2）求閉環(huán)系統(tǒng)的期望特征多項式sλ1*sλ2*?sλn*=sn+a1*sn1+?+an1*s+an* （3）計算K=an*anan1*an1?a1*a1 （4）計算Q=BAB?An1Ban1?? a1?1?a1 ?001 ?00 （5）令P=Q1 （6）求得K=KP在MATLAB控制工具箱中，直接用于系統(tǒng)極點配置的函數有acker()和place()。在給定系統(tǒng)矩陣A,B和期望極點配置P的情況下，其調用格式為K=ackerA,B,P 或 K=place(A,B,P)其中acker()函數可以求解多重極點的配置，但只能用于單輸入系統(tǒng)；place()函數可用于單輸入或多輸入系統(tǒng)，但不能求解多重極點配置的問題[11]。 狀態(tài)觀測器的設計 狀態(tài)重構問題定理28 設給定n維線性定常系統(tǒng)x=Ax+Bu , xt0=x0y=Cx (213)若此系統(tǒng)是狀態(tài)完全能觀的，則狀態(tài)向量x(t)可以由輸入和輸出的相應信息構造出來。 全維狀態(tài)觀測器的設計 考慮完全能觀的線性定常系統(tǒng)(A,B,C)，我們構造一個與原系統(tǒng)結構完全相同的系統(tǒng)作為原系統(tǒng)的狀態(tài)觀測器 *，如圖21,，其狀態(tài)空間表達式為x=Ax+Bu y=Cx (214)由于式（214）與式（213）中各矩陣和輸入u相同，從所構造的這一裝置當然可以直接測量xt=x(t)。這樣的裝置稱為開環(huán)狀態(tài)觀測器。原系統(tǒng)和估計器具有相同的初始狀態(tài)，并在同一輸入信號u的驅動下，則對于所有的t≥0，估計器的輸出xt將等于真實的狀態(tài)x(t)。盡管如此，這種開環(huán)狀態(tài)估計器是不能付諸實用的，因為它存在如下的缺點： （1）每使用一次，都必須重新確定原系統(tǒng)的初始時刻并對估計器實施設置，這是極其不方便也是不現實的。 （2）若矩陣A具有正實部的特征值，則在某t0時刻，由于干擾或初始狀態(tài)估計不精確而導致xt0和x(t0)之間有稍許偏差，就會隨著時間的推移，xt與x(t)之間的偏差值將會越來越大，以致達到無窮大[12]。因此，我們充分利用系統(tǒng)（213）的輸入x(t)和輸出y(t)，構造成如圖22所示的閉環(huán)全維狀態(tài)觀測器。圖21 開環(huán)全維狀態(tài)觀測器圖22 閉環(huán)全維狀態(tài)觀測器根據圖22不難寫出閉環(huán)全維狀態(tài)觀測器的狀態(tài)方程為x=AECx+Bu+Ey (215)因為由式（215）所表述的動態(tài)系統(tǒng)（即狀態(tài)觀測器）所得到的xt是和x(t)的維數相同的，故稱它為全維狀態(tài)觀測器。不難發(fā)現，全維狀態(tài)觀測器是有兩個輸入ut和y(t)、一個輸出為狀態(tài)的估計值xt的動態(tài)系統(tǒng)。 定理29 若式（213）的n維線性定常系統(tǒng)是狀態(tài)完全能觀的，則能借助n維狀態(tài)觀測器x(t)=AECx(t)+Bu(t)+Ey(t) (216)來估計它的狀態(tài)，其估計誤差?xt=xtx(t)由下列方程所確定?xt=AEC?x(t)并且在復共軛特征值成對出現的情況下，可以通過選擇矩陣E來任意配置極點。具體說來,全維狀態(tài)觀測器的設計方法為: （1）導出對偶系統(tǒng)(AT,CT,BT)。 （2）指定所要設計的全維狀態(tài)觀測器的一組期望的極點{λ1*,λ2*,?,λn*}，利用極點配置問題的算法，用矩陣對[AT CT]來確定使λiAT+CTC=λi* i=1,2,…,n成立的反饋增益矩陣E。 （3）取L=ET，計算矩陣A－EC，則所要設計的全維狀態(tài)觀測器為（216）。 降維狀態(tài)觀測器的設計 考慮到受控系統(tǒng)（213）的輸出y(t)中已包含有狀態(tài)x(t)的部分信息，因此在直接利用這部分信息的基礎上再構造出維數低于被估計系統(tǒng)的狀態(tài)觀測器，稱為降維狀態(tài)觀測器。 給定受控系統(tǒng)（213），假定[A,C]為能觀，C為滿秩陣，即rankC=m，那么降維觀測器的最小維數可為nm。其設計方法為： （1）選取nm x n階常數矩陣D，使得n x n 矩陣P=CD為非奇異。（2）計算Q=P1=Q1Q2式中 Q1,Q2—n x m，n x nm維的矩陣。 （3）確定受控系統(tǒng)（213）在非奇異變換x=Px下所得的代數等價系統(tǒng)x1x2=A11A12A21A22x1x2+B1B2uy=Im0x1x2=x1 (217)其中 A=PAP1=A11A12A21A22, B=PB=B1B2, C=CP1=Im0式中 A11,A12,A21,A22—m x m,m x nm,nm x m,nm x (nm)階矩陣； B1,B2—m x l，nm x l 階矩陣。 （4）根據觀測器的期望特征值，求出期望特征多項式?(s)。 （5）選取nm x m 階矩陣E，使得矩陣（A22EA12）穩(wěn)定或具有系統(tǒng)的穩(wěn)定特征值，即滿足det?[sI(A22 EA12)]=?(s)。 （6）按照如下形式構成受控系統(tǒng)