【正文】 x2=a1x1a2x2+u ()式中x1，x2——系統(tǒng)狀態(tài)變量，a1，a2——固定參數(shù)，u——控制函數(shù)。 用x1構(gòu)造一個一個控制作用 u=ψx1 ()當(dāng)ψ=α?xí)r，得到一種結(jié)構(gòu)，其中α為常數(shù)： x1=x2 x2=a1x1a2x2αx1 ()當(dāng)ψ=α?xí)r，得另到一種結(jié)構(gòu)： x1=x2 x2=a1x1a2x2+αx1 ()故系統(tǒng)有兩個線性結(jié)構(gòu)，或者說有兩個線性模型。 假定a2為負(fù)，并對α作適當(dāng)限制，使得ψ=α?xí)r，特征方程有正實(shí)部復(fù)根；而ψ=α?xí)r，特征方程有一正一負(fù)實(shí)根。 顯然，兩種結(jié)構(gòu)都不穩(wěn)定。ψ=α?xí)r，為不穩(wěn)定焦點(diǎn)情況，即不穩(wěn)定焦點(diǎn)結(jié)構(gòu)；ψ=α?xí)r，為鞍點(diǎn)的情況，即鞍點(diǎn)結(jié)構(gòu)。 =0，即Cx1+x2=0這條直線。變化C(C0)的值，可以使得這條線在x1軸和ψ=α?xí)r的雙曲線軌跡的漸進(jìn)線之間變化。 下面將說明，在x1=0和s=0這兩條直線上改變系統(tǒng)結(jié)構(gòu)時，可以使系統(tǒng)穩(wěn)定。 假設(shè)，結(jié)構(gòu)改變的規(guī)律具有如下形式： ψ=α 當(dāng)x1s0α 當(dāng)x1s0 ()，當(dāng)x10，s0（Ⅰ、Ⅳ區(qū)）和x10, s0(Ⅲ區(qū))時，相軌跡為不穩(wěn)定焦點(diǎn)軌跡；當(dāng)x10，s0（Ⅱ區(qū)）和x10, s0(Ⅳ區(qū))時，相軌跡為不穩(wěn)定鞍點(diǎn)的軌跡。圖2. 3 由左圖可見，系統(tǒng)狀態(tài)的代表點(diǎn)由任何初始位置出發(fā)，總會碰到直線s=0，稱之為進(jìn)入直線s=0。在這條直線的鄰域，兩結(jié)構(gòu)的軌跡指向相對，故往后系統(tǒng)的運(yùn)動將是沿著s=0這條直線的滑動模態(tài)，=0的鋸齒線所示。直線s=0是控制產(chǎn)生切換的邊界線，由于產(chǎn)生控制切換，直線s=0常被稱之為切換線；在x1=0上，雖然ψ發(fā)生切換，但控制并沒有切換，故x1=0不是切換線。 系統(tǒng)運(yùn)動一旦進(jìn)入滑動模態(tài)，由s=Cx1+x2，則Cx1+x2=0。又因狀態(tài)方程中x1=x2，故有 x1+Cx1=0 ()此關(guān)系式一階微分方程，它被用來作為描述滑模運(yùn)動的方程，叫滑動模態(tài)方程或滑動方程。解得 x1t=x10eCt ()式中x10為x1t的初始狀態(tài)。 當(dāng)C0時，此解穩(wěn)定，故變結(jié)構(gòu)系統(tǒng)（）（）（）是穩(wěn)定的。 由上例可見，兩種結(jié)構(gòu)不穩(wěn)定的系統(tǒng)，若選擇正確的切換線，引入滑動模塊之后，可以穩(wěn)定[1]。 這是簡單的滑動模塊變結(jié)構(gòu)控制系統(tǒng)，下面將其一般化。s0CBAs=0s0在系統(tǒng) x=fx x∈Rn ()的狀態(tài)空間中，有一個切換面sx=sx1,x2?xn=0,將狀態(tài)空間分成上下兩個部分s0及s0。在切換面上的運(yùn)動點(diǎn)存在三種情況。 通常點(diǎn)，如A點(diǎn)，系統(tǒng)運(yùn)動點(diǎn)運(yùn)動到切換面s=0附近時，穿越此點(diǎn)；起始點(diǎn)，如B點(diǎn)，系統(tǒng)運(yùn)動點(diǎn)到達(dá)切換面s=0附近時，從切換面的兩邊離開該點(diǎn)；終止點(diǎn)，如C點(diǎn)，系統(tǒng)運(yùn)動點(diǎn)到達(dá)切換面s=0附近時，從切換面兩側(cè)趨近該點(diǎn)。 在滑模變結(jié)構(gòu)控制中，通常點(diǎn)和起始點(diǎn)沒有什么特殊的意義，而終止點(diǎn)卻不同。因為如果切換面上某一區(qū)域內(nèi)所有點(diǎn)都是終止點(diǎn)，則一旦運(yùn)動點(diǎn)趨近于該區(qū)域時，都會被“吸引”到該區(qū)域內(nèi)運(yùn)動。此時，稱切換面s=0上所有的運(yùn)動點(diǎn)都是終止點(diǎn)的區(qū)域為“滑動模態(tài)”區(qū)，即“滑?！眳^(qū)。系統(tǒng)在滑模區(qū)的運(yùn)動就稱為滑模運(yùn)動[4]。 滑模變結(jié)構(gòu)控制的定義[1,4,14,15] 設(shè)有一非線性控制系統(tǒng) x=fx,u,t x∈Rn,u∈Rm,t∈R ()需要確定切換函數(shù)向量 sx, s∈Rm ()其具有的維數(shù)一般等于控制的維數(shù)，并且尋求變結(jié)構(gòu)控制 ui(x)=ui+x 當(dāng)si0uix 當(dāng)si0 ()其中u+(x)≠u(x),使得： 滑動模態(tài)存在，即（）式成立； 滿足可達(dá)性條件，在切換面s=0以外的運(yùn)動點(diǎn)都將于有限的時間內(nèi)到達(dá)切換面； 保證滑模運(yùn)動的漸進(jìn)穩(wěn)定性； 達(dá)到控制系統(tǒng)的動態(tài)品質(zhì)要求。 這樣的控制系統(tǒng)，稱為滑動模態(tài)變結(jié)構(gòu)控制系統(tǒng)，簡稱變結(jié)構(gòu)系統(tǒng)。 滑動模態(tài)的存在與滑動模態(tài)方程 滑動模態(tài)的存在條件 對系統(tǒng) x=fx,u,t ()式中x、f——n維列向量，u——標(biāo)量函數(shù)，它在超平面sx=0上發(fā)生切換： ui(x)=u+x,t 當(dāng)si0ux,t 當(dāng)si0 ()其中u+x,t，ux,t，sx——連續(xù)函數(shù)，且u+≠u。 如果在切換面sx=0上可能指定一個非零維的區(qū)域，并且在這個區(qū)域，向量f+=fx,u,t+和f=fx,u,t在法線上的投影具有不同的符號并且指向相對，那么對于（）所描述的系統(tǒng)就可能產(chǎn)生滑動模態(tài)運(yùn)動[4,17]。上述滑動模態(tài)區(qū)ff+非零維的區(qū)域，叫做滑動模態(tài)區(qū)域。 滑動模態(tài)存在條件的數(shù)學(xué)形式： lims→+0s0,lims→0s0 ()它是滑動模態(tài)存在的充分條件。通常簡單寫作： ss0 ()其中切換函數(shù)sx還應(yīng)滿足：(1) 可微；(2) 過原點(diǎn)，即s0=0。由于狀態(tài)x可以任意取值，即x離開切換面可以任意遠(yuǎn)，故條件（）也稱為全局到達(dá)條件。為了保證在有限時間到達(dá)，避免漸進(jìn)趨近，可對式（）進(jìn)行修正： ssδ ()其中δ0, δ可以取任意小。 通常將式（）表達(dá)成李雅普諾夫函數(shù)型的到達(dá)條件[3,5]： Vx0,Vx=12s2 ()條件（）或（）在切換面sx=0上確定了滑動區(qū)。通常認(rèn)為，狀態(tài)的代表點(diǎn)進(jìn)入這個區(qū)域之后，將沿切換面這個指定區(qū)域運(yùn)動，直到達(dá)到它的邊界為止。這種運(yùn)動，稱之為理想的滑模運(yùn)動。 等效控制[1,3,15] 設(shè)系統(tǒng)狀態(tài)方程為： x=fx,u,t x∈Rn,u∈R ()其中u為輸入，t為時間。 如果達(dá)到理想的滑?？刂疲瑒ts=0，即 s=?s?x?x?t=0 或 s=?s?xf(x,u,t)=0 () 將式（）中u的解ueq（如果存在）稱為系統(tǒng)在滑動模態(tài)區(qū)內(nèi)的等效控制。等效控制往往是針對確定性系統(tǒng)在無外加干擾情況下進(jìn)行設(shè)計的。 例如，對于線性系統(tǒng) x=Ax+Bu x∈Rn,u∈R ()取切換函數(shù) sx=cx=i=1ncixi=i=1n1cixi+xn ()其中xi=xi1(i=1,2,?n)為系統(tǒng)狀態(tài)及各階導(dǎo)數(shù)，選取常數(shù)c1,c2,?1使得多項式pn1+1pn2+?+c2p+c1為赫爾維茨穩(wěn)定，p為拉普拉斯算子。 設(shè)系統(tǒng)進(jìn)入滑動模態(tài)后的等效控制為ueq，由式（）有 s=cx=cAx+Bueq=0 ()若矩陣[cb]滿秩，則可解出等效控制 ueq=[cb]1cAx () 對帶有不確定性和外加干擾系統(tǒng)，一般采用的控制律為等效控制律加切換控制，即 u=ueq+uvss ()其中切換控制uvss實(shí)現(xiàn)對不確定性和外加干擾的魯棒控制。所設(shè)計的控制律u要滿足滑模穩(wěn)定條件。 滑動模態(tài)運(yùn)動方程 引入等效控制以后，可以寫出滑動模態(tài)運(yùn)動方程。將等效控制ueq代入系統(tǒng)的狀態(tài)方程（），可得 x=fx,ueq,t x∈Rn,u∈R sx=0 () 將式（）代入式（）所示線性系統(tǒng)，有 x=[Ib(cb)1c]Axsx=cx=0 () 滑動模態(tài)運(yùn)動是系統(tǒng)沿切換面sx=0上的運(yùn)動，達(dá)到理想終點(diǎn)時，滿足s=0及s=0，同時切換開關(guān)必須是理想開關(guān)，這是一種理想的極限情況。實(shí)際上，系統(tǒng)運(yùn)動點(diǎn)沿切換面上下穿行[4]。故式（）是滑模變結(jié)構(gòu)控制系統(tǒng)在滑動模態(tài)附近的平均運(yùn)動方程，描述了系統(tǒng)在滑動模態(tài)下的主要動態(tài)特征。通常情況下，為使滑動模態(tài)的漸進(jìn)穩(wěn)定性和動態(tài)品質(zhì)優(yōu)良，切換函數(shù)的選擇就尤其重要，這從式（）可以看出來。 滑模變結(jié)構(gòu)控制匹配條件及其不變性 滑模變結(jié)構(gòu)控制的突出優(yōu)點(diǎn)是可以實(shí)現(xiàn)滑動模態(tài)與系統(tǒng)的外干擾和參數(shù)攝動完全無關(guān)，這種性質(zhì)稱為滑動模態(tài)的不變性，這也是滑模變結(jié)構(gòu)控制受重視的主要原因[7]。但對于一般線性系統(tǒng)，不變性的成立是有條件的，需滿足滑動模態(tài)匹配條件。(1) 系統(tǒng)受外干擾時 x=Ax+Bu+Df ()其中Df表示所受的外界干擾。 滑動模態(tài)不受干擾f影響的充要條件為 rankB,D=rankB ()如果式（）滿足，則系統(tǒng)可化為 x=Ax+B(u+Df) ()其中D=B1D，則通過設(shè)計控制律可實(shí)現(xiàn)對干擾的完全補(bǔ)償。條件（）稱為干擾和系統(tǒng)的完全匹配條件[4,17]。 (2) 系統(tǒng)存在不確定性時 x=Ax+Bu+ΔAx () 滑動模態(tài)與不確定性無關(guān)的充要條件是 rankB,ΔA=rankB ()如果式（）滿足，則系統(tǒng)可化為 x=Ax+B(u+ΔAf) ()其中ΔA=BΔA，則通過設(shè)計控制律可實(shí)現(xiàn)對不確定性的完全補(bǔ)償。條件（）稱為不確定性和系統(tǒng)的完全匹配條件[4,5]。(3) 對于同時存在外擾和參數(shù)攝動的系統(tǒng) x=Ax+ΔAx+Bu+Df如滿足匹配條件（）和（），則系統(tǒng)化為 x=Ax+B(u+ΔAf+Df) () 滑模變結(jié)構(gòu)控制系統(tǒng)的抖振問題 從上面的理論分析中可以看到，在一定意義上滑模可以按需設(shè)計并且系統(tǒng)的滑模運(yùn)動與控制對象的參數(shù)攝動及系統(tǒng)的外界干擾無關(guān)，因此相比較常規(guī)的連續(xù)系統(tǒng)而言，滑模變結(jié)構(gòu)控制的魯棒性要明顯優(yōu)秀。然而，滑模變結(jié)構(gòu)控制在本質(zhì)上的不連續(xù)開關(guān)特性也帶來了它不可避免的問題——抖振。 對于一個理想的滑模變結(jié)構(gòu)系統(tǒng)，其切換過程具有理想的開關(guān)特性，系統(tǒng)狀態(tài)測量精確無誤，控制量不受限制，則滑動模態(tài)總是光滑的運(yùn)動并漸進(jìn)趨近于原點(diǎn)，不會出現(xiàn)抖振。但對于一個現(xiàn)實(shí)的滑模變結(jié)構(gòu)控制系統(tǒng)，以上各個條件并不可能嚴(yán)格滿足，尤其對于離散的滑模變結(jié)構(gòu)系統(tǒng)，這樣的要求過于苛刻。因此，在實(shí)際系統(tǒng)中，抖振是必然的，而且一旦消除抖振，也就消除了變結(jié)構(gòu)控制抗攝動和抗擾動的能力[4]。所以說，消除抖振是不可能的，只能在一定程度上削弱它。 造成抖振的原因有多種，主要有： (1)時間滯后開關(guān)； (2)空間滯后開關(guān)； (3)系統(tǒng)慣性的影響； (4)離散系統(tǒng)本身造成的抖振。 總之，抖振的原因在于：當(dāng)系統(tǒng)的軌跡到達(dá)切換面時，其速度是有限大的，慣性使運(yùn)動點(diǎn)穿越切換面，從而最終形成抖振，疊加在理想的滑動模態(tài)上[1, 4,5]。 選擇合適的趨近控制函數(shù)，可以有效削弱抖振。具體的趨近控制函數(shù)的選擇和設(shè)計將在本文的后續(xù)章節(jié)詳細(xì)介紹。3 水箱液位控制系統(tǒng)建模 液位控制系統(tǒng) 液位控制系統(tǒng)的組成[6] 本文的控制系統(tǒng)是參照浙江天煌THJFCS1型現(xiàn)場總線過程控制系統(tǒng)試驗裝置的系統(tǒng)結(jié)構(gòu)進(jìn)行設(shè)計的。該水箱控制系統(tǒng)實(shí)驗裝置是基于工業(yè)過程的物理模擬對象，它是集自動化儀表技術(shù)、計算機(jī)技術(shù)、通訊技術(shù)、自動控制技術(shù)為一體的多功能實(shí)驗裝置。根據(jù)自動化及其它相關(guān)專業(yè)教學(xué)的特點(diǎn)，吸收了國內(nèi)外同類實(shí)驗裝置的特點(diǎn)和長處后，經(jīng)過精心設(shè)計，多次實(shí)驗和反復(fù)論證，推出了這一套全新的實(shí)驗裝置。該系統(tǒng)包括流量、液位、壓力、溫度等參數(shù)，可實(shí)現(xiàn)系統(tǒng)被控對象特性測試、單回路控制系統(tǒng)、位式控制、串級控制系統(tǒng)、滯后控制系統(tǒng)、前饋反饋控制系統(tǒng)、解耦控制系統(tǒng)等多種控制形式。選取該復(fù)雜系統(tǒng)中的液位控制系統(tǒng)模塊進(jìn)行建模，獲取原始數(shù)據(jù)，進(jìn)而進(jìn)行控制研究。，該液位控制系統(tǒng)的水箱系統(tǒng)由蓄水容器、檢測元件和動力驅(qū)動裝置構(gòu)成。