導(dǎo)數(shù)高考題含答案資料-文庫(kù)吧
2025-06-05 12:26 本頁(yè)面
【正文】 a2﹣2a）上是增函數(shù)，若x∈（a2﹣2a，0），則f′（x）＜0，此時(shí)函數(shù)f（x）在（a2﹣2a，0）上是減函數(shù)，若x∈（0，+∞），則f′（x）＞0，此時(shí)函數(shù)f（x）在（0，+∞）上是增函數(shù)．②當(dāng)a=2時(shí)，f′（x）＞0，此時(shí)函數(shù)f（x）在（﹣1，+∞）上是增函數(shù)，③當(dāng)a＞2時(shí)，若x∈（﹣1，0），則f′（x）＞0，此時(shí)函數(shù)f（x）在（﹣1，0）上是增函數(shù)，若x∈（0，a2﹣2a），則f′（x）＜0，此時(shí)函數(shù)f（x）在（0，a2﹣2a）上是減函數(shù)，若x∈（a2﹣2a，+∞），則f′（x）＞0，此時(shí)函數(shù)f（x）在（a2﹣2a，+∞）上是增函數(shù)．（Ⅱ）由（Ⅰ）知，當(dāng)a=2時(shí)，此時(shí)函數(shù)f（x）在（﹣1，+∞）上是增函數(shù)，當(dāng)x∈（0，+∞）時(shí)，f（x）＞f（0）=0，即ln（x+1）＞，（x＞0），又由（Ⅰ）知，當(dāng)a=3時(shí)，f（x）在（0，3）上是減函數(shù)，當(dāng)x∈（0，3）時(shí)，f（x）＜f（0）=0，ln（x+1）＜，下面用數(shù)學(xué)歸納法進(jìn)行證明＜an≤成立，①當(dāng)n=1時(shí)，由已知，故結(jié)論成立．②假設(shè)當(dāng)n=k時(shí)結(jié)論成立，即，則當(dāng)n=k+1時(shí)，an+1=ln（an+1）＞ln（），an+1=ln（an+1）＜ln（），即當(dāng)n=k+1時(shí)，成立，綜上由①②可知，對(duì)任何n∈N?結(jié)論都成立．4．已知函數(shù)f（x）=ex﹣e﹣x﹣2x．（Ⅰ）討論f（x）的單調(diào)性；（Ⅱ）設(shè)g（x）=f（2x）﹣4bf（x），當(dāng)x＞0時(shí)，g（x）＞0，求b的最大值；（Ⅲ）＜＜，估計(jì)ln2的近似值（）．解：（Ⅰ）由f（x）得f′（x）=ex+e﹣x﹣2，即f′（x）≥0，當(dāng)且僅當(dāng)ex=e﹣x即x=0時(shí)，f′（x）=0，∴函數(shù)f（x）在R上為增函數(shù)．（Ⅱ）g（x）=f（2x）﹣4bf（x）=e2x﹣e﹣2x﹣4b（ex﹣e﹣x）+（8b﹣4）x，則g′（x）=2[e2x+e﹣2x﹣2b（ex+e﹣x）+（4b﹣2）]=2[（ex+e﹣x）2﹣2b（ex+e﹣x）+（4b﹣4）]=2（ex+e﹣x﹣2）（ex+e﹣x+2﹣2b）．①∵ex+e﹣x＞2，ex+e﹣x+2＞4，∴當(dāng)2b≤4，即b≤2時(shí)，g′（x）≥0，當(dāng)且僅當(dāng)x=0時(shí)取等號(hào)，從而g（x）在R上為增函數(shù)，而g（0）=0，∴x＞0時(shí)，g（x）＞0，符合題意．②當(dāng)b＞2時(shí)，若x滿足2＜ex+e﹣x＜2b﹣2即，得，此時(shí)，g′（x）＜0，又由g（0）=0知，當(dāng)時(shí)，g（x）＜0，不符合題意．綜合①、②知，b≤2，得b的最大值為2．（Ⅲ）∵＜＜，根據(jù)（Ⅱ）中g(shù)（x）=e2x﹣e﹣2x﹣4b（ex﹣e﹣x）+（8b﹣4）x，為了湊配ln2，并利用的近似值，故將ln即代入g（x）的解析式中，得．當(dāng)b=2時(shí)，由g（x）＞0，得，從而；令，得＞2，當(dāng)時(shí)，由g（x）＜0，得，得．．5．設(shè)函數(shù)f（x）=aexlnx+，曲線y=f（x）在點(diǎn)（1，f（1））處得切線方程為y=e（x﹣1）+2．（Ⅰ）求a、b；（Ⅱ）證明：f（x）＞1．解：（Ⅰ）函數(shù)f（x）的定義域?yàn)椋?，+∞），f′（x）=+，由題意可得f（1）=2，f′（1）=e，故a=1，b=2；（Ⅱ）由（Ⅰ）知，f（x）=exlnx+，∵f（x）＞1，∴exlnx+＞1，∴l(xiāng)nx＞﹣，∴f（x）＞1等價(jià)于xlnx＞xe﹣x﹣，設(shè)函數(shù)g（x）=xlnx，則g′（x）=1+lnx，∴當(dāng)x∈（0，）時(shí)，g′（x）＜0；當(dāng)x∈（，+∞）時(shí)，g′（x）＞0．故g（x）在（0，）上單調(diào)遞減，在（，+∞）上單調(diào)遞增，從而g（x）在（0，+∞）上的最小值為g（）=﹣．設(shè)函數(shù)h（x）=xe﹣x﹣，則h′（x）=e﹣x（1﹣x）．∴當(dāng)x∈（0，1）時(shí)，h′（x）＞0；當(dāng)x∈（1，+∞）時(shí)，h′（x）＜0，故h（x）在（0，1）上單調(diào)遞增，在
環(huán)評(píng)公示相關(guān)推薦
鄂ICP備17016276號(hào)-1