現(xiàn)代控制論文-文庫(kù)吧
2024-10-17 06:27 本頁(yè)面
【正文】 J ftt?? 0 ))(),(,()]([ ?； ff xtxxtx ?? )(,)( 00 在曲線(xiàn) )(txx? 處達(dá)到極值，則 )(txx? 必為歐拉方程 0?? xx FdtdF ? 的解。 證明 因?yàn)榉汉?)]([ txJ 在 )(txx? 處達(dá)到極值，所以有 0)(0 ??? ? dtxFxFJ ftt xx ????? 其中 0)()( 0 ?? ftxtx ?? 而 dtFdtdxdtFdtdxxFdtxF xttxttttxtt x ffff )()( 0000 | ???? ? ??? ???? ???? 代入得 0)(0 ??? ? dtxFdtdFJ ftt xx ?? ? 由引理可得 0??xx FdtdF ? 還可寫(xiě)成 0???? xxxxxtx FxFxFF ???? ??? 歐拉方程是二階常微分方程。兩個(gè)積分常數(shù)由兩個(gè)邊界條件確定。 變分法應(yīng)用 ： 例 求泛函 dtxxtxJ ? ?? 20 22 )()]([? ? 滿(mǎn)足邊界條件 1)2(,0)0( ?? ?xx的極值曲線(xiàn)。 5 解 22 xxF ?? ? ， 歐拉方程為 022 ????? xxFdtdF xx ??? 求得 tCtCx sinco s 21 ?? ，由邊界條件可得 1,0 11 ?? CC 。故得極值曲線(xiàn)為 tx sin? 。 含有多個(gè)未知函數(shù)的變分問(wèn)題 dtXXtFXJ ftt?? 0 ),(][ ? 其中 Tn txtxtxtX )](),(),([)( 21 ?? 有相似結(jié)論 0?? XX FdtdF ? 邊界條件為 ff XtXXtX ?? )(,)( 00 。 6 第二章 極值原理 為了解決古典變分法在求解最優(yōu)控制問(wèn)題中所暴露出來(lái)的上述問(wèn)題，許多學(xué)者進(jìn)行了各種探索。其中以蘇聯(lián)學(xué)者龐特里雅金（ Pontryagin）的最大值原理（或最小值原理）與美國(guó)學(xué)者貝爾曼（ ）的動(dòng)態(tài)規(guī)劃較為成功，應(yīng)用也較廣泛，現(xiàn)已成為求解最優(yōu)控制問(wèn)題的強(qiáng)有力的工具。 給定系統(tǒng)的狀態(tài)方程 和初態(tài) X(t0)=X0， 而終端時(shí)刻 tf 固定，終端狀態(tài) X(tf)自由以及控 制變量 U(t)所受約束條件是 則為將系統(tǒng)從給定的初態(tài) X(t0)轉(zhuǎn)移到某個(gè)終態(tài) X(tf) ，并使性能泛函 達(dá)到極小值的最優(yōu)控制應(yīng)滿(mǎn)足的必要條件是： (1)設(shè) U*(t)是最優(yōu)控制 , X*(t)是對(duì)應(yīng)于 U*(t)的最優(yōu)軌線(xiàn)，則必存在一與 U*(t)和 X*(t)相對(duì)應(yīng)的 n 維協(xié)態(tài)變量 ，使得 X*(t)和 滿(mǎn)足規(guī)范方程 ( ) [ ( ) , ( ) , ]X t f X t U t t? 0,( ) , [ ]ft t t t? ? ?( ) [ ( ) , ( ) , ]Ht f X t U t t?????() Ht X? ???? 7 其中， (2)邊界條件為 (3) 在最優(yōu)控制 U*(t)和最優(yōu)軌線(xiàn) X*(t)上哈密頓函數(shù)達(dá)到最大值 ,即 由于 使性能泛函達(dá)到極小值的最優(yōu)控制的必要條件是哈密頓函數(shù)H 達(dá)到最大值，所以，該定理稱(chēng)為最（極）大值原理。 [ ( ) , ( ) , ( ) , ][ ( ) , ( ) , ] ( ) [ ( ) , ( ) , ]TH H X t t U t tL X t U t t t f X t U t t? ??? ? ?00()X t X?( ) 0ft? ? * * *()[ ( ) , ( ) , ( ) , ] m a x [ ( ) , ( ) , ( ) , ]UtH X t t U t t H X t t U t t?? ??? 8 第三章 動(dòng)
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