【正文】 (2－4)得知全部的與就得到非正弦周期函數(shù)的全部信息。 傅立葉級數(shù)的指數(shù)函數(shù)形式傅立葉級數(shù)可以用指數(shù)形式來表示，通常可以寫為 (2－5)其中當(dāng)h＝0時(shí)，；對，有 (2－6)傅立葉級數(shù)指數(shù)形式的實(shí)質(zhì)是將每一個(gè)正弦函數(shù)分解為角頻率的兩個(gè)指數(shù)項(xiàng)。 采樣信號的傅立葉變換 采樣定理假設(shè)一個(gè)頻帶有限的信號頻譜的最高頻率為，如果采樣頻率大于信號的兩倍，則可以用采樣信號恢復(fù)成原信號，而不產(chǎn)生失真，這就是采樣定理。采樣定理滿足了最低取樣速度，即當(dāng)滿足2時(shí)，根據(jù)采樣點(diǎn)上的樣本值，可以唯一的確定原信號。這樣，不必傳送信號本身，只要傳送信號的離散值，即可在接收端根據(jù)這些離散值恢復(fù)原來的連續(xù)信號。 采樣信號的傅立葉變換對函數(shù)進(jìn)行采樣，可以用圖2－1所示的過程來表示。圖2－1 采樣原理連續(xù)信號經(jīng)采樣序列脈沖作用后產(chǎn)生采樣信號，它是連續(xù)信號與采樣序列脈沖p(t)的乘積，既：其傅立葉變換 (2－7)根據(jù)傅立葉變換的卷積性質(zhì)，可寫為 (2－8) 離散傅立葉變換(DFT)與快速傅立葉變換(FFT) DFT對一個(gè)離散信號(或序列)進(jìn)行傅立葉變換時(shí)，得到的是在頻域中的連續(xù)頻譜，這是一個(gè)由無限數(shù)據(jù)構(gòu)成的連續(xù)函數(shù)。在數(shù)字系統(tǒng)中，不論使用計(jì)算機(jī)還是通過數(shù)字硬件來分析、處理時(shí)，只能對有限個(gè)數(shù)據(jù)的離散量進(jìn)行。DFT就是適應(yīng)這種要求發(fā)展起來的一種變換。通過DFT，將時(shí)域中有限長度的離散信號(僅含有限個(gè)數(shù)據(jù))變換為頻域中有限長度的離散信號(也僅含有限個(gè)數(shù)據(jù))。這是一個(gè)一一對應(yīng)的變換，值得注意的是DFT本身并不存在近似或逼近的概念。當(dāng)時(shí)域中函數(shù)作周期變化時(shí)，其傅立葉變換的頻譜呈現(xiàn)離散性；而當(dāng)時(shí)域中函數(shù)是離散型的離散信號時(shí)，其傅立葉頻譜則是周期性的。因此，僅有周期性的離散信號才具有周期性的離散頻譜，他們在時(shí)域和頻域中均可以用有限個(gè)數(shù)的數(shù)據(jù)來表示。嚴(yán)格地說，這實(shí)際上是一個(gè)離散傅立葉級數(shù)(DFS)的變換關(guān)系。對于一個(gè)有限時(shí)間段內(nèi)的離散信號(或一個(gè)序列)，可以用解析延拓地概念將它看為以此時(shí)間段為周期的不斷重復(fù)的周期函數(shù)而應(yīng)用DFS將它進(jìn)行變換，所得就是可以代表該時(shí)間段信號的傅立葉頻譜，它依然是一個(gè)具有有限個(gè)數(shù)數(shù)據(jù)的離散頻譜。這種變換就稱為離散傅立葉變換(DFT)?？梢奃FT是適用實(shí)際需要而定義的一種時(shí)域、頻域離散函數(shù)之間的變換對。若是時(shí)域中取離散值的周期函數(shù)，既是在周期Tp之間N個(gè)等間隔Ts上給出數(shù)值序列(它也可以是一個(gè)采樣的樣本值或是本身就是由計(jì)算機(jī)或數(shù)字處理裝置輸出的離散函數(shù))。樣本間隔Ts=Tp/N,函數(shù)可寫為，其中k取0，1，…，N－1，或是簡化為。的離散頻譜以周期重復(fù)，譜線間隔為。故譜線數(shù)，與的樣本數(shù)相等。頻譜X(f)在(h＝0，1，…，N－1)各頻率上取值，故可寫為Xp(hfp)或簡寫為Xp(h)。DFT的正變換對為 (2－9)從形式上看，式2－9的第二式類似取有限項(xiàng)的傅立葉級數(shù)，其中是第h次諧波的傅立葉系數(shù)。引用符號，DFT可以寫成 (2－10)在DFT中，由于是離散周期函數(shù)，因此，DFT本質(zhì)上是離散的傅立葉級數(shù)展開，并取指數(shù)形式的傅立葉級數(shù)。 FFT在DFT中，每計(jì)算一個(gè)頻譜的離散值X(h)就要作N次復(fù)數(shù)相乘運(yùn)算和N1次復(fù)數(shù)相加運(yùn)算，全部N個(gè)頻譜值就必須作個(gè)乘法和N(N1)次加法運(yùn)算。當(dāng)樣點(diǎn)數(shù)N很大時(shí)，對信號的實(shí)時(shí)處理就比較困難了，以至在實(shí)踐工作中無法廣泛應(yīng)用，長時(shí)間僅停留在理論意義上。在1996年出現(xiàn)了第一個(gè)DFT的快速計(jì)算方法，以及相繼出現(xiàn)了多種高效快速算法，使得DFT的計(jì)算時(shí)間縮短了一到二個(gè)數(shù)量級。這些算法統(tǒng)稱為快速傅立葉變換，既FFT。FFT的出現(xiàn)大大推動(dòng)了專用數(shù)字設(shè)備的發(fā)展，使得數(shù)字信號處理的面貌大為改觀。它是數(shù)字信號處理的一個(gè)強(qiáng)有力的工具。提高DFT的計(jì)算速度目前主要采用一下兩種方法。(1) 把長為N的DFT，逐次分解成長度較短的DFT來計(jì)算如果長為N的DFT，能分解成兩個(gè)長為N/2的DFT來計(jì)算。需要次復(fù)數(shù)乘法，次復(fù)數(shù)加法運(yùn)算。這樣分解后DFT的計(jì)算工作量比直接計(jì)算DFT的工作量大約減少一半。(2) 利用的周期性和對稱性，在DFT運(yùn)算中進(jìn)行歸類，提高運(yùn)算速度。周期性： r為任意整數(shù)(＝1) (2－11)對稱性： (＝－1) (2－12)的周期性和對稱性如圖2－2表示：圖2－2 的對稱性和周期性具有N個(gè)樣點(diǎn)的DFT，可以根據(jù)k的奇、偶分為兩組來取和。當(dāng)N為偶數(shù)時(shí)，有 (2－13)式中，利用了，將此式寫為 (2－14) (2－15)是兩個(gè)DFT，具有的樣點(diǎn)數(shù)各為N/2個(gè)。令N/2=p,由于，故在中有： (2－16)現(xiàn)在以信號流圖(SFG)的方法來表示物理量之間的運(yùn)算關(guān)系。圖2－3(a)中，不帶系數(shù)的線段表示右端物理量Y＝X，X為左端物理量，如果線段上標(biāo)以系數(shù)a，則Y＝aX。如果某點(diǎn)左方有兩線段在點(diǎn)上匯集，則有Y＝X＋aZ。現(xiàn)在與之間建立一個(gè)流程關(guān)系如圖2－3(b)所示，這是一個(gè)X形狀的圖形，稱為蝴蝶形，其中包括2次復(fù)數(shù)乘法運(yùn)算和2次復(fù)數(shù)加減運(yùn)算；由于2個(gè)乘法僅有負(fù)號之差，故可將B(h)均乘以，然后一次與之相加，另一次則與其相減就可以得同樣結(jié)果。這樣運(yùn)算可以減少一次乘法運(yùn)算，而加減法運(yùn)算次數(shù)則仍為2次不變。圖2－3(c)是圖2－3(b)另一種表示方法。圖2－3 信號流圖的表示方法當(dāng)N＝4時(shí)FFT的流程圖如圖2－4表示，樣點(diǎn)值通過中間量A、B而得到DFT的X值，即有 (2－17)圖2－4 N＝4的FFT流程圖DFT結(jié)果為 (2－18)通常將樣點(diǎn)數(shù)取為2的乘方。當(dāng)N＝2M(M為正整數(shù))時(shí)，從樣點(diǎn)值到DFT值將經(jīng)過M個(gè)步驟?，F(xiàn)認(rèn)為DFT值X(h)(h=0,1,…,N)由流程左方量值經(jīng)蝶形運(yùn)算而得。前N/2個(gè)相當(dāng)于前述的A(h)。后N/2個(gè)相當(dāng)于前述B(h)(在A(h)、B(h)中h取0，1，…，p/2－1，而在中，h取0，1，…，N)。前N/2個(gè)，即原來的A(h),表達(dá)式為： (2－19)相當(dāng)于B(h)的后N/2個(gè)，可寫為： (2－20)由于N＝2M，因此N/2(即p)仍為偶數(shù)，因此可以對兩個(gè)部分的各作進(jìn)一步奇偶分解寫成類似式(2－14)、式(2－16)的形式，流程左側(cè)的量可以稱之為。而且可以看出，從求X、從求均由N/2個(gè)蝶形運(yùn)算完成。這一過程可向流程左方再次重復(fù)，直至最左的量程是樣點(diǎn)函數(shù)時(shí)才完成全部流程。共有M個(gè)重復(fù)步驟，每個(gè)步驟中均須完成N/2個(gè)蝶形運(yùn)算。由于M＝，每個(gè)蝶形運(yùn)算須做1次乘法、2次加法運(yùn)算，因此共須做MN/2＝()N/2次乘法運(yùn)算，而通常DFT須做N2次乘法運(yùn)算。當(dāng)采樣點(diǎn)數(shù)增大以后，DFT和FFT算法的乘法次數(shù)比值增長很快。例如當(dāng)N＝2048時(shí)，所以FFT算法提高運(yùn)算速度是十分有效的。 時(shí)抽選奇偶分解FFT計(jì)算的一般規(guī)則 基2時(shí)抽選奇偶分解FFT對輸入序列的要求如前文所述，輸入序列長度為N=2M (M為正整數(shù),將該序列按時(shí)間順序的奇偶分解為越來越短的子序列,。其中基數(shù)2——N=2M,可以人為地加上若干零值(加零補(bǔ)長)使其達(dá)到 N=2M。例如某一序列x(n) 的長度為L=9,應(yīng)加零補(bǔ)長為N＝24 ＝16，應(yīng)補(bǔ)7個(gè)零值。在本應(yīng)用中，程序設(shè)計(jì)中每次采樣64個(gè)點(diǎn)再進(jìn)行FFT分析，M＝6，因此程序中設(shè)計(jì)中不用再考慮補(bǔ)足數(shù)據(jù)的要求。 輸入序列的碼位倒置進(jìn)行N＝8時(shí)的FFT蝶形運(yùn)算時(shí)，輸入序列的排列順序?yàn)閤(0)、x(4)、x(2)、x(6)、x(1)、x(5)、x(3)、x(7)，輸出序列X(k)則為自然順序。輸入序列的排列順序稱為‘倒位序’，即將序列號n寫成二進(jìn)制碼，然后二進(jìn)制碼首尾倒置，將倒置的二進(jìn)制碼再譯成十進(jìn)制數(shù)的排列順序。表2－1列出了N＝8時(shí)兩種排列順序的互換規(guī)律。表2－1 N＝8時(shí)的兩種排列順序規(guī)律自然順序二進(jìn)制表示倒位二進(jìn)制數(shù)倒位序0000000010011004201001023011110641000011510110156110011371111117 即位運(yùn)算即位運(yùn)算是指當(dāng)把數(shù)據(jù)存入輸入存儲(chǔ)器中后，每一級運(yùn)算的結(jié)果都存在相應(yīng)的輸入存儲(chǔ)器中，直到計(jì)算出最后計(jì)算結(jié)果。即位運(yùn)算也稱原位計(jì)算，主要優(yōu)點(diǎn)是占用計(jì)算機(jī)內(nèi)部RAM單元少，運(yùn)算簡單，容易實(shí)現(xiàn)。 時(shí)抽選奇偶分解FFT的C語言程序?qū)崿F(xiàn) 變量的設(shè)置與定義本設(shè)計(jì)計(jì)劃在交流信號的每個(gè)周波采樣64個(gè)點(diǎn)的信號，因此FFT運(yùn)算過程中需要64個(gè)存儲(chǔ)單位存儲(chǔ)實(shí)部，64個(gè)單位存儲(chǔ)虛部。64個(gè)點(diǎn)的M＝6，要進(jìn)行6次奇偶分解，6級計(jì)算。變量定義如下，作用由注釋標(biāo)明：float dataR[64],dataI[64]。 //分別存放采樣點(diǎn)的實(shí)部和虛部double TR,TI,temp。 //存儲(chǔ)計(jì)算過程中的臨時(shí)變量int i。 //用于循環(huán)語句的計(jì)數(shù)控制int x0,x1,x2,x3,x4,x5。 //碼位倒置int xx。int L,j,k,b,p。 //級數(shù)控制此外，由于求一個(gè)sin值或cos值需要大量的乘法計(jì)算，為提高運(yùn)算速度，采用查表的方法來獲得sin值或cos值，因此還需要存放sin值和cos值的兩個(gè)常數(shù)表。 逆序部分逆序部分中x0～x5分別表示序列號i值轉(zhuǎn)換成二進(jìn)制格式后，各個(gè)位上值。然后逆序轉(zhuǎn)換成十進(jìn)制的倒位序xx，再用虛部的數(shù)組dataI臨時(shí)存儲(chǔ)倒位序列，逆序過程結(jié)束后，再將dataI數(shù)組的值按自然順序賦值給dataR,同時(shí)將dataI清空。for(i=0。i64。i++) { x0=x1=x2=x3=x4=x5=0。x0=iamp。0x01。 x1=(i/2)amp。0x01。 x2=(i/4)amp。0x01。 x3=(i/8)amp。0x01。x4=(i/16)amp。0x01。 x5=(i/32)amp。0x01。 xx=x0*32+x1*16+x2*8+x3*4+x4*2+x5。 //xx為倒位序 dataI[xx]=dataR[i]。 }for(i=0。i64。i++){ dataR[i]=dataI[i]。 dataI[i]=0。 } //將dataI中的數(shù)據(jù)倒會(huì)dataR,并將dataI清空 FFT計(jì)算N點(diǎn)FFT運(yùn)算可以分成LOGN2 級，每一級都有N/2個(gè)碟形。DIT FFT的基本思想是用3層循環(huán)完成全部運(yùn)算(N點(diǎn)FFT)。第一層循環(huán)：由于N=2M需要M級計(jì)算,第一層循環(huán)對運(yùn)算的級數(shù)進(jìn)行控制。第二層循環(huán)：由于第L級有2L1個(gè)蝶形因子(乘數(shù))，第二層循環(huán)根據(jù)乘數(shù)進(jìn)行控制，保證對于每一個(gè)蝶形因子第三層循環(huán)要執(zhí)行一次，這樣，第三層循環(huán)在第二層循環(huán)控制下，每一級要進(jìn)行2L1次循環(huán)計(jì)算。第三層循環(huán)：由于第L級共有N/2L個(gè)群，并且同一級內(nèi)不同群的乘數(shù)分布相同，當(dāng)?shù)诙友h(huán)確定某一乘數(shù)后，第三層循環(huán)要將本級中每個(gè)群中具有這一乘數(shù)的蝶形計(jì)算一次，即第三層循環(huán)每執(zhí)行完一次要進(jìn)行N/2L個(gè)碟形計(jì)算。在每一級中，第三層循環(huán)完成N/2L個(gè)碟形計(jì)算；第二層循環(huán)使第三層循環(huán)進(jìn)行 2L1次，因此，第二層循環(huán)完成時(shí)，共進(jìn)行2L1 *N/2L=N/2個(gè)碟形計(jì)算。實(shí)質(zhì)是：第二、第三層循環(huán)完成了第L級的計(jì)算。幾個(gè)要注意的數(shù)據(jù)：① 在第L級中，每個(gè)碟形的兩個(gè)輸入端相距b=2L1個(gè)點(diǎn)。② 同一乘數(shù)對應(yīng)著相鄰間隔為2L個(gè)點(diǎn)的N/2L個(gè)碟形。③ 第L級的2L1個(gè)碟形因子WPN 中的P，可表示為p = j*2mL，其中j = 0，1，2，...，(2L11)。這個(gè)是本程序采取查表法計(jì)算FFT的關(guān)鍵部分之一。64點(diǎn)DIT FFT函數(shù)：/************** FFT *******************/for(L=1。L=6。L++) { /* for (1)對運(yùn)算級數(shù)進(jìn)行控制 */b=1。 i=L1。while(i0) {b=b*2。i。} /* b= 2^(L1) */for(j=0。j=b1。j++) /* for (2) */{ p=1。 i=6L。while(i0) /* p=pow(2,7L)*j。 */{p=p*2。i。}p=p*j。for(k=j。k64。k=k+2*b) /* for (3) */{/* printf(p=%d ,p)。 */TR=dataR[k]。 TI=dataI[k]。 temp=dataR[k+b]。dataR[k]=dataR[k]+dataR[k+b]*cos_tab[p]+dataI[k+b]*sin_tab[p]。dataI[k]=dataI[k]dataR[k+b]*sin_tab[p]+dataI[k+b]*cos_tab[p]。dataR[k+b]=TRdataR[k+b]*cos_tab[p]dataI[k+b]*sin_tab[p]。dataI[k+b]=TI+temp*sin_tab[p]dataI[k+b]*cos_tab[p]。} /* END for (3) */} /* END for (2) */} /* END for (1) */}3. 諧波分析系統(tǒng)的硬件電路設(shè)計(jì) 硬件電路的系統(tǒng)設(shè)計(jì)任務(wù)單片機(jī)諧波檢測系統(tǒng)設(shè)計(jì)任務(wù)是完成電力系統(tǒng)電壓信號的采集存儲(chǔ)，并在單片機(jī)內(nèi)部完成FFT計(jì)算并分析出電壓有效值和電壓的諧波含量，最后通過RS－232串口將結(jié)果上傳給上位機(jī)顯示，因此硬件電路主要由電源、復(fù)位、時(shí)鐘、A/D采集、信號預(yù)處理電路等幾部分組成。