【正文】 突然的發(fā)明，總會有一定的歷史背景與相應的知識積累，往往都是許多數(shù)學家經(jīng)過幾十年、甚至成百上千年的努力，才逐步提煉發(fā)展而成．變換群，就概念的提出歸功于伽羅瓦(Galois，1811—1832，法國)，但其思想的產(chǎn)生與發(fā)展，與其他重要數(shù)學概念一樣，歷經(jīng)了曲折與艱難，更由于其思想的超前而不能被當時數(shù)學家所認識．因此，考察變換群概念發(fā)展的歷史，認識變換群的研究方法在數(shù)學發(fā)展中的作用，具有一定現(xiàn)實意義．對于變換群，凱萊定理告訴我們，如果將所有變換群都研究清楚了，也就等于把所有群都研究清楚了，無論是否如此簡單，但至少從理論上知道變換群的重要性： 集合A的變換和表示形式、變換群的定義 定義1 設是一個非空集合，若是到的任一子映射那就稱是的一個變換（注：這個定義在第一章中曾出現(xiàn)過）.在表示形式方面，若，在變換的合成方面，尤其要注意：如果都是的變換，那么也顯然是的變換，并且這時要注意：應該是（而過去是寫成：在合成的表示形式上，要習慣這種改變.例1． 設｛１，２｝．現(xiàn)取出的幾個變換　　?。础。　　。础。　　。础。　　。础。┛梢钥闯觯堑娜孔儞Q．其中和是雙射．并且是恒等變換．習慣上記　　（或?。├美保梢該Q算一下它們的合成（乘積）：２；２２．　即　這表明　　同理知．利用是恒等變換．則?。ǎ@是因為　　并且又有． 定義２．設是一個非空集合，而是的恒等映射，那么，對的任一個變換，都有　設是一個非空集合，而的一些變換能否形成一個群呢？就以例1做比方。令：為的全部變換組成的集合。對于映射通常的乘積，能成為群嗎？能容易知道，肯定是一個motroid,那么“逆元”問題能解決嗎？ 事實上，： 而 這說明即不能成為群。（同理可知，也沒有逆元）上面的所以不能成為群，主要是和不是雙射（ 它們沒有逆元）因此，我們有定理1 設是的一些變換作成的集合，并且。定理2 設為非空集合，由的全部一一變換（雙射）必定能夠構(gòu)成的一個變換群. 變換群的研究方法凱萊定理凱萊定理：任何一個群都能同某個變換群同構(gòu).【證明】 設 是任意一個群,，利用,我們規(guī)定的一個變換,其中 ,這種變換是一個一一變換,事實上: 那么 是滿射. 若 且 是單射.其中每個這種變換都為一一變換.其次作,其中現(xiàn)須證是同構(gòu)映射. 是滿射: 則 ， 是的原象是滿射. 是單射: 如果 那么 有 ， 由消去律知 是單射 保運算:: 這說明 保運算于是知，而是群必是群.在數(shù)學和抽象代數(shù)中，群論研究名為群的代數(shù)結(jié)構(gòu)。群在抽象代數(shù)中具有基本的重要地位：許多代數(shù)結(jié)構(gòu)，包括環(huán)、域和模等可以看作是在群的基礎上添加新的運算和公理而形成的。群的概念在數(shù)學的許多分支都有出現(xiàn)，而且群論的研究方法也對抽象代數(shù)的其它分支有重要影響。群論的重要性還體現(xiàn)在物理學和化學的研究中，因為許多不同的物理結(jié)構(gòu)，如晶體結(jié)構(gòu)和氫原子結(jié)構(gòu)可以用群論方法來進行建模。于是群論和相關(guān)的群表示論在物理學和化學中有大量的應用關(guān)于變換群與其他學科的聯(lián)系，但是盡管如此，我也只能簡單的從以下方面淺談一下，對于變換群我們都知道的甚少，但是經(jīng)過我們對變換群長期的收集資料以及其他同學的幫助，這才使得我們有了一些簡單的收獲，現(xiàn)在我將一一對變換群在其他學科中的應用或聯(lián)系作一下匯報： 在數(shù)學中變換群起到了至關(guān)重要的角色，在很多數(shù)學問題中都有應用到變換群的知識，就比如說隨處都可見黎景輝于1990年2月在北京大學出版社出行的《二階矩陣群的表示與自首形式》。在甘肅科學技術(shù)情報研究所出版的《共軛變換和變換群發(fā)》、世界圖書出版公司出版的《微分幾何中的變換群》、《變換群與曲線?？臻g》、《變換群與李代數(shù)》等等，其實變換群在數(shù)學中的重要特點在于，一方面可以說它是一種非常具體的群，他的元素都具有明確的具體意義；另一方面，這種非常具體的群具有普遍的意義：它代表了一切可能的群。就比如說在《二階矩陣群的表示與自守形式》書中說到利用變換群可以解決在代數(shù)數(shù)域上的22矩陣群在無限維的Hilbert空間上的表示與自守形式,Eisenstein級數(shù)的解析延拓和函數(shù)方程,以及公式的證明等等。1872年克萊因任愛爾朗根大學哲學部教授時，發(fā)表了“關(guān)于近代幾何研究的比較觀察”的論文，在這篇論文中，克萊因把幾何定義為在某種變化群下，研究圖形的不變性與不變量的學科。在幾何里面最有用、要緊的是對稱性?？臻g對一個平面是反射對稱，平面對于直線是成所謂軸對稱。變換、變換群、變換幾何是研究初等幾何變換的理論基礎。在幾何中，把平面變到自身的映射稱作變換。在初等幾何中，主要研究點集G到其自身的一一變換。容易驗證合同變換具有以下性質(zhì)：⑴ 合同變換的逆變換還是合同變換；⑵合同變換的積仍是合同變換；⑶ 在合同變換下，共線點變?yōu)楣簿€點，共點線變?yōu)楣颤c線，射線變?yōu)樯渚€，角變?yōu)榻牵切稳宰優(yōu)槿切?，且對應角相等，因而對應的三角形全等。合同變換的主要形式為直線反射（軸對稱）、平移、旋轉(zhuǎn)（包括中心對稱）。一個對稱圖形的反射變換和次中心對稱變換統(tǒng)稱為對稱變換。一個對稱圖形的所有對稱變換組成的集合，關(guān)于對稱變換的乘積構(gòu)成可換群，稱為對稱群。準確到同構(gòu)，八階群只有五種，事實上，當群的階數(shù)等于一個素數(shù)n1的兩倍時，它只能是循環(huán)群或正n邊形對稱群。通過對抽象代數(shù)的學習使我們已經(jīng)認識到正方形的對稱變換可以作成一個8階的群，也找到了它的一個正規(guī)子群，左陪集和右陪集。現(xiàn)在的問題是能否構(gòu)造一個和這個群同構(gòu)的群，把幾何問題轉(zhuǎn)化為非幾何問題，比如利用矩陣等來加以解決，總之，在幾何中運用變換群來幫助解決幾何問題，使幾何得到了空前的又一次飛越。變換群不僅只是在幾何學中有較寬廣的發(fā)展空間，而且在物理學中也有著重要的地位，就比如說著名學者郁慶長在中國期刊中發(fā)表的《束流光學中的變換群理論》中討論到帶電粒子束在束流光學系統(tǒng)中運動時發(fā)射相圖與粒子分布函數(shù)的變換，研究了這些變換組成的各種群——束傳輸群（BT群）、相圖保持群（CP群）與分布保持群等。束流光學的基本問題問題通常課歸結(jié)為求一個變換的本征相圖與求能保持一個發(fā)射相圖形狀不變的變換這樣兩類問題。在束流光學中傳統(tǒng)的數(shù)學工具是微分方程和線性代數(shù)，在處理線性問題時這些工具是得心應手的，但是在研究非線性問題時卻遇到了一些困難，近年來人們對非線性力學的興趣日益增加。特別是由于超導加速器與強流束裝置的發(fā)展，非線性束流光學的研究變得更為重要，人們開始利用其它的數(shù)學工具來探索這方面的問題，其中Dragt提出的Lie代數(shù)方法和Berz提出的微分代數(shù)方法取得了引人注目的成就并運用于超大型對撞機的設計。1950年 Birkhoff提出了用代數(shù)方法來減少偏微分方程中自變量數(shù)目的方法,1951年 Michal給出在賦范線性空間(normedlinear sPaces)在連續(xù)變換群下的一般不變理論,并對任意偏微分方程組利用單參數(shù)變換群時,建立了獲得自變量和因變量的絕對不變量的一些定理以后,對于力學特別是流體力學中的某些偏微分方程在尋求相似性解時得到了應用。60年代以后,首先由 Lie應 用于偏微分方程中的無限小變換群在力學中也得到了應用. 我們在E33中曾給出了兩個自變量和一個因變量的偏微分方程應用無限小變換群時的例子,他們用兩個自變量和兩個因變量的非線性偏微分方程組在充限小變換群下的應用. 無限小變換群對于自變量為J,y,因變量為V的非線性偏微分方程組,從而在物理學中解決了當時人們的很多難題，以致物理學的發(fā)展得到了空前的飛越。在幾代物理的發(fā)展中群論