【正文】 性質(zhì)、相似三角形的判定和性質(zhì)等知識(shí) ,解題的關(guān)鍵是利用相似三 角形的相似比等于高的比 ,列出方程解決問(wèn)題 ,屬于中考?？碱}型 . B組 2022— 2022年全國(guó)中考題組 考點(diǎn)一 相似與位似 1.(2022四川成都 ,8,3分 )如圖 ,四邊形 ABCD和 A39。B39。C39。D39。是以點(diǎn) O為位似中心的位似圖形 ,若 OA∶ OA39。=2∶ 3,則四邊形 ABCD與四邊形 A39。B39。C39。D39。的面積比為 ? ( ) ? ∶ 9 ∶ 5 ∶ 3 D.? ∶ ? 2 3答案 A 由位似圖形的性質(zhì)知 ? =? =? ,所以 ? =? =? .故選 A. 39。39。AB 39。OA23 39。 39。 39。 39。ABC DA B C DSS 四 邊 形四 邊 形239。39。ABAB??????492.(2022甘肅蘭州 ,5,4分 )如圖 ,線(xiàn)段 CD兩個(gè)端點(diǎn)的坐標(biāo)分別為 C(1,2)、 D(2,0),以原點(diǎn)為位似中 心 ,將線(xiàn)段 CD放大得到線(xiàn)段 AB,若點(diǎn) B的坐標(biāo)為 (5,0),則點(diǎn) A的坐標(biāo)為 ? ( ) ? A.(2,5) B.(,5) C.(3,5) D.(3,6) 答案 B 設(shè)點(diǎn) A的坐標(biāo)為 (x,y),由位似圖形的性質(zhì)知 ,? =? =? ,得 x=,y=5,則點(diǎn) A的坐標(biāo)為 (2. 5,5).故選 B. 1x 2y 523.(2022遼寧沈陽(yáng) ,14,4分 )如圖 ,△ ABC與△ DEF位似 ,位似中心為點(diǎn) O,且△ ABC的面積等于△ DEF面積的 ? ,則 AB∶ DE= . ? 49答案 2∶ 3 解析 ∵ △ ABC與△ DEF位似 , ∴ △ ABC∽ △ DEF,∴ ? =? . ∵ S△ ABC=? S△ DEF,∴ ? =? . ∴ ? =? ,∴ ? =? (舍負(fù) ), 即 AB∶ DE=2∶ 3. ABCDEFSS 2ABDE??????49 ABCDEFSS 492ABDE??????49 ABDE23考點(diǎn)二 相似三角形的判定與性質(zhì) 1.(2022河北 ,7,3分 )若△ ABC的每條邊長(zhǎng)增加各自的 10%得△ A39。B39。C39。,則 ∠ B39。的度數(shù)與其對(duì)應(yīng)角 ∠ B的度數(shù)相比 ? ( ) 10% 10% (1+10%) 答案 D △ ABC的每條邊長(zhǎng)增加各自的 10%即變?yōu)樵瓉?lái)的 ,得到△ A39。B39。C39。,根據(jù)相似三角 形的判定方法可得△ ABC∽ △ A39。B39。C39。,所以 ∠ B39。=∠ B,故選 D. 2.(2022甘肅蘭州 ,13,4分 )如圖 ,小明為了測(cè)量一涼亭的高度 AB(頂端 A到水平地面 BD的距離 ),在 涼亭的旁邊放置一個(gè)與涼亭臺(tái)階 BC等高的平臺(tái) DE(DE=BC= ,A,C,B三點(diǎn)共線(xiàn) ),把一面鏡 子水平放置在平臺(tái)上的點(diǎn) G處 ,測(cè)得 CG=15米 ,然后沿著直線(xiàn) CG后退到點(diǎn) E處 ,這時(shí)恰好在鏡子 里看到?jīng)鐾さ捻敹?A,測(cè)得 GE=3米 ,小明身高 EF= ,則涼亭的高度 AB約為 ? ( ) ? 答案 A 由光線(xiàn)反射可知 ∠ AGC=∠ FGE,又 ∵∠ FEG=∠ ACG=90176。, ∴ △ FEG∽ △ ACG, ∴ FE∶ AC=EG∶ CG, ∴ ∶ AC=3∶ 15, ∴ AC=8米 . ∵ BC= , ∴ AB=AC+BC= . 解題關(guān)鍵 本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì) ,解答本題的關(guān)鍵是判定△ FEG與△ ACG相 似 . 3.(2022江蘇南京 ,3,2分 )如圖 ,在△ ABC中 ,DE∥ BC,? =? ,則下列結(jié)論中正確的是 ? ( ) ? ADDB12答案 C ∵ ? =? ,∴ ? =? ,∵ DE∥ BC,∴ △ ADE∽ △ ABC,∴ ? =? =? =? ,故選項(xiàng) A、 B錯(cuò)誤 。根據(jù)“相似三角形的周長(zhǎng)比等于相似比 ,面積比等于相似比的平方”可知選項(xiàng) C正確 , 選項(xiàng) D錯(cuò)誤 .故選 C. ADDB12ADAB 13AEAC DEBC ADAB 134.(2022江西 ,14,6分 )如圖 ,在△ ABC中 ,AB=8,BC=4,CA=6,CD∥ AB,BD是 ∠ ABC的平分線(xiàn) ,BD交 AC于點(diǎn) AE的長(zhǎng) . ? 解析 ∵ BD平分 ∠ ABC, ∴∠ ABD=∠ CBD. ∵ AB∥ CD,∴∠ ABD=∠ D,△ ABE∽ △ CDE. ∴∠ CBD=∠ D,? =? . ∴ BC=CD. ∵ AB=8,CA=6,CD=BC=4, ∴ ? =? ,∴ AE=4. ABCD AEEC84 6AEAE?思路分析 根據(jù)角平分線(xiàn)性質(zhì)和平行線(xiàn)的性質(zhì)求出 ∠ D=∠ CBD,進(jìn)而可得 BC=CD=4,通過(guò)△ ABE∽ △ CDE,得出含 AE的比例式 ,求出 AE的值 . 方法總結(jié) 證明三角形相似的常見(jiàn)方法 :平行于三角形的一邊的直線(xiàn)與其他兩邊或其延長(zhǎng)線(xiàn) 相交 ,所構(gòu)成的三角形與原三角形相似 ,相似的基本圖形可分別記為“ A”型和“ X”型 ,如圖 所示 .在應(yīng)用時(shí)要善于從復(fù)雜的圖形中抽象出這些基本圖形 . ? 5.(2022福建 ,20,8分 )求證 :相似三角形對(duì)應(yīng)邊上的中線(xiàn)之比等于相似比 . 要求 :① 根據(jù)給出的△ ABC及線(xiàn)段 A39。B39。,∠ A39。(∠ A39。=∠ A),以線(xiàn)段 A39。B39。為一邊 ,在給出的圖形上用尺 規(guī)作出△ A39。B39。C39。,使得△ A39。B39。C39。∽ △ ABC,不寫(xiě)作法 ,保留作圖痕跡 。 ② 在已有的圖形上畫(huà)出一組對(duì)應(yīng)中線(xiàn) ,并據(jù)此寫(xiě)出已知 ,求證和證明過(guò)程 . ? 解析 ①如圖 , ? △ A39。B39。C39。即為所求作的三角形 . ② 已知 :如圖 ,△ A39。B39。C39?！?△ ABC,? =? =? =k,AD=DB,A39。D39。=D39。B39。.求證 :? =k. ? 證明 :∵ AD=DB,A39。D39。=D39。B39。,∴ AD=? AB,A39。D39。=? A39。B39。, 39。39。ABAB 39。39。BCBC 39。39。ACAC 39。39。CDCD12 12∴ ? =? =? , 又 ? =? ,∴ ? =? , ∵ △ A39。B39。C39?！?△ ABC,∴∠ A39。=∠ A, ∴ △ C39。A39。D39?！?△ CAD,∴ ? =? =k. 39。39。ADAD 1 39。39。212ABAB39。39。ABAB39。39。ABAB 39。39。ACAC 39。39。ADAD 39。39。ACAC39。39。CDCD 39。39。ACAC解后反思 本題考查尺規(guī)作圖、相似三角形的性質(zhì)與判定等基礎(chǔ)知識(shí) ,考查推理能力、化歸 與轉(zhuǎn)化思想 . 6.(2022江蘇南京 ,20,8分 )如圖 ,△ ABC中 ,CD是邊 AB上的高 ,且 ? =? . (1)求證 :△ ACD∽ △ CBD。 (2)求 ∠ ACB的大小 . ? ADCD CDBD解析 (1)證明 :∵ CD是邊 AB上的高 , ∴∠ ADC=∠ CDB=90176。. 又 ∵ ? =? ,∴ △ ACD∽ △ CBD.? (4分 ) (2)∵ △ ACD∽ △ CBD,∴∠ A=∠ BCD. 在△ ACD中 ,∠ ADC=90176。, ∴∠ A+∠ ACD=90176。, ∴∠ BCD+∠ ACD=90176。, 即 ∠ ACB=90176。.? (8分 ) ADCD CDBDC組 教師專(zhuān)用題組 考點(diǎn)一 相似與位似 1.(2022河北 ,13,3分 )在研究相似問(wèn)題時(shí) ,甲、乙同學(xué)的觀(guān)點(diǎn)如下 : ? ? 對(duì)于兩人的觀(guān)點(diǎn) ,下列說(shuō)法正確的是 ? ( ) ,乙不對(duì) ,乙對(duì) 答案 A 由題意知新三角形與原三角形的對(duì)應(yīng)角相等 ,所以?xún)蓚€(gè)三角形相似 ,甲的觀(guān)點(diǎn)正確 。 因?yàn)樾戮匦闻c原矩形的對(duì)應(yīng)角相等 ,但對(duì)應(yīng)邊的比并不相等 ,所以新矩形與原矩形不相似 ,乙的 觀(guān)點(diǎn)也正確 ,故選 A. 2.(2022吉林 ,12,3分 )如圖 ,數(shù)學(xué)活動(dòng)小組為了測(cè)量學(xué)校旗桿 AB的高度 ,使用長(zhǎng)為 2 m的竹竿 CD 作為測(cè)量工具 .移動(dòng)竹竿 ,使竹竿頂端的影子與旗桿頂端的影子在地面 O處重合 ,測(cè)得 OD=4 m, BD=14 m,則旗桿 AB的高為 m. ? 答案 9 解析 ∵ OD=4 m,BD=14 m,∴ OB=18 m. 由題意知△ ODC∽ △ OBA,∴ ? =? ,即 ? =? ,得 AB=9 m. ODOB CDAB 4182AB3.(2022甘肅蘭州 ,17,4分 )如果 ? =? =? =k(b+d+f≠ 0),且 a+c+e=3(b+d+f),那么 k= . ab cd ef答案 3 解析 由題意得 a=bk,c=dk,e=fk,則 a+c+e=k(b+d+f)=3(b+d+f),故 k=3. 4.(2022天津 ,16,3分 )如圖 ,在△ ABC中 ,DE∥ BC,分別交 AB,AC于點(diǎn) D, AD=3,DB=2,BC=6,則 DE的長(zhǎng)為 . ? 答案 ? 185解析 ∵ DE∥ BC,∴ ? =? , ∴ ? =? ,∴ ? =? , ∴ DE=? . ADAB DEBCADAD BD? DEBC 332? 6DE185評(píng)析 本題考查了平行線(xiàn)分線(xiàn)段成比例定理 .由 DE∥ BC可得 ? =? ,從而可計(jì)算出 DE的長(zhǎng) . ADAB DEBC5.(2022寧夏 ,20,6分 )在平面直角坐標(biāo)系中 ,△ ABC的三個(gè)頂點(diǎn)坐標(biāo)分別為 A(2,4),B(3,2),C(6, 3). (1)畫(huà)出△ ABC關(guān)于 x軸對(duì)稱(chēng)的△ A1B1C1。 (2)以 M點(diǎn)為位似中心 ,在網(wǎng)格中畫(huà)出△ A1B1C1的位似圖形△ A2B2C2,使△ A2B2C2與△ A1B1C1的相 似比為 2∶ 1. ? 解析 (1)如圖所示 .? (3分 ) (2)如圖所示 . ? (6分 ) 考點(diǎn)二 相似三角形的判定與性質(zhì) 1.(2022湖南株洲 ,7,3分 )如圖 ,已知 AB、 CD、 EF都與 BD垂直 ,垂足分別是 B、 D、 F,且 AB=1,CD =3,那么 EF的長(zhǎng)是 ? ( ) ? A.? B.? C.? D.? 13 23 34 45答案 C ∵ AB、 CD、 EF都與 BD垂直 ,∴ AB∥ CD∥ EF, ∴ △ DEF∽ △ DAB,△ BEF∽ △ BCD, ∴ ? =? ,? =? , ∴ ? +? =? +? =? =1. ∵ AB=1,CD=3, ∴ ? +? =1,∴ EF=? . EFAB DFDBEFCDBFBDEFAB EFCDDFDB BFBD BD1EF 3EF 342.(2022云南 ,5,3分 )如圖 ,已知 AB∥ CD,若 ? =? ,則 ? = . ? ABCD14OAOC答案 ? 14解析 ∵ AB∥ CD,∴∠