【正文】 =DE,再根據(jù)等腰三角 形的性質得 ∠ BAE=∠ ABE,∠ DAE=∠ ADE,再利用三角形外角的性質求得 ∠ BED的度數(shù) ,進而 求得等腰三角形 BED的底角 ∠ EBD的度數(shù) . 方法規(guī)律 由于直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半 ,所以若問題中出現(xiàn)直角三角形斜 邊中點時 ,通常從斜邊上的中線 ,把直角三角形分成的兩個等腰三角形入手進行解答 . 7.(2022聊城 ,15,3分 )如圖 ,在△ ABC中 ,∠ C=90176。,∠ A=30176。,BD是 ∠ ABC的平分線 .若 AB=6,則點 D 到 AB的距離是 . ? 答案 ? 3解析 ∵∠ C=90176。,∠ A=30176。,∴∠ ABC=60176。,BC=3,∵ BD平分 ∠ ABC,∴∠ CBD=? ∠ ABC=30176。,由 題意知點 D到 AB的距離等于 DC的長 ,在 Rt△ BDC中 ,DC=BCtan∠ DBC=3? =? ,∴ 點 D到 AB 的距離等于 ? . 12 3333思路分析 根據(jù)角的平分線上的點到角的兩邊的距離相等 ,得到點 D到 AB的距離等于 DC,在 Rt △ BDC中 ,利用三角函數(shù)知識可以求出 DC. B組 2022— 2022年全國中考題組 考點一 等腰三角形 1.(2022福建 ,5,4分 )如圖 ,等邊三角形 ABC中 ,AD⊥ BC,垂足為 D,點 E在線段 AD上 ,∠ EBC=45176。, 則 ∠ ACE等于 ? ( ) ? 176。 176。 176。 176。 答案 A 由等邊三角形 ABC中 ,AD⊥ BC,垂足為點 D,可得 ∠ ACB=60176。,且點 D是 BC的中點 ,所 以 AD垂直平分 BC,所以 EC=EB,根據(jù)等邊對等角 ,得到 ∠ ECB=∠ EBC=45176。,故 ∠ ACE=∠ ACB∠ ECB=60176。45176。=15176。. 2.(2022浙江臺州 ,8,4分 )如圖 ,已知等腰三角形 ABC,AB=AC,若以點 B為圓心 ,BC長為半徑畫弧 , 交腰 AC于點 E,則下列結論一定正確的是 ? ( ) ? =EC =BE C.∠ EBC=∠ BAC D.∠ EBC=∠ ABE 答案 C ∵ △ ABC是等腰三角形 , AB=AC,∴∠ ABC=∠ ACB,又 ∵ BC=BE,∴∠ ACB=∠ BEC, ∴∠ BAC=∠ EBC,故選 C. 3.(2022湖北荊門 ,4,3分 )如圖 ,△ ABC中 ,AB=AC,AD是 ∠ BAC的平分線 ,已知 AB=5,AD=3,則 BC的 長為 ? ( ) ? 答案 C 因為 AB=AC,AD平分 ∠ BAC, 所以 AD⊥ BC,BD=CD, 所以 ∠ ADB=90176。,在 Rt△ ABD中 ,AB=5,AD=3, 所以 BD=? =4,所以 BC=2BD=8. 2253?4.(2022天津 ,17,3分 )如圖 ,在邊長為 4的等邊△ ABC中 ,D,E分別為 AB,BC的中點 ,EF⊥ AC于點 F, G為 EF的中點 ,連接 DG,則 DG的長為 . ? 答案 ? 192解析 連接 DE,在等邊△ ABC中 , ? ∵ D、 E分別是 AB、 BC的中點 , ∴ DE∥ AC,DE=EC=? AC=2, ∴∠ DEB=∠ C=60176。. ∵ EF⊥ AC,∴∠ EFC=90176。, ∴∠ FEC=30176。,EF=? , ∴∠ DEG=180176。60176。30176。=90176。. ∵ G是 EF的中點 ,∴ EG=? . 1 3 32∴ 在 Rt△ DEG中 ,DG=? =? =? . 22DE EG?22 32 2??? ????192思路分析 連接 DE,根據(jù)題意可得 DE∥ AC,又 EF⊥ AC,可得到 ∠ FEC的度數(shù) ,判斷出△ DEG是 直角三角形 ,再根據(jù)勾股定理即可求解 DG的長 . 疑難突破 本題主要依據(jù)等邊三角形的性質 ,勾股定理以及三角形中位線的性質定理求線段 DG的長 ,DG與圖中的線段無直接的關系 ,所以應根據(jù)條件連接 DE,構造直角三角形 ,運用勾股 定理求出 DG的長 . 5.(2022黑龍江綏化 ,20,3分 )在等腰△ ABC中 ,AD⊥ BC交直線 BC于點 D,若 AD=? BC,則△ ABC的 頂角的度數(shù)為 . 12答案 30176。或 150176。或 90176。 解析 ① BC為腰 , ∵ AD⊥ BC于點 D,AD=? BC, ∴ AD=? AC, ∴∠ ACD=30176。, 如圖 1,當 AD在△ ABC內部時 ,∠ C=30176。,即頂角的度數(shù)為 30176。 如圖 2,當 AD在△ ABC外部時 ,∠ ACB=180176。30176。=150176。,即頂角的度數(shù)為 150176。 ② BC為底 ,如圖 3, ∵ AD⊥ BC于點 D,AD=? BC, ∴ AD=BD=CD, ∴∠ B=∠ BAD,∠ C=∠ CAD, ∴∠ BAD+∠ CAD=? 180176。=90176。, ∴∠ BAC=90176。,即頂角的度數(shù)為 90176。. 綜上所述 ,等腰三角形 ABC的頂角度數(shù)為 30176。或 150176。或 90176。. 121212126.(2022吉林 ,20,7分 )圖①、圖②、圖③都是由邊長為 1的小等邊三角形構成的網格 ,每個小等 邊三角形的頂點稱為格點 .線段 AB的端點在格點上 . (1)在圖①、圖②中 ,以 AB為邊各畫一個等腰三角形 ,且第三個頂點在格點上 。(所畫圖形不全 等 ) (2)在圖③中 ,以 AB為邊畫一個平行四邊形 ,且另外兩個頂點在格點上 . ? 解析 (1)每畫對一個得 2分 .答案不唯一 ,以下答案供參考 . ? (4分 ) (2)畫對一個即可 .答案不唯一 ,以下答案供參考 . ? (7分 ) 考點二 直角三角形 1.(2022湖北黃岡 ,5,3分 )如圖 ,在 Rt△ ABC中 ,∠ ACB=90176。,CD為 AB邊上的高 ,CE為 AB邊上的中 線 ,AD=2,CE=5,則 CD=? ( ) ? ? 3答案 C 在 Rt△ ABC中 ,因為 CE為 AB邊上的中線 ,所以 AB=2CE=25=10,又 AD=2,所以 BD=8, 易證△ ACD∽ △ CBD,則 CD2=ADDB=28=16,所以 CD=4,故選 C. 2.(2022廣西百色 ,6,3分 )如圖 ,△ ABC中 ,∠ C=90176。,∠ A=30176。,AB=12,則 BC=? ( ) ? ? ? 3答案 A ∵∠ C=90176。,∠ A=30176。,AB=12,∴ BC=? AB=? 12= A. 121答案 B ∵∠ PAB=∠ PBC,∠ PBC+∠ ABP=90176。,∴∠ PAB+∠ ABP=90176。,∴∠ P=90176。.設 AB的中 點為 O,則 P在以 AB為直徑的圓上 .當點 O,P,C三點共線時 ,線段 CP最短 ,∵ OB=? AB=3,BC=4,∴ OC=? =5,又 OP=? AB=3,∴ 線段 CP長的最小值為 53=2,故選 B. 122234?123.(2022安徽 ,10,4分 )如圖 ,Rt△ ABC中 ,AB⊥ BC,AB=6,BC=△ ABC內部的一個動點 ,且滿足 ∠ PAB=∠ CP長的最小值為 ? ( ) ? A.? C.? D.? 32 8 1 3131 2 1 3134.(2022湖北黃岡 ,13,3分 )如圖 ,圓柱形玻璃杯高為 14 cm,底面周長為 32 cm,在杯內壁離杯底 5 cm的點 B處有一滴蜂蜜 ,此時一只螞蟻正好在杯外壁 ,離杯上沿 3 cm與蜂蜜相對的點 A處 ,則螞 蟻從外壁 A處到內壁 B處的最短距離為 cm(杯壁厚度不計 ). ? 答案 20 解析 如圖 ,將圓柱側面展開 ,延長 AC至 A39。,使 A39。C=AC,連接 A39。B,則線段 A39。B的長為螞蟻到蜂蜜的 最短距離 .過 B作 BB39?！?AD,垂足為 B39。.在 Rt△ A39。B39。B中 ,B39。B=16,A39。B39。=145+3=12,所以 A39。B= ? =? =20,即螞蟻從外壁 A處到內壁 B處的最短距離為 20 cm. ? 2239。 39。 39。B AB?226 12?5.(2022天津 ,18,3分 )如圖 ,在每個小正方形的邊長為 1的網格中 ,△ ABC的頂點 A,B,C均在格點 上 . (1)∠ ACB的大小為 176。 (2)在如圖所示的網格中 ,P是 BC邊上任意一點 ,以 A為中心 ,取旋轉角等于 ∠ BAC,把點 P逆時針 旋轉 ,點 P的對應點為 P39。,當 CP39。最短時 ,請用 無刻度 的直尺 ,畫出點 P39。,并簡要說明點 P39。的位置是如 何找到的 (不要求證明 ) . ? 答案 (1)90. (2)如圖 ,取格點 D,E,連接 DE交 AB于點 T。取格點 M,N,連接 MN交 BC延長線于點 G。取格點 F,連接 FG交 TC延長線于點 P39。,則點 P39。即為所求 . ? 解析 (1)∵ 每個小正方形的邊長為 1, ∴ AC=3? ,BC=4? ,AB=5? , ∵ (3? )2+(4? )2=50=(5? )2, ∴ AC2+BC2=AB2, ∴ △ ABC是直角三角形 ,且 ∠ ACB=90176。. (2)在射線 AC上取格點 F,使 AF=AB=5? ,則點 F為點 B的對應點 ,根據(jù)直線 BC的位置 ,取格 點 M,N,連接 MN交 BC的延長線于點 G,可求得 CG=? +? =? ,連接 GF,CF,易得△ ACB∽ △ GCF,則 GF所在直線即為 BC旋轉后對應邊所在直線 . 取格點 D,E,連接 DE交 AB于點 T,則點 T為線段 AB的中點 ,作直線 CT,所以 TC=TA,∠ ACT=∠ CAT, 記直線 CT交 FG于點 P39。,因為 ∠ P39。CF+∠ P39。FC=∠ ACT+∠ ABC=90176。,所以 ∠ FP39。C=90176。,即 CP39?！?FG, 所以點 P39。即為所求作的點 . 2222222 22322思路分析 (1)由勾股定理求得 AC,BC,AB的長 ,根據(jù)勾股定理的逆定理判斷出直角三角形 。(2)P 是 BC邊上任意一點 ,把△ ACB繞點 A逆時針旋轉 ,使旋轉角等于 ∠ BAC,那么點 P的對應點 P39。在 邊 CB旋轉后的對應邊上 ,當 CP39。垂直于 CB旋轉后的對應邊時 ,線段 CP39。最短 ,確定 CB旋轉后的對 應邊的位置 ,作出垂線 ,即可確定點 P39。的位置 . C組 教師專用題組 考點一 等腰三角形 1.(2022河北 ,8,3分 )已