海文考研鉆石卡系列--容易混淆的概念之?dāng)?shù)學(xué)三-文庫吧
2025-05-23 20:36 本頁面
【正文】 二：用泰勒公式原式。例9：求極限解：本題切忌將用等價(jià)代換，導(dǎo)致結(jié)果為1。七、函數(shù)連續(xù)性的判斷（1）設(shè)在間斷，在連續(xù)，則在間斷。而在可能連續(xù)。例10．設(shè)，則在間斷，在連續(xù)，在連續(xù)。若設(shè)，在間斷，但在均連續(xù)。（2）“在點(diǎn)連續(xù)”是“在點(diǎn)連續(xù)”的充分不必要條件。分析：由“若，則”可得“如果，則”，因此，在點(diǎn)連續(xù)，則在點(diǎn)連續(xù)。再由例10可得，在點(diǎn)連續(xù)并不能推出在點(diǎn)連續(xù)。（3）在連續(xù)，在連續(xù)，則在連續(xù)。其余結(jié)論均不一定成立。第二章 導(dǎo)數(shù)與微分一、函數(shù)可導(dǎo)性與連續(xù)性的關(guān)系可導(dǎo)必連續(xù)，連續(xù)不一定可導(dǎo)。例11．在連讀，在處不可導(dǎo)。二、與可導(dǎo)性的關(guān)系（1）設(shè)，在連續(xù)，則在可導(dǎo)是在可導(dǎo)的充要條件。（2）設(shè)，則是在可導(dǎo)的充要條件。三、一元函數(shù)可導(dǎo)函數(shù)與不可導(dǎo)函數(shù)乘積可導(dǎo)性的討論設(shè)，在連續(xù)，但不可導(dǎo)，又存在，則是在可導(dǎo)的充要條件。分析：若，由定義 反之，若存在，則必有。用反證法，假設(shè)，則由商的求導(dǎo)法則知在可導(dǎo)，與假設(shè)矛盾。利用上述結(jié)論，我們可以判斷函數(shù)中帶有絕對值函數(shù)的可導(dǎo)性。四、在某點(diǎn)存在左右導(dǎo)數(shù)時(shí)原函數(shù)的性質(zhì)（1）設(shè)在處存在左、右導(dǎo)數(shù)，若相等則在處可導(dǎo)；若不等，則在連續(xù)。（2）如果在內(nèi)連續(xù)，且設(shè)則在處必可導(dǎo)且。若沒有如果在內(nèi)連續(xù)的條件，即設(shè)，則得不到任何結(jié)論。例11．，顯然設(shè)，但，因此極限不存在，從而在處不連續(xù)不可導(dǎo)。第三章 微分中值定理與導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用一、若若，不妨設(shè)，則，再由微分中值定理同理，當(dāng)時(shí)，若，再由微分中值定理 同理可證時(shí)，必有第八章 多元函數(shù)微分法及其應(yīng)用1. ,使得當(dāng),且時(shí),有,那么成立了嗎?成立,與原來的極限差異只是描述動(dòng)點(diǎn)與定點(diǎn)的接近程度的方法不一樣,這里采用的是點(diǎn)的矩形鄰域, ,而不是常用的圓鄰域,事實(shí)上這兩種定義是等價(jià)的.2. 若上題條件中的條件略去,函數(shù)就在連續(xù)嗎?為什么? 如果條件沒有,說明有定義,并且包含在該點(diǎn)的任何鄰域內(nèi),由此對,都有,從而,因此我們得到,即函數(shù)在點(diǎn)連續(xù).3. 多元函數(shù)的極限計(jì)算可以用洛必塔法則嗎?為什么? 不可以,因?yàn)槁灞厮▌t的理論基礎(chǔ)是柯西中值定理. 偏導(dǎo)數(shù)1. 已知,求 令,那么解出,得,所以或者,偏導(dǎo)存在,可微之間的關(guān)系偏導(dǎo)數(shù), 連續(xù)Z可微 連續(xù) 極限存在偏導(dǎo)數(shù), 連續(xù)偏導(dǎo)數(shù), 存在2. 判斷二元函數(shù)在原點(diǎn)處是否可微.對于函數(shù),先計(jì)算兩個(gè)偏導(dǎo)數(shù):又令,則上式為因而在原點(diǎn)處可微.1. 設(shè),可微,求.1. 設(shè),都是由方程所確定的具有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)的函數(shù),證明.對于方程,具有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)且,則由方程可以確定函數(shù),即是,的函數(shù),而,是自變量,此時(shí)具有偏導(dǎo)數(shù),同
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