【正文】 輸入函數(shù)的分解（ 函數(shù)篩選性質(zhì)） )(xfx0 x1 x2 x3 x)(xf????????????????????????dxxfxfdxxfxfdxxfxfdxxfxfxxxxxxxxnn )()()(...)()()()()()()()()(221100????? 函數(shù)的位置用游動(dòng) 坐標(biāo) 描述 抽樣值 注： x是積分變量 是游動(dòng)坐標(biāo) )( ?? ?x???? ?? dxxxff )()()( ???? ??一般為了形式上的可觀性 一維函數(shù)分解 二維函數(shù)分解 ?? ?????? ???? ???????? dfxdfxxf )()()()()(??????? ddyxfyxf ),(),(),( ??? ? ????三、脈沖響應(yīng) 系統(tǒng)的輸入是簡(jiǎn)單的脈沖函數(shù)，則脈沖響應(yīng)是 輸出（什么是脈沖響應(yīng)） ①一唯輸入： 輸出： ②響應(yīng)與輸入的位置有關(guān) ()x?0( ,0)hxx()ix x? ?0 ix ix0( , )ih x x( ) ( )f x x??( ) { ( ) } { ( ) } ( , 0 )g x f x x h x? ? ?? ? ?( , ) { ( , ) }iih x x x x???③ 二維函數(shù)脈沖響應(yīng) ④說(shuō)明：脈沖響應(yīng)分布中心為集合象點(diǎn)位置 空間變系統(tǒng)的 與 不同，脈沖響應(yīng)與位置有關(guān)，為四維函數(shù) ( , 。 0 , 0 ) { ( , ) }h x y x y??? 分 布 以 原 點(diǎn) 為 中 心( , 。 , ) { ( , ) }h x y x y? ? ? ? ? ?? ? ?( , 。 0 , 0 )h x y ( , 。 , )h x y ??空間不變線性系統(tǒng) 輸出響應(yīng)與輸入位置坐標(biāo)無(wú)關(guān)離軸脈沖 響應(yīng)不變： 物面上任一點(diǎn)在像面上的脈沖響應(yīng)是唯一的 ( , ) ( , 。 , ) ,h x y h x y h??? 為 二 維 函 數(shù) 系統(tǒng)成像模型： （ 0， 0）00( , )xyx39。y物 面 像 面xy( , )h x yL00( , 。 , ) :h x y x y 線 性 變 系 統(tǒng)00( , )h x x y y?? ： 線 性 不 變 系 統(tǒng)四、輸出函數(shù)的求解 ①將 f（ x）分解為基元函數(shù)的迭加形式 ②基元函數(shù)的響應(yīng)：脈沖響應(yīng) 推廣至二維的線性系統(tǒng)的輸入輸出關(guān)系： 滿足迭加積分關(guān)系 ???? ?? ???? dxfxf )()()(由???????? dxhfdxfxg ),()(})()({)( ?? ?????? ???則? ????? ?????? ddyxhfyxg ),。,(),(),(( ) { ( ) }g x f x??③ 線性不變系統(tǒng)的輸入輸出關(guān)系：滿足卷積積 分關(guān)系 ( , ) ( , ) ( , ) ( , ) ( , )g x y f h x y d d f x y h x y? ? ? ? ? ????? ? ? ? ???( ) ( ) ( )g x f h x d? ? ???????④ 一般線性系統(tǒng) 必須知道 f(x)、 h(x)的解析表達(dá)式，但積分有時(shí) 比較難，因此只能給出簡(jiǎn)單特殊函數(shù)的運(yùn)算形式 例： rect(x) rect(x)rect(y) Circ(r) b(x) step(x) sgn(x) 一、階躍函數(shù)（開(kāi)關(guān)函數(shù)）：描述直邊（刀口）的透過(guò)率 1 x0 Step（ x） = 189。 x=0 0 x0 step(xx0),間斷點(diǎn)移到 x0處 x01()step x二、符號(hào)函數(shù)：描述某孔徑一半寬有 的位相差 1 x0 Sgn（ x） = 0 x=0 1 x0 Sgn(x)=2step(x)1 ?sgn( )x11?x0三、矩形函數(shù)（門(mén)函數(shù)）：表示狹縫、矩孔的透過(guò)率 1 |x|≤a/2 rect(x/a)= 0 其它 以原點(diǎn)為中心，寬為 a，高為 1 二維： rect(x/a)rect(y/b) ()xrect a2a?2a1x0四、三角函數(shù)：描述光瞳為矩形的非相干成像，系統(tǒng)的光學(xué)傳遞函數(shù)（ OTF） 1|x|/a |x|≤a tri(x/a)= 0 其它 a0,函數(shù)以原點(diǎn)為中心、底邊寬為 2a的三角形 二維： tri(x/a)tri(y/b) ()xtri aa? a0x1五、 Sinc函數(shù)：描述狹縫或矩孔的夫瑯和費(fèi)衍射 Sinc（ x/a） = ，零點(diǎn)在 x=177。 na （ n=177。 1,177。 2,… ） 二維： Sinc（ x/a） SinC（ y/b） si n( )xaxa??3a 2a a a 2a 3a x sin ( )xc a六、高斯函數(shù)：描述激光器發(fā)出的高斯光束 22222( ) e x p [ ( ) ]11 , ( ) e x p ( )( ) ( ) e x p { [ ( ) ( ) ] }( ) e x p ( )xxG a u saaa G a u s x xx y x yG a u s G a u sa b a bG a u s r r??????? ? ?? ? ???原 點(diǎn) 值 最 大 ， 曲 線 下 面 積 為二 維 ：極 坐 標(biāo) 下 ：1 x a a ()xG aus a七、圓域函數(shù)：描述圓孔的透過(guò)率 1 = 0 其它 極坐標(biāo) circ(r/r0) 220()xyc irc r?22 1xy??1 0 x y r0 220()xycirc r? 卷積 一、 定義 :線性不變系統(tǒng)的輸入輸出關(guān)系 一維輸出 二維輸出 應(yīng)用：相干成像：復(fù)振幅 Ut=U0＊ h(h為脈沖響應(yīng) ) 非相干成像：光強(qiáng) It=I0＊ hI (hI為點(diǎn)擴(kuò)散函數(shù) ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )g x f h x d f x h x? ? ????? ? ?? 簡(jiǎn) 寫(xiě)),(),(),(),(),( yxhyxfddyxhfyxg ????? ? ??????????二、一維簡(jiǎn)單函數(shù)的卷積運(yùn)算的圖解法 例： f(x)=rect(x1/2) h(x)= rect(x1/2) 求解卷積 1 f(x) x 1/2 1 1/2 x 1/2 1 h(x) 12( ) ( ) ( ) ( ) ( )g x f h x d f x h x? ? ????? ? ? ??求解步驟： ①換坐標(biāo)： ②位移： ③相乘：計(jì)算 的乘積曲線下的面積，得到了與 相應(yīng)的卷積 ： , ( ) ( )x h h? ? ????? ???? ?換 為 翻 轉(zhuǎn)折 疊0 0( ) ( )xh h x??? ????? ?位 移 量 為00xx為 正 ， 向 右 移為 負(fù) ， 向 左 移0( ) ( )f h x???0x 0g(x )f(α) 0()hx ??④ 逐點(diǎn)積分 ( ) ( ) ( ) ( ) ( )g x f h x d f x h x? ? ????? ? ? ??1/2 0 x g(x) 三、應(yīng)用：掃描 四、卷積的效應(yīng) 平滑化：被卷函數(shù)的細(xì)微結(jié)構(gòu)被消除，圓滑化，信息高頻分量丟失，有模糊效應(yīng) 底邊加寬：卷積寬度為被卷函數(shù)寬度之和 五、卷積運(yùn)算規(guī)律 六、脈沖函數(shù)的卷積 a x f(x)=rect(x/a) ?? 0(x+x ) ? 1(xx )1x0x()hxd 1 ()xco m bddh(x)=x 光柵寬為 d 光柵透過(guò)率 0x 1x( ) ( ) [ ]xg x r e c t d ???? 01( x + x ) + ( x x )1( ) ( ) ( )xxg x r e c t c o m bd d d?? 相關(guān) (correlation) 兩函數(shù)（或信號(hào)）相似程度 一、互相關(guān)（圖解時(shí)不需折疊，其它運(yùn)算與卷積一致） 定義 f(x) ☆ g(x)= 相關(guān)與卷積的關(guān)系 f(x) ☆ g(x)= 若 ， f(x) ☆ g(x)= 即 g(x)為實(shí)偶函數(shù) ?????? dxfdxf gg )()()()( ?? ??? ???? ? ???( ) ( )f x xg ???( ) ( )g x g x?? ( ) ( )f x g x??圖解法 x??????? 坐 標(biāo) 變 換為， 與 卷 積 不 一 樣不 需 翻 轉(zhuǎn) 、 折 疊00))( 2) ) )(3 )xfx??????????(1) 平 移 g ( g (相 乘 ( g (逐 點(diǎn) 積 分二、自相關(guān) 定義 特點(diǎn) ( , ) ( , ) ( , )( , ) ( , )ffr x y f f x y d df x y f x y? ? ? ? ? ??? ???? ? ????( 1 ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( 3 ) ( ) ( 0) ,ff ffff ff ffff ffr x r xr x r x r xr x r??????復(fù) 函 數(shù) 的 厄 米 性(2) 為 實(shí) 函 數(shù) 時(shí) ，模 在 原 點(diǎn) 最 大應(yīng)用 ① OTF：光學(xué)傳遞函數(shù) ②光學(xué)圖像目標(biāo)相關(guān)識(shí)別 周期函數(shù)的 Fourier分析 Fourier級(jí)數(shù) 正交完備系是可實(shí)現(xiàn)函數(shù)分解的基元函數(shù) 正交完備系： 余弦函數(shù)系 復(fù)指數(shù)函數(shù)系 ( 。 ) s i n 2( 。 ) c o s 2x f fxx f fx???