動(dòng)態(tài)優(yōu)化模型完整版-文庫(kù)吧
2025-04-14 05:05 本頁(yè)面
【正文】 t u t t? ? ( ) ( , ( ) , ( ) )x t f t x t u t? ?用拉格朗日乘子化為無(wú)條件極值 21( ( ) , ( ) ) [ ( , , ) ( ) ( ( , , ) ) ] dttI x t u t F t x u t f t x u x t? ?? ? ??),()(),(),( uxtftuxtFuxtH ???21( )dtt H x t? ????歐拉方程 d( ) ( ) 0dd( ) ( ) 0dxxuuH x H xtH x H xt????????? ? ? ???? ? ? ?( ) 00HtxHu?????????()0( , , )HtxHux f t x u??? ??????? ?由方程組和端點(diǎn)條件解出最優(yōu)控制 u(t)和最優(yōu)軌線 x(t). Hamilton函數(shù) 2 生產(chǎn)計(jì)劃的制訂 問(wèn)題 ? 生產(chǎn)任務(wù)是在一定時(shí)間內(nèi)提供一定數(shù)量的產(chǎn)品 . ? 生產(chǎn)費(fèi)用隨著生產(chǎn)率 (單位時(shí)間的產(chǎn)量 )的增加而變大 . ? 貯存費(fèi)用隨著已經(jīng)生產(chǎn)出來(lái)的產(chǎn)量的增加而變大 . ? 生產(chǎn)計(jì)劃用每一時(shí)刻的累積產(chǎn)量表示 . 建模目的 尋求 最優(yōu)生產(chǎn)計(jì)劃 , 使完成生產(chǎn)任務(wù)所需的總費(fèi)用(生產(chǎn)費(fèi)用與貯存費(fèi)用之和 )最小 . 分析與假設(shè) 生產(chǎn)任務(wù) : t=0開(kāi)始生產(chǎn) , t=T提供數(shù)量為 Q的產(chǎn)品 . 生產(chǎn)計(jì)劃 (累積產(chǎn)量 ): x(t) 生產(chǎn)率 (單位時(shí)間產(chǎn)量 ): ))(( txf ?ddf xx ??amp。生產(chǎn)費(fèi)用 貯存費(fèi)用 ))(( txg0( ( ) ) [ ( ( ) ) ( ( ) ) ] dTC x t f x t g x t t????總費(fèi)用 ? 生產(chǎn)率提高一個(gè)單位的生產(chǎn)費(fèi)用與生產(chǎn)率成正比 ? 貯存費(fèi)用與貯存量成正比 )())((2 txktxg ?21( ( ) ) ( )f x t k x t???)(tx?模型與求解 2120( ( ) ) [ ( ) ( ) ] dTC x t k x t k x t t???? QTxx ?? )(,0)0(求 x(t) (?0, 0?t?T)使 C(x(t))最小 . d 0dxxFFt??歐拉方程 212( ) ( )F k x t k x t???212 ( ) 0k k x t???? tTkTkQktkktx1221212444)(???考察 x(t)?0 (0?t?T) 的條件 t x Q T O 122 4/ kTkQ ?只有當(dāng)生產(chǎn)任務(wù) Q 足夠大時(shí)才需要從 t=0開(kāi)始生產(chǎn) . ,4/ 122 kTkQ ?若 怎么辦 ? ? (0) 0x? ?模型解釋 最優(yōu)生產(chǎn)計(jì)劃 tTk TkQktkktx1221212444)(???212 ( ) 0k k x t????滿足方程 221dd[ ( ( ) ) ]ddk k x ttx ?? ?21( ( ) ) ( )f x t k x t???dd()ddftx? ?)())(( 2 txktxg ?ddfx?~ 邊際成本 生產(chǎn)費(fèi)用 貯存費(fèi)用 2ddg kx ?~邊際貯存 最優(yōu)生產(chǎn)計(jì)劃在邊際成本的變化率等于邊際貯存時(shí)達(dá)到 . 生產(chǎn)計(jì)劃的制訂 ? 最優(yōu)生產(chǎn)計(jì)劃 的目標(biāo)函數(shù)只考慮生產(chǎn)費(fèi)用與貯存 費(fèi)用 , 并對(duì)這兩種費(fèi)用作了最簡(jiǎn)單的假設(shè) . ? 對(duì)于泛函極值問(wèn)題用古典變分法求解 , 得到 最優(yōu)生 產(chǎn)計(jì)劃 x(t)(累積產(chǎn)量 )為二次函數(shù) . ? 實(shí)際條件 x(t)?0 導(dǎo)致對(duì)已知參數(shù)的要求 : 122 4/ kTkQ ?? 對(duì)函數(shù)施加的閉約束 , 如對(duì)生產(chǎn)率的限制 可能導(dǎo)致 古典變分法的失敗 . ()A x t B???若參數(shù)不滿足該要求怎樣處理 ? 3 國(guó)民收入的增長(zhǎng) 背景和問(wèn)題 ? 國(guó)民經(jīng)濟(jì)收入的來(lái)源 : 擴(kuò)大再生產(chǎn)的積累 資金 , 滿足人民生活需要的消費(fèi)資金 . ? 如何安排積累資金和消費(fèi)資金的比例 ， 使國(guó)民經(jīng)濟(jì)收入得到最快的增長(zhǎng) . ? 從最優(yōu)控制的角度討論十分簡(jiǎn)化的模型 . 一般模型 ( ) ( , , ) ,x t f t x u? ?國(guó)民經(jīng)濟(jì)收入 x(t)，其中用于積累資金的部分 y(t), 求最優(yōu)積累率使國(guó)民收入 x(t)在時(shí)間 T內(nèi)增長(zhǎng)最快 . 積累率 u(t)=y(t)/x(t) )(m ax,)0( 0 Txxx ?),(1 uxtfH ???0 , 1( ) ( , , )( , , ) 0( ) ( , , )( 0 ) ( )xut f t x uf t x ux t f t x ux x x T x???? ???? ???國(guó)民收入增長(zhǎng)率 對(duì)偶等價(jià) ,)(,)0(),()( 10 xTxxxuxtftx ???? 0m i n ( ( )) dTJ u t t? ?泛函條件極值 哈密頓函數(shù) 求解最優(yōu)控制函數(shù) u(t)和最優(yōu)狀態(tài) x(t). 簡(jiǎn)化模型 ( ) / ( ) ( )x t x t u a b u? ??假設(shè) 討論函數(shù) f的具體、簡(jiǎn)化形式 0 , 1( ) ( )( 2 ) 0( ) ( )( 0 ) ( )t u a b ua b u x xx t u a b u xx x x T x???? ? ? ???? ????描述以上假設(shè)的最簡(jiǎn)模型 國(guó)民收入相對(duì)增長(zhǎng)率 ( ) / ( )x t x t?? 積累率 u較小時(shí) 隨 u的增加而增加 ~積累資金擴(kuò)大再生產(chǎn)的促進(jìn)作用 . ( ) / ( )x t x t?? 隨著 u的變大 的增加變慢 . ( ) / ( )x t x t?? u增加到一定程度后 反而減小 ~消費(fèi)資金太少對(duì)國(guó)民收入的制約作用 . ( ) / ( )x t x t?xbuauuxtf )(),( ??0 , 1( ) ( )( 2 ) 0( ) ( )( 0 ) ( )t u a b ua b u xx t u a b u xx x x T x???? ? ? ???? ????模型求解 0 , 1( ) ( , , )( , , ) 0( ) ( , , )( 0 ) ( )xut f t x uf t x ux t f t x ux x x T x???? ???? ???xbuauuxtftx)(),()(????對(duì)于最簡(jiǎn)模型 不必解泛函極值問(wèn)題 , 可以直接得到 u=a/2b時(shí) 最大 . ( ) ( )x t u a b u x? ??()xt?使國(guó)民收入 x(t)增長(zhǎng)最快的最優(yōu)積累率是常數(shù) u=a/2
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