【正文】 簡單算術(shù)平均數(shù)）或xiχfi=0（對于加權(quán)算術(shù)平均數(shù)）；，即Xix2=最小值或Xix2≤Xix0∧2,只有當(dāng)x=x0時(shí)，等號(hào)成立。算術(shù)平均數(shù)優(yōu)缺點(diǎn)： 優(yōu)：，算術(shù)平均數(shù)與變量值之乘積等于總體標(biāo)志總量（變量值總和）；，算術(shù)平均數(shù)在數(shù)理上具有無偏性與有效性（方差最小性）； 局限性：（特大或特小值）影響； ，由于組中值具有假定性而使得計(jì)算結(jié)果只是一個(gè)近似值，尤其是當(dāng)組距數(shù)列存在開口組時(shí)，算術(shù)平均數(shù)的準(zhǔn)確性會(huì)更差。調(diào)和平均數(shù)：是平均數(shù)的一種，是變量值的倒數(shù)的算術(shù)平均數(shù)。分為簡單調(diào)和平均數(shù)和加權(quán)調(diào)和平均數(shù)。 簡單調(diào)和平均數(shù)：當(dāng)各組的標(biāo)志總量相等時(shí)，所計(jì)算的調(diào)和平均數(shù)稱為簡單調(diào)和平均數(shù)；設(shè)總體分為k組，每個(gè)組的標(biāo)志總量都為km。H=kmmx1+…mXk=ki=1k1Xi（可簡記為H=k1xi） 加權(quán)調(diào)和平均數(shù)：當(dāng)各組標(biāo)志總量不相等時(shí)，所計(jì)算的調(diào)和平均數(shù)要以各組的標(biāo)志總量為權(quán)數(shù)，其結(jié)果為加權(quán)調(diào)和平均數(shù)。H=m1+…+mkm1x1+…mkxk=i=1kmii=1kmixi（可簡記為H=mimixi）簡單和加權(quán)調(diào)和平均數(shù)的聯(lián)系和區(qū)別：區(qū)別在于計(jì)算過程中應(yīng)用的數(shù)據(jù)條件的不同前者以各組頻數(shù)為權(quán)數(shù)，后者以各組標(biāo)志總量為權(quán)數(shù)，但它們都符合總體標(biāo)志總量與總體總頻數(shù)的對比關(guān)系，事實(shí)上，兩者是可以相互變通的。對于同一現(xiàn)象，無論用加權(quán)或是簡單調(diào)和平均數(shù)，計(jì)算結(jié)果是相等的，無非是因數(shù)據(jù)條件不同采用了不同的計(jì)算形式。由相對數(shù)或平均數(shù)計(jì)算平均數(shù) 不論是用加權(quán)算術(shù)平均數(shù)公式還是加權(quán)調(diào)和平均數(shù)，都要從相對數(shù)或平均數(shù)指標(biāo)本身的經(jīng)濟(jì)含義出發(fā)來計(jì)算，這是一個(gè)很重要的原則。幾何平均數(shù)：是計(jì)算平均比率或平均速度常用的一種方法。分為簡單幾何平均數(shù)和加權(quán)幾何平均數(shù)。 簡單幾何平均數(shù)：就是變量的n個(gè)變量值連乘積的n次方根。G=…xn=nk=1nAk（可簡記為G=n∏xi） 加權(quán)調(diào)和平均數(shù)：當(dāng)計(jì)算幾何平均數(shù)的各種變量值出現(xiàn)的次數(shù)不等，即數(shù)據(jù)經(jīng)過了統(tǒng)計(jì)分組時(shí)，則應(yīng)采用加權(quán)幾何平均數(shù)。G=i=1kfix1f1…xkfk=i=1kfii=1kXifi（可簡記為G=i=1kfiXif?）算術(shù)、調(diào)和、幾何平均數(shù)的數(shù)學(xué)關(guān)系：單從數(shù)學(xué)意義上說三者大小關(guān)系為：H=G=x位置平均數(shù) 中位數(shù)：變量的所有變量值按定徐尺度排序后，處于中間位置的變量值，由于處于中間位置，可以用來代表變量值的一般水平，可以預(yù)測定量變量的集中趨勢，也可測定定序變量的集中趨勢，但不適用于定類變量。 中位數(shù)確定： x（n+12）, n為奇數(shù) me= 12 x（n2）+x（n+12） ，n為偶數(shù) 按組距數(shù)列來計(jì)算中位數(shù)，首先要計(jì)算各組的累計(jì)頻數(shù)，然后找出中位數(shù)所在的位置，即累計(jì)次數(shù)大于或等于f2的組，(嚴(yán)格上講是f+12,簡化起見取f2)。 下限公式：me=L+fi2SMe1fmed（L為中位數(shù)所在組的下限，fme為中位數(shù)所在組的頻數(shù)，sMe1為向上累計(jì)至中位數(shù)所在組下一組止的累計(jì)頻數(shù)，d為中位數(shù)所在組的組距。） 上限公式： me=Ufi2sme+1fmed U位中位數(shù)所在組的上限，sme+1為向下累計(jì)之中位數(shù)所在組上一組的累計(jì)頻數(shù)。 中位數(shù)優(yōu)缺點(diǎn)： 優(yōu)：，概念比較清晰； ； ，對中位數(shù)無影響 ，不能計(jì)算數(shù)值平均數(shù)而可以確定中位數(shù)。 局限性：； ，其他數(shù)值的變化都不對中位數(shù)產(chǎn)生影響，因此中位數(shù)的靈敏度較低。分位數(shù)：以四分位數(shù)為例，分為第一、第二和第三四分位數(shù)，分別為QL,QM,：n+14,2（n+1）4,3（n+1）。眾數(shù)：是變量數(shù)列中出現(xiàn)次數(shù)最多、頻率最高的變量值。 眾數(shù)的確定：。 ，先要找出頻數(shù)最多的一組作為眾數(shù)組，然后運(yùn)用下列公式來確定眾數(shù)：下限公式：m0=L+?1?1+?2d 式中?1為眾數(shù)組頻數(shù)與上一組從左往右頻數(shù)之差，?2為眾數(shù)組頻數(shù)與下一組頻數(shù)之差，L d含義與中位數(shù)公式中一樣。上限公式：m0=U?2?1+?2dU位眾數(shù)組的上限眾數(shù)特點(diǎn)：1. 不受數(shù)列中特殊值的影響，表示某些現(xiàn)象的一般水平會(huì)具有較好的代表性；2. 具有較廣的應(yīng)用面，可用于測定任何變量的集中趨勢；3. 眾數(shù)只有在總頻數(shù)充分多且某一組的頻數(shù)明顯高于其他組時(shí)才有意義，若各組的頻數(shù)相差不多，則不能確定頻數(shù)；4. 有時(shí)一個(gè)數(shù)列會(huì)有兩個(gè)組的頻數(shù)明顯最多，這就會(huì)有兩個(gè)眾數(shù)，該數(shù)列屬于雙眾數(shù)數(shù)列。中位數(shù)、眾數(shù)和算術(shù)平均數(shù)的關(guān)系：1. 在變量分布完全對稱（正態(tài)分布）時(shí)，中位數(shù)、眾數(shù)和算術(shù)平均數(shù)三者完全相同，即x=me=m02. 在變量分布不對稱（偏態(tài)分布）時(shí)，中位數(shù)、眾數(shù)和算術(shù)平均數(shù)三者之間存在著差異。當(dāng)算術(shù)平均數(shù)受極大值一端影響較大時(shí)，變量分布向右偏（右邊更低），三者關(guān)系為m0mex；當(dāng)算術(shù)平均數(shù)受極小值一端影響較大時(shí)，變量分布向左偏（左邊更低），三者關(guān)系為xmem0離散指標(biāo)：反應(yīng)變量值變動(dòng)范圍和差異程度的指標(biāo)，即反映變量分布中各變量值遠(yuǎn)離中心值或代表值程度的指標(biāo)（反映變量分布的離中趨勢）。 作用：1. 可以用來衡量和比較平均數(shù)的代表性；2. 可以用來反映各種線下活動(dòng)過程的均衡性、節(jié)奏性或穩(wěn)定性；3. 為統(tǒng)計(jì)推斷提供依據(jù)。離散指標(biāo)的測度： 全距：變量的最大值（xmax）與最小值（xmin）之差，也叫極差，表明變量的最大變動(dòng)范圍或絕對幅度。通常用R表示，即R=xmaxxmin四分位差：是四分位數(shù)中第三個(gè)四分位數(shù)與第一個(gè)四分位數(shù)之差，也稱內(nèi)聚或四分位間距，通常用Qd表示，即Qd=QUQLS四分位差通常與中位數(shù)結(jié)合，用以表明變量分布中間50%數(shù)值的離散程度，其值越大（?。砻髯兞恐虚g數(shù)值的分布越集中（離散），中位數(shù)的代表性越好（越差）。異眾比率：是分布數(shù)列中非眾數(shù)組的頻數(shù)與總頻數(shù)的比值，通常用Vr來表示，即Vr=fifmofi=1fmofifmo為眾數(shù)組的頻數(shù)。平均差：是變量的各變量值與算術(shù)平均數(shù)離差絕對值的算術(shù)平均數(shù)，表明各變量值與算術(shù)平均數(shù)的平均差距。，即A. D=i=1n|xix|n（根據(jù)為分局?jǐn)?shù)據(jù)，=|xix|n）或A. D=i=1k|xix|fii=1kfi（根據(jù)變量數(shù)列，=|xix|fifi）平均差由于利用全部數(shù)據(jù)信息，因而比全距、四分位差等更能比較客觀反映變量分布的離散程度。平均差越大，離散程度越大；平均差越小，離散程度越小。但每一個(gè)離差都取了絕對值，數(shù)學(xué)處理不方便，數(shù)學(xué)性質(zhì)不是最優(yōu)，也有局限性。方差和標(biāo)準(zhǔn)差： 方差：各變量值與均值的離差平方的算術(shù)平均數(shù)，標(biāo)準(zhǔn)差則是方差的平方根。計(jì)算公式：s2=i=1n（xix）^2n1（根據(jù)未分組數(shù)據(jù)，可簡記為s2=i=1n（xix）2n1）或s2=i=1k（xix）2fii=1kfi1（可簡記為s2=（xix）2fifi1）方差和標(biāo)準(zhǔn)差利用了全部數(shù)據(jù)信息，因而能準(zhǔn)確反映變量分布的離散程度。方差或標(biāo)準(zhǔn)差越大，表示變量分布離散程度越大；反之，越小。標(biāo)準(zhǔn)差和平均差相比，不僅具有平均差的優(yōu)點(diǎn)，而且彌補(bǔ)了平均差的不足，意義比平均差明確。方差和標(biāo)準(zhǔn)差的性質(zhì)：1. 常數(shù)的方差為零。假設(shè)常數(shù)為a .常數(shù)的方差sa2,則sa2=02. 若y=a+bx，a、b為常數(shù)，則y的方差sy2與x的方差sx2之間的關(guān)系為sa2=b2sx2。3. 標(biāo)準(zhǔn)差s是計(jì)算標(biāo)準(zhǔn)化值的依據(jù)。假設(shè)變量的標(biāo)準(zhǔn)化統(tǒng)計(jì)量用Z表示，標(biāo)準(zhǔn)化值用zi表示，則z=xixs.（Z服從均值為零，標(biāo)標(biāo)準(zhǔn)差為1的標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布，是無量綱。通過計(jì)算標(biāo)準(zhǔn)化值可以使處于不用均值水平、不同計(jì)量單位的變量值之間的比較成為可能，使比較的對象找到統(tǒng)一標(biāo)準(zhǔn)的相對位置。）離散系數(shù)：也叫離散系數(shù)變異系數(shù)或標(biāo)準(zhǔn)差系數(shù)，是變量的標(biāo)準(zhǔn)差與均值之比，通常用VS來表示，即vs=sx。離散系數(shù)越大，說明變量分布的離散程度越強(qiáng)，平均數(shù)的代表性越差；離散系數(shù)越小，說明變量分布的離散程度越弱，平均數(shù)的代表性越好。偏度系數(shù)：可以告訴我們變量分布是左偏還是右偏，受低端變量值影響大還是受高端變量值影響大。1. 利用算術(shù)平均數(shù)與眾數(shù)或中位數(shù)求離差偏度系數(shù)sk（1）=xmos變動(dòng)范圍為（3,3），當(dāng)為正值時(shí)，變量分布正偏，當(dāng)為負(fù)值時(shí)，變量分布負(fù)偏。等于零時(shí)，變量分布屬于無偏（正態(tài)分布）。其值的絕對值月接近3，表明變量分布的偏斜程度越嚴(yán)重，越接近零，表明變量分布的偏斜程度越輕微。2. 利用四分位數(shù)求sk2=QL+QU2meQUQL取值范圍為（1,1），其值的絕對值越接近1，表明變量分布的偏斜程度越嚴(yán)重，值的絕對值越接近零，表明變量分布的偏斜程度越輕微。3. 利用動(dòng)差法求（最常用）令常數(shù)a為變量分布的中心，則所有的變量值與a值之差的t次方的算術(shù)平均數(shù)就稱為變量x關(guān)于a的t階動(dòng)差，即T階動(dòng)差=i=1n（xia）tn（根據(jù)未分組數(shù)據(jù)，可簡記為t階動(dòng)差=（xia）tn）或T階動(dòng)差=i=1k（xia）tfii=1kfi（根據(jù)變量數(shù)列，可簡記為t階動(dòng)差=（xia）tfifi）當(dāng)a=0時(shí)，t階動(dòng)差稱為t階原點(diǎn)動(dòng)差，若以Mi表示，則一階原點(diǎn)動(dòng)差為：Mi=xin或Mi=xififi ，即算術(shù)平均數(shù)。二階原點(diǎn)動(dòng)差以此類推當(dāng)a=x時(shí)，t階動(dòng)差稱為t階中心動(dòng)差，若以mi表示，則一階中心動(dòng)差為：m1=（xix）1n或m1=（xix）1fifi；二階中心動(dòng)差以此類推很顯然，一階中心動(dòng)差m1=0,偶數(shù)階中心動(dòng)差恒為正（其中二階中心動(dòng)差就是方差，即m2=s2）而三階以上的奇數(shù)階中心動(dòng)差可正可負(fù)。當(dāng)m3=0時(shí)，表示變量分布無偏；當(dāng)m30時(shí)，表示變量分布是正偏，當(dāng)m30時(shí)，表示變量分布是負(fù)偏。將m3與標(biāo)準(zhǔn)差的立方s3對比，便得到動(dòng)差法的偏度系數(shù)，即sk（3）=m3s3當(dāng)sk（3）0時(shí)，表示變量分布正偏；若sk（3）0,表示變量分布負(fù)偏；當(dāng)sk（3）=0，表示變量分布兩邊對稱，無偏。sk（3）的絕對值越接近零，表示變量分布的偏度越輕微；反之，偏度越嚴(yán)重。峰度系數(shù)：可以告訴我們根不是尖陡還是扁平，即頻數(shù)（頻率）分布絕大部分集中于眾數(shù)附近還是各變量值的頻數(shù)（頻率）相差不大（如果各變量值的頻數(shù)或頻率相等，則分布呈一條直線，無峰頂可言）。計(jì)算：主要通過動(dòng)差法，是四階中心動(dòng)差與標(biāo)準(zhǔn)差四次方s4相比的結(jié)果，即K=m4s4峰度系數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)值為3。當(dāng)K=3時(shí)，變量分布的峰度為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)峰度；當(dāng)K3時(shí)，變量分布的峰度為平頂峰度；當(dāng)K3時(shí)，變量分布的峰度為尖頂峰度。更進(jìn)一步，變量分布曲線就趨向于一條水平線，表示各組分配的頻數(shù)接近于相同。，則變量分布曲線為“U”形曲線，表示變量分布的頻數(shù)分配是“中間少，兩頭多”。第七章 相關(guān)回歸分析現(xiàn)象之間的數(shù)量關(guān)系，大致可以分為兩種不同的類型：函數(shù)關(guān)系和統(tǒng)計(jì)相關(guān)關(guān)系。函數(shù)關(guān)系指現(xiàn)象之間的確定性的數(shù)量依存關(guān)系。（兩個(gè)變量x與y之間的函數(shù)關(guān)系一般可以表示為y=f(x)）。相關(guān)關(guān)系：也稱統(tǒng)計(jì)相關(guān)，是指現(xiàn)象之間存在的非確定性的數(shù)量依存關(guān)系。數(shù)學(xué)一般形式：y=f（x）+a，其中a