【正文】 β)－α］． ∴sin(α+β)cosα+cos(α+β)sinα=－2sin(α+β)cosα+2cos(α+β)sinα． 若cos(α+β)≠0 ，cosα≠0，則3tan(α+β)=tanα． 點評 審題中要仔細(xì)分析角與角之間的關(guān)系，善于運用整體思想解題，此題中將α+β看成一個整體 【知能集成】 審題中，要善于觀察已知式和欲求式的差異，注意角之間的關(guān)系；整體思想是三角變換中常用的思想． 【訓(xùn)練反饋】 1．已知0＜α＜＜β＜π，sinα=，cos(α+β)=－，則sinβ等于 （ ） A．0 B．0或 C． D．0或－2． 的值等于 （ ） A．2+ B． C．2－ D． 3． △ABC中，3sinA+4cosB=6，4sinB+3cosA=1，則∠C的大小為 （ ） A． B． C． 或 D． 或4．若α是銳角，且sin(α－)= ，則cosα的值是 ． 5．coscoscos = ． 6．已知tanθ=，tanφ=，且θ、φ都是銳角．求證：θ+φ=45176。． 7．已知cos(α－β)=－，cos(α+β)= ，且（α－β）∈（，π），α+β∈（，2π），求cos2α、cos2β的值． 8． 已知sin(α+β)= ，且sin(π+α－β)= ，求． 第4課 兩角和與兩角差的三角函數(shù)（二） 【考點指津】 掌握兩角和與兩角差的正弦、余弦、正切公式；掌握二倍角的正弦、余弦、正切公式；能靈活運用和角、差角、倍角公式解題．【知識在線】 求下列各式的值 1．cos200176。cos80176。+cos110176。cos10176。= ． 2．（cos15176。+sin15176。）= ． 3．化簡1+2cos2θ－cos2θ= ． 4．cos(20176。+x)cos(25176。－x)－cos(70176。－x)sin(25176。－x)= ． 5．－ = ．【講練平臺】 例1 求下列各式的值 （1）tan10176。＋tan50176。+ tan10176。tan50176。； (2) ． (1)解 原式=tan(10176。+50176。)（1－tan10176。tan50176。）+tan10176。tan50176。=． （2）分析 式中含有多個函數(shù)名稱，故需減少函數(shù)名稱的個數(shù)，進(jìn)行切割化弦． 解 原式= === 點評 （1）要注意公式的變形運用和逆向運用，注意公式tanA+tanB=tan(A+B)（1－tanAtanB），asinx+bsinx=sin(x+φ)的運用；（2）在三角變換中，切割化弦是常用的變換方法． 例2 求證= ．分析 三角恒等式的證明可從一邊開始，證得它等于另一邊；也可以分別從兩邊開始，證得都等于同一個式子；還可以先證得另一等式，從而推出需要證明的等式． 由欲證的等式可知，可先證等式=，此式的右邊等于tan2θ，而此式的左邊出現(xiàn)了“1－cos4θ”和“1+cos4θ”，分別運用升冪公式可出現(xiàn)角2θ，sin4θ用倍角公式可出現(xiàn)角2θ，從而等式可望得證． 證略 點評 注意倍角公式cos2α=2cos2α－1，cos2α=1－2sin2α的變形公式：①升冪公式1+cos2α=2cos 2α，1－cos2α=2sin2α，②降冪公式sin2α= ，cos2α= 的運用；三角恒等式證明的方法：從一邊推得另一邊；左右歸一，先證其等價等于等式；分析法等． 例3 已知cos(+x)= ，＜x＜ ，求的值． 解 原式= =sin2x =sin2xtan（+x）= －cos［2(x+)］tan(x+)= －［2cos2(x+ )－1］tan（+x） ∵＜x＜ ， ∴ ＜x+＜2π． ∴sin(+x) = － ，∴tan（+x ）=－ ． ∴原式 = － ． 點評 （1）注意兩角和公式的逆用；（2）注意特殊角與其三角函數(shù)值的關(guān)系，如1=tan 等；（3）注意化同角，將所求式中的角x轉(zhuǎn)化成已知條件中的角x+ ． 【知能集成】 在三角變換中，要注意三角公式的逆用和變形運用，特別要注意如下公式： tanA+tanB=tan(A+B)［1－tanAtanB］； asinx+bcosx=sin(x+φ)及升冪、降冪公式的運用． 【訓(xùn)練反饋】 1．cos75176。+cos15176。的值等于 （ ） A． B － C． － D． 2．a(chǎn)=（sin17176。+cos17176。），b=2cos213176。－1，c= ，則 （ ） A．c＜a＜b B． b＜c＜a C． a＜b＜c D． b＜a＜c 3．化簡= ． 4．化簡sin(2α+β)－2sinαcos(α+β)= ． 5．在△ABC中，已知A、B、C成等差數(shù)列，則tan+tan+tantan的值為 ． 6．化簡sin2A+sin2B+2sinAsinBcos(A+B)． 7 化簡sin50176。(1+tan10176。)． 8 已知sin(α+β)=1，求證：sin(2α+β)+sin(2α+3β)=0． 第5課 三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)（一） 【考點指津】 了解正弦函數(shù)、余弦函數(shù)、正切函數(shù)的圖象和性質(zhì)，能運用數(shù)形結(jié)合的思想解決問題，能討論較復(fù)雜的三角函數(shù)的性質(zhì)． 【知識在線】 1．若+2cosx＜0，則x的范圍是 ． 2．下列各區(qū)間，使函數(shù)y=sin(x+π)的單調(diào)遞增的區(qū)間是 （ ） A．[，π] B． ［0，］ C． ［－π，0］ D． [，]3．下列函數(shù)中，周期為的偶函數(shù)是 （ ） A．y=sin4x B． y=cos22x－sin22x C． y=tan2x D． y=cos2x4．判斷下列函數(shù)的奇偶性 （1）y=xsinx+x2cos2x是 函數(shù)； （2）y=｜sin2x｜－xcotx是 函數(shù)； （3）y=sin(+3x)是 函數(shù)． 5．函數(shù)f(x)=cos(3x+φ)是奇函數(shù)，則φ的值為 ． 【講練平臺】 例1 （1）函數(shù)y=的定義域為 (2)若α、β為銳角，sinα＜cosβ，則α、β滿足 （C） A．α＞β B．α＜β C．α+β＜ D． α+β＞ 分析 （1）函數(shù)的定義域為 (*) 的解集，由于y=tanx的最小正周期為π，y=sinx的最小正周期為2π， 所以原函數(shù)的周期為2π，應(yīng)結(jié)合三角函數(shù)y=tanx和y=sinx的圖象先求出(－， )上滿足（*）的x的范圍，再據(jù)周期性易得所求定義域為{x｜2kπ－＜x＜2kπ+ ，或2kπ+ ＜ x＜2kπ+ ，k∈Z} ． 分析（2）sinα、cosβ不同名，故將不同名函數(shù)轉(zhuǎn)化成同名函數(shù)， cosβ轉(zhuǎn)化成sin( －β)，運用y=sinx在［0，］的單調(diào)性，便知答案為C． 點評 （1）討論周期函數(shù)的問題，可先討論一個周期內(nèi)的情況，然后將其推廣；（2）解三角不等式，要注意三角函數(shù)圖象的運用；（3）注意運用三角函數(shù)的單調(diào)性比較三角函數(shù)值的大?。? 例2 判斷下列函數(shù)的奇偶性：(1)y= ； (2)y= 分析 討論函數(shù)的奇偶性，需首先考慮函數(shù)的定義域是否關(guān)于原點對稱，然后考f(－x)是否等于f(x)或－f(x) ． 解 （1）定義域關(guān)于原點對稱，分子上為奇函數(shù)的差，又因為1+cosx=2cos2 ，所以分母為偶函數(shù)，所以原函數(shù)是奇函數(shù)． （2）定義域不關(guān)于原點對稱（如x=－，但x≠），故不是奇函數(shù)，也不是偶函數(shù)． 點評 將函數(shù)式化簡變形，有利于判斷函數(shù)的奇偶性． 例3 求下列函數(shù)的最小正周期： （1）y=sin(2x－)sin(2x+ ) ；(2)y= 分析 對形如y=Asin(ωx+φ)、y=Acos(ωx+φ)和y=Atan(ωx+φ)的函數(shù)，易求出其周期，所以需將原函數(shù)式進(jìn)行化簡． 解 （1）y=sin(2x－)sin(2x+ －)= sin(4x－)， 所以最小正周期為 = ． （2）y== =∴是小正周期為． 點評 求復(fù)雜函數(shù)的周期，往往需先化簡，其化簡的目標(biāo)是轉(zhuǎn)化成y=Asin(ωx+φ)＋k或y=Acos(ωx+φ) ＋k或y=Atan(ωx+φ) ＋k的形式（其中A、ω、φ、k 為常數(shù)，ω≠0）． 例4 已知函數(shù)f(x)=5sinxcosx－5cos2x+ (x∈R) ． (1)求f(x)的單調(diào)增區(qū)間； （2）求f(x)圖象的對稱軸、對稱中心． 分析 函數(shù)表達(dá)式較復(fù)雜，需先化簡． 解 f(x)= sin2x－5＋ =5sin(2x－)． （1）由2kπ－≤2x－≤2kπ+，得［kπ－ ，kπ+］（k∈Z）為f(x)的單調(diào)增區(qū)間． （2）令2x－ =kπ+，得x= π+ （k∈Z），則x= π+ （k∈Z）為函數(shù)y=f(x)圖象的對稱軸所在直線的方程，令2x－ =kπ，得x=π+ （k∈Z），∴ y=f(x)圖象的對稱中心為點（π+，0）（k∈Z）． 點評 研究三角函數(shù)的性質(zhì)，往往需先化簡，以化成一個三角函數(shù)為目標(biāo)；討論y=Asin(ωx+φ)(ω＞0)的單調(diào)區(qū)間，應(yīng)將ωx+φ看成一個整體，設(shè)為t，從而歸結(jié)為討論y=Asint的單調(diào)性． 【知能集成】 討論較復(fù)雜的三角函數(shù)的性質(zhì)，往往需要將原函數(shù)式進(jìn)行化簡，其目標(biāo)為轉(zhuǎn)化成同一個角的同名三角函數(shù)問題．討論三角函數(shù)的單調(diào)性，解三角不等式，要注意數(shù)形結(jié)合思想的運用．注意函數(shù)性質(zhì)在解題中的運用：若一個函數(shù)為周期函數(shù)，則討論其有關(guān)問題，可先研究在一個周期內(nèi)的情形，然后再進(jìn)行推廣；若要比較兩個角的三角函數(shù)值的大小，可考慮運用三角函數(shù)的單調(diào)性加以解決．【訓(xùn)練反饋】 1．函數(shù)y=lg(2cosx－1)的定義域為 （ ） A．{x｜－＜x＜} B．{x｜－＜x＜｝C．{x｜2kπ－＜x＜2kπ+，k∈Z} D．{x｜2kπ－＜x＜2kπ+，k∈Z} 2．如果α、β∈（，π），且tanα＜cotβ，那么必有 （ ） A．α＜β B． β＜α C． α+β＜ D． α+β＞ 3．若f(x)sinx是周期為π的奇函數(shù)，則f(x)可以是 （ ） A．sinx B． cosx C． sin2x D． cos2x 4．下列命題中正確的是 （ ） A．若α、β是第一象限角，且α