數(shù)學(xué)二次函數(shù)中三角形面積最大值綜合題-文庫(kù)吧
2025-03-20 04:23 本頁(yè)面
【正文】 ﹣t=（﹣t2+t﹣3），解得t=或t=5（舍去），此時(shí)P（，﹣）；綜上可知存在滿足條件的點(diǎn)P，其坐標(biāo)為（2，）或（，﹣）．【點(diǎn)評(píng)】本題為二次函數(shù)的綜合應(yīng)用，涉及待定系數(shù)法、函數(shù)圖象的交點(diǎn)、二次函數(shù)的性質(zhì)、相似三角形的判定和性質(zhì)、方程思想及分類討論思想等知識(shí)．在（1）中注意待定系數(shù)法的應(yīng)用，在（2）①中用P點(diǎn)坐標(biāo)表示出△PCD的面積是解題的關(guān)鍵，在（2）②中利用相似三角形的性質(zhì)確定出相應(yīng)線段的比是解題的關(guān)鍵．本題考查知識(shí)點(diǎn)較多，綜合性較強(qiáng)，難度較大．，規(guī)定：：拋物線的伴隨直線為，即（1）在上面規(guī)定下，拋物線的頂點(diǎn)為 .伴隨直線為 ；拋物線與其伴隨直線的交點(diǎn)坐標(biāo)為 和 ；（2）如圖，頂點(diǎn)在第一象限的拋物線與其伴隨直線相交于點(diǎn) (點(diǎn)在點(diǎn) 的右側(cè))與 軸交于點(diǎn)①若 求的值；②如果點(diǎn)是直線上方拋物線的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，的面積記為，當(dāng) 取得最大值 時(shí)，求的值.【分析】（1）由拋物線的頂點(diǎn)式可求得其頂點(diǎn)坐標(biāo)，由伴隨直線的定義可求得伴隨直線的解析式，聯(lián)立伴隨直線和拋物線解析式可求得其交點(diǎn)坐標(biāo)；（2）①可先用m表示出A、B、C、D的坐標(biāo)，利用勾股定理可表示出ACAB2和BC2，在Rt△ABC中由勾股定理可得到關(guān)于m的方程，可求得m的值；②由B、C的坐標(biāo)可求得直線BC的解析式，過(guò)P作x軸的垂線交BC于點(diǎn)Q，則可用x表示出PQ的長(zhǎng)，進(jìn)一步表示出△PBC的面積，利用二次函數(shù)的性質(zhì)可得到m的方程，可求得m的值．【解答】解：（1）∵y=（x+1）2﹣4，∴頂點(diǎn)坐標(biāo)為（﹣1，﹣4），由伴隨直線的定義可得其伴隨直線為y=（x+1）﹣4，即y=x﹣3，聯(lián)立拋物線與伴隨直線的解析式可得，解得或，∴其交點(diǎn)坐標(biāo)為（0，﹣3）和（﹣1，﹣4），故答案為：（﹣1，﹣4）；y=x﹣3；（0，﹣3）；（﹣1，﹣4）；（2）①∵拋物線解析式為y=m（x﹣1）2﹣4m，∴其伴隨直線為y=m（x﹣1）﹣4m，即y=mx﹣5m，聯(lián)立拋物線與伴隨直線的解析式可得，解得或，∴A（1，﹣4m），B（2，﹣3m），在y=m（x﹣1）2﹣4m中，令y=0可解得x=﹣1或x=3，∴C（﹣1，0），D（3，0），∴AC2=4+16m2，AB2=1+m2，BC2=9+9m2，∵∠CAB=90176。，∴AC2+AB2=BC2，即4+16m2+1+m2=9+9m2，解得m=（拋物線開(kāi)口向下，舍去）或m=﹣，∴當(dāng)∠CAB=90176。時(shí)，m的值為﹣；②設(shè)直線BC的解析式為y=kx+b，∵B（2，﹣3m），C（﹣1，0），[來(lái)源:學(xué)科網(wǎng)]∴，解得，∴直線BC解析式為y=﹣mx﹣m，過(guò)P作x軸的垂線交BC于點(diǎn)Q，如圖，∵點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為x，∴P（x，m（x﹣1）2﹣4m），Q（x，﹣mx﹣m），∵P是直線BC上方拋物線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，∴PQ=m（x﹣1）2﹣4m+mx+m=m（x2﹣x﹣2）=m[（x﹣）2﹣]，∴S△PBC=[（2﹣（﹣1）]PQ=（x﹣）2﹣m，∴當(dāng)x=時(shí)，△PBC的面積有最大值﹣m，∴S取得最大值時(shí)，即﹣m=，解得m=﹣2．【點(diǎn)評(píng)】本題為二次函數(shù)的綜合應(yīng)用，涉及待定系數(shù)法、二次函數(shù)的性質(zhì)、函數(shù)的圖象的交點(diǎn)、勾股定理、方程思想等知識(shí)．在（1）中注意伴隨直線的定義的理解，在（2）①中分別求得A、B、C、D的坐標(biāo)是解題的關(guān)鍵，在（2）②中用x表示出△PBC的面積是解題的關(guān)鍵．本題考查知識(shí)點(diǎn)較多，綜合性較強(qiáng)，難度適中．24（2017湖北恩施）．如圖，已知拋物線y=ax2+c過(guò)點(diǎn)（﹣2，2），（4，5），過(guò)定點(diǎn)F（0，2）的直線l：y=kx+2與拋物線交于A、B兩點(diǎn)，點(diǎn)B在點(diǎn)A的右側(cè)，過(guò)點(diǎn)B作x軸的垂線，垂足為C．（1）求拋物線的解析式；（2）當(dāng)點(diǎn)B在拋物線上運(yùn)動(dòng)時(shí)，判斷線段BF與BC的數(shù)量關(guān)系（＞、＜、=），并證明你的判斷；（3）P為y軸上一點(diǎn)，以B、C、F、P為頂點(diǎn)的四邊形是菱形，設(shè)點(diǎn)P（0，m），求自然數(shù)m的值；（4）若k=1，在直線l下方的拋
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