概率與概率分布單元基礎(chǔ)知識總結(jié)-文庫吧
2025-03-08 09:44 本頁面
【正文】 第二節(jié) 隨機變量的數(shù)字特征之所以稱期望，是因為對未來的不確定的數(shù)求平均數(shù)。一、隨機變量的數(shù)學(xué)期望隨機變量的數(shù)學(xué)期望或均值，是反映隨機變量集中趨勢的一種重要統(tǒng)計指標，一般用E（X）或μ來表示，其又分為：離散型隨機變量的數(shù)學(xué)期望： （當X的取值有限時） （當X的取值無限時）注意：實際上就是X的各個可能取值以其概率為權(quán)數(shù)的加權(quán)算術(shù)平均值。連續(xù)型隨機變量的數(shù)學(xué)期望：數(shù)學(xué)期望反映了隨機變量X可能取值的平均水平，是刻畫隨機變量性質(zhì)的一個重要特征。數(shù)學(xué)期望具有如下重要性質(zhì)：（1）設(shè)C是常數(shù)，則E（C）=C；（2）設(shè)C是常數(shù)，X是隨機變量，則E（CX）=CE（X）；（3）設(shè)為n個隨機變量，則有（4）設(shè)X和Y為兩個相互獨立的隨機變量，則E（XY）=E（X）E（Y）二、隨機變量的方差隨機變量的方差是用來反映隨機變量取值的離散程度的統(tǒng)計指標，它是每一個隨機變量取值與其期望值的離差平方的期望值。一般用D（X）或σ2表示，方差的平方根叫標準差，一般用σ表示。其計算公式為：D（X）=E[X—E（X）] 2可簡化為：D（X）=E（X2）—[E（X）] 2離散型隨機變量：連續(xù)型隨機變量：方差和標準差反映了隨機變量X的可能取值在其均值周圍的分散程度。方差具有以下幾個重要性質(zhì)：（1）設(shè)C為常數(shù)，則D（C）=0（2）設(shè)C是常數(shù)，X是隨機變量，則D（CX）=C2D（X）；（3）設(shè)為n個相互獨立的隨機變量，則有第三節(jié) 幾種重要的離散型概率分布一、二項分布二項分布是最重要的概率分布之一，它是從著名的貝努里試驗中推導(dǎo)出來的。所謂貝努里試驗，是指只有兩個可能結(jié)果的隨機試驗。如果貝努里試驗在相同條件下重復(fù)n次，并且各次的實驗結(jié)果相互獨立，則這樣的系列試驗稱為n重貝努里試驗。在每個特定的n重貝努里試驗中，設(shè)每次試驗成功的概率為p（p值不變），失敗的概率為q=1—p，則成功次數(shù)X是一個離散型隨機變量，它的可能取值是0，1，2，…，n。可以求出隨機變量X的分布列為： k=1，2，3，…，n。這種概率分布便稱為二項分布。這里是在n次試驗中成功次數(shù)的組合數(shù)，其計算公式為：二項分布列中的是對應(yīng)于k值的每一種組合出現(xiàn)的概率。當一個隨機變量X的分布為二項分布時，就稱隨機變量X服從二項分布，記作X～b（n，p）。二項分布的數(shù)學(xué)期望和方差分別為： 和 根據(jù)二項分布，不僅可以知道隨機變量概率分布的全貌，而且還可以推算出隨機變量在某一區(qū)間取值的概率：（1）事件A至多出現(xiàn)m次的概率
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