【正文】 如圖 (b)所示。 圖 76 以圖 7－ 6(a)電路為例來說明 RL電路零輸入響應(yīng)的計(jì)算過程。 在開關(guān)轉(zhuǎn)換瞬間，由于電感電流不能躍變，即iL(0+)= iL(0)= I0 ，這個(gè)電感電流通過電阻 R時(shí)引起能量的消耗，這就造成電感電流的不斷減少，直到電流變?yōu)榱銥橹埂? 綜上所述，圖 (b)所示 RL電路是電感中的初始儲(chǔ)能逐漸釋放出來消耗在電阻中的過程。與能量變化過程相應(yīng)的是各電壓電流從初始值，逐漸減小到零的過程。 列出 KCL方程 0LRLR ???? iRuii 代入電感 VCR方程 dtdiLuu LLR ?? 得到以下微分方程 LLd 0 (7 6 )diL iRt? ? ? 這個(gè)微分方程與式 (7－ 1)相似，其通解為 L ( ) e ( 0)R tLi t K t??? 代入初始條件 iL(0+)=I0求得 0IK ? 最后得到電感電流和電感電壓的表達(dá)式為 τL 0 0 L τL 0 0( ) e e ( 0 ) ( 7 7 a )d( ) ( 0 ) ( 7 7 b )dtRtLtRtLi t I I tiu t L R I e R I e tt????? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? 其波形如圖所示。 RL電路零輸入響應(yīng)也是按指數(shù)規(guī)律衰減，衰減的快慢取決于常數(shù) ? 。由于 ? =L/R具有時(shí)間的量綱，稱為 RL電路的時(shí)間常數(shù)。 圖 77 電路如圖 7－ 8(a)所示，開關(guān) S1連接至 1端已經(jīng)很久， t=0時(shí)開關(guān) S由 1端倒向 2端。求 t?0時(shí)的電感電流 iL(t) 和電感電壓 uL(t)。 圖 78 解：開關(guān)轉(zhuǎn)換瞬間，電感電流不能躍變，故 )0()0( LL ?? ?? ii 將連接到電感的電阻單口網(wǎng)絡(luò)等效為一個(gè)的電阻，得到的電路如圖 (b)所示。該電路的時(shí)間常數(shù)為 1 m ss10200 3 ??? ?＝＝ RL? 根據(jù)式 7－ 7得到電感電流和電感電壓為 )0( dd)()0( A )(33310103LL10τ 0L???????????????ttiLtutItitttt 通過對 RC和 RL一階電路零輸入響應(yīng)的分析和計(jì)算表明，電路中各電壓電流均從其初始值開始，按照指數(shù)規(guī)律衰減到零，一般表達(dá)式為 ?tftf e)0()( ??? 因?yàn)殡娙莼螂姼性诜橇愠跏紶顟B(tài)時(shí)具有初始儲(chǔ)能，各元件有初始電壓電流存在，由于電阻要消耗能量，一直要將儲(chǔ)能元件的儲(chǔ)能消耗完，各電壓電流均變?yōu)榱銥橹埂? 167。 73 一階電路的零狀態(tài)響應(yīng) 初始狀態(tài)為零 ， 僅僅由獨(dú)立電源 (稱為激勵(lì)或輸入 )引起的響應(yīng) ， 稱為零狀態(tài)響應(yīng) 。 本節(jié)只討論由直流電源引起的零狀態(tài)響應(yīng) 。 一、 RC電路的零狀態(tài)響應(yīng) 圖 79(a)所示電路中的電容原來未充電， uC(0)=0。t=0時(shí)開關(guān)閉合， RC串聯(lián)電路與直流電壓源連接，電壓源通過電阻對電容充電。 圖 79 uC(0)=0 其電壓電流的變化規(guī)律，可以通過以下計(jì)算求得。 (a) t0 的電路 (b) t0 的電路 以電容電壓為變量，列出圖 (b)所示電路的微分方程 SCR Uuu ??SCC UuRi ??圖 79 uC(0)=0 uC(0+)=0 其電壓電流的變化規(guī)律，可以通過以下計(jì)算求得。 CCSd ( 7 8 )duR C u Ut ? ? ? 這是一個(gè)常系數(shù)線性非齊次一階微分方程。其解答由兩部分組成，即 式中的 uCh(t)是與式（ 7－ 8）相應(yīng)的齊次微分方程的通解，其形式與零輸入響應(yīng)相同，即 )0(ee)( Ch ??? ? tKKtu RCtstCCSd ( 7 8 )duR C u Ut? ? ?C C h C p( ) ( ) ( ) ( 7 9 )u t u t u t? ? ? 式 (7－ 9)中的 uCp(t)是式 (7－ 8)所示非齊次微分方程的一個(gè)特解 。 一般來說 ， 它的模式與輸入函數(shù)相同 。 對于直流電源激勵(lì)的電路 ， 它是一個(gè)常數(shù) ， 令 Qtu ?)(Cp 將它代入式 (7－ 8)中求得 SCp )( UQtu ?? 因而 CCSd ( 7 8 )duR C u Ut ? ? ? C C h C p S( ) ( ) ( ) e ( 7 1 0 )tRCu t u t u t K U?? ? ? ? ? 式中的常數(shù) K由初始條件確定。在 t=0+時(shí) 0)0( SC ???? UKu 由此求得 SUK ?? )e1()( SCRCtUtu ??? 代入式 (7－ 10)中得到零狀態(tài)響應(yīng)為 τCS C S S τC( ) ( 1 e ) ( 1 e ) ( 0) ( 7 11 a )d( ) e e ( 0) ( 7 11 b )dttRCSttRCu t U U tu U Ui t C tt R R????? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? 其波形如圖 (7－ 10)所示。 圖 7－ 10 RC電路的零狀態(tài)響應(yīng)曲線 圖 79 從上可見， 電容電壓由零開始以指數(shù)規(guī)律上升到 US，經(jīng)過一個(gè)時(shí)間常數(shù)變化到 ()US=，經(jīng)過 (4～5)?時(shí)間后電容電壓實(shí)際上達(dá)到 US。 )e1()( τ C tSUtu ???τ SC e)(tRUti ?? 電容電流則從初始值 US/R以指數(shù)規(guī)律衰減到零。零狀態(tài)響應(yīng)變化的快慢也取決于時(shí)間常數(shù) ? =RC。當(dāng)時(shí)間常數(shù) ? 越大，充電過程就越長。 電路如圖 711(a)所示，已知電容電壓 uC(0)=0。 t=0 打開開關(guān)，求 t?0的電容電壓 uC(t),電容電流 iC(t)以及 電阻電流 i1(t)。 0)0(C ??u圖 711 V120oc ?UuC(0)=0 ?? 300oR解：在開關(guān)閉合瞬間，電容電壓不能躍變，由此得到 0)0()0( CC ?? ?? uu 先將連接于電容兩端的含源電阻單口網(wǎng)絡(luò)等效于戴維寧等效電路，得到圖 (b)所示電路，其中 V120oc ?U ?? 3 0 0oR 電路的時(shí)間常數(shù)為 s3 0 0s103F103 0 0 46o ?? ??????? ??CR 當(dāng)電路達(dá)到新的穩(wěn)定狀態(tài)時(shí)，電容相當(dāng)開路，由此求得 V1 2 0)( ocC ??? UU 按照式 (7－ 11)可以得到 )0(3112022dd)()0(V)e1(120)e1()(4441031 1031 46CC1031 τ ocC????????????????????ttuCtitUtutttt 為了求得 i1(t)，根據(jù)圖（ a）所示電路，用 KCL方程得到 )0(A)()()(41031 CS1 ??????? ttiIti t二、 RL電路的零狀態(tài)響應(yīng) RL一階電路的零狀態(tài)響應(yīng)與 RC一階電路相似。圖 712所示電路在開關(guān)轉(zhuǎn)換前，電感電流為零，即 iL(0)=0。當(dāng) t=0時(shí)開關(guān)由 a倒向 b，其電感電流和電感電壓的計(jì)算如下： 圖 7－ 12 RL電路的零狀態(tài)響應(yīng) 以電感電流作為變量，對圖 (b)電路列出電路方程 SL Iii R ??SLL IiRU ?? 這是常系數(shù)非齊次一階微分方程，其解答為 LLSd ( 0 ) ( 7 1 2 )diL i I tRt ? ? ? ? 常系數(shù)非齊次一階微分方程的其解答為 式中 ? =L/R是該電路的時(shí)間常數(shù)。常數(shù) K由初始條件確定，即 0)0()0( SLL ???? ?? IKii 由此求得 SIK ?? )e1()( SLtLRIti ??? L L h L p S S( ) ( ) ( ) e e ( 7 1 3 )tR tLi t i t i t K I K I???? ? ? ? ? ? ? 最后得到 RL一階電路的零狀態(tài)響應(yīng)為 其波形曲線如圖 7－ 13所示。 圖 7－ 13 RL電路零狀態(tài)響應(yīng)的波形曲線 LS LL S S( ) ( 1 e ) ( 1 e ) ( 0 ) ( 7 1 4 a )d( ) e e ( 0 ) ( 7 1 4 b )dtRtLStRtLi t I I tiu t L R I R I tt??????? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? 電路如圖 714(a)所示，已知電感電流iL(0)=0。 t=0閉合開關(guān)，求 t?0的電感電流和電感電壓。 圖 714 0)0(L ??i解：開關(guān)閉合后的電路如圖 (b)所示，由于開關(guān)閉合瞬間電感電壓有界，電感電流不能躍變，即 0)0()0( LL ?? ?? ii 將圖 (b)中連接電感的含源電阻單口網(wǎng)絡(luò)用諾頓等效電路代替，得到圖 (c)所示電路。由此電路求得時(shí)間常數(shù)為 o??? RL? A)e1()( 20L tti ???圖 614 按照式 (7－ 14)可以得到 )0(dd)()0(A)e1()(202020L????????????ttiLtuttittLLt 假如還要計(jì)算電阻中的電流 i(t)，可以根據(jù)圖 (b)電路，用歐姆定律求得 A)(24 Ve12V3624 )(V36)( 2020L tttuti ??????????圖 714 圖 715(a)為一個(gè)繼電器延時(shí)電路的模型。已知繼電 器線圈參數(shù)為： R=100?， L=4H，當(dāng)線圈電流達(dá)到 6mA時(shí)，繼電器開始動(dòng)作，將觸頭接通。從開關(guān)閉 合到觸頭接通時(shí)間稱為延時(shí)時(shí)間。為了改變延時(shí)時(shí) 間，在電路中串聯(lián)一個(gè)電位器，其電阻值可以從零 到 900?之間變化。若 US=12V，試求電位器電阻值 變化所引起的延時(shí)時(shí)間的變化范圍。 圖 7－ 15 解：開關(guān)閉合前，電路處于零狀態(tài)， iL(0)=0。 開關(guān)轉(zhuǎn)換瞬間電感電壓有界，電感電流不能躍變，即 iL(0+)=iL(0)=0。將電路用圖 7－ 15(b)所示諾頓等效電路代替，其中 oWscWo RURRUIRRR SS ????? 電感電流的表達(dá)式為 )e1()( oSL?tRUti ??? 設(shè) t0為延時(shí)時(shí)間，則有 mA6)e1()( τ oS0L0??? ?tRUti 由此求得 ?????? ???S0Lo0)(1lnUtiRt ? 當(dāng) Rw=0?時(shí)， ? = 1061 0 )(1ln3S0Lo0 ??????? ??????????? ??? ?UtiRt ? 當(dāng) Rw=900?時(shí)， ? = )(1ln3S0Lo0 ??????? ??????????? ??? ?UtiRt ?167。 74 一階電路的全響應(yīng) 由儲(chǔ)能元件的初始儲(chǔ)能和獨(dú)立電源共同引起的響應(yīng)，稱為全響應(yīng)。 下面討論 RC串聯(lián)電路在直流電壓源作用下的全響應(yīng)。電路如圖 716(a)所示，開關(guān)連接在 1端為時(shí)已經(jīng)很久， uC(0)=U0。 t=0時(shí)開