【正文】 ? ? ? ??lim 0 .nn u?? ?則 第七章 無(wú)窮級(jí)數(shù) 微 積 分 返回 下頁(yè) 上頁(yè) 故 0)(lim 2 ??? nnnss , 矛盾 . 這矛盾說(shuō)明級(jí)數(shù) ??? 11n n必定發(fā)散 . 顯然有 ss nn???lim 及 ss nn??? 2li m . 于是 0)(lim 2 ??? nnnss . 證 假若級(jí)數(shù) nn11??? 收斂且其和為 s , s n 是它的部分和 . 證 : 但另一方面 , 2121 212121 21112 ????????????????? nnnnnnss nn , 2121 212121 2111 ???????????????? nnnnnnss nn , 121 212121 112 ????????????????? nnnnnnss nn , 2121 212121 21112 ????????????????? nnnnnnss nn , 證 假若級(jí)數(shù) nn11??? 收斂且其和為 s , s n 是它的部分和 . 顯然有 ss nn???lim 及 ss nn??? 2lim . 于是 0)(lim 2 ??? nnnss . 故 0)(lim 2 ??? nnnss , 矛盾 . 這矛盾說(shuō)明級(jí)數(shù) ??? 11n n必定發(fā)散 . 解 :因?yàn)? 1sin1l im l im sin l im 1 01nn n nnunnn? ? ? ? ? ?? ? ? ?所以級(jí)數(shù) 11s innn n???發(fā)散。 例 4 判斷級(jí)數(shù) 11sinnn n??? 的斂散性。 例 5 證明調(diào)和級(jí)數(shù) n n 1 1 ? ? ? 是發(fā)散的 . 第七章 無(wú)窮級(jí)數(shù) 微 積 分 返回 下頁(yè) 上頁(yè) 正項(xiàng)級(jí)數(shù)收斂的充分必要條件它的部分和數(shù)列有界 . 一、 正項(xiàng)級(jí)數(shù) 各項(xiàng)都是正數(shù)或零的級(jí)數(shù)稱(chēng)為正項(xiàng)級(jí)數(shù) . 這是因?yàn)檎?xiàng)級(jí)數(shù)的部分和數(shù)列 {sn}是單調(diào)增加的 , 而單調(diào)有 界數(shù)列是有極限 . 定理 1(正項(xiàng)級(jí)數(shù)收斂的充要條件 ) 167。 7. 3 正項(xiàng)級(jí)數(shù) 二 、 正項(xiàng)級(jí)數(shù)斂散性的判別法 第七章 無(wú)窮級(jí)數(shù) 微 積 分 返回 下頁(yè) 上頁(yè) 定理 2(比較判別法 ) 推論 : 第七章 無(wú)窮級(jí)數(shù) 微 積 分 返回 下頁(yè) 上頁(yè) 111( 1 ) 。 ( 2 )2 ( 1 )n n nn??? ???n=0sin例 1 判斷下列級(jí)數(shù)的斂散性 . 11 ,22nn?sin解 :(1) 因?yàn)? (2) 證 因?yàn)?11)1( 1)1( 1 2 ????? nnnn , 而且 12 n??n=0收斂 . 所以，由 比較判別法可知， 級(jí)數(shù) 01sin2 nn??? 收斂 . 而且 11n???n=1發(fā)散 . 所以，由 比較判別法可知， 級(jí)數(shù) 11( 1 )n nn?? ?? 發(fā)散 . 第七章 無(wú)窮級(jí)數(shù) 微 積 分 返回 下頁(yè) 上頁(yè) 解 定理 2(比較判別法 ) 解 當(dāng) p ? 1 時(shí) , nn p 11 ? , 而 級(jí)數(shù) ??? 11n n發(fā)散 , 所 以 級(jí)數(shù) pn n11???也 發(fā)散 . 解 當(dāng) p ? 1 時(shí) , nn p 11 ? , 而 級(jí)數(shù) ??? 11n n發(fā)散 , 設(shè) ∑un和 ∑vn都是正項(xiàng)級(jí)數(shù) , 且 un?kvn(k0, ?n?N). 若級(jí)數(shù)∑vn收斂 , 則級(jí)數(shù) ∑un收斂 ? 若級(jí)數(shù) ∑un發(fā)散 , 則級(jí)數(shù) ∑vn發(fā)散 . 例 2 討論 p 級(jí)數(shù) ) 0 ( 1 1 ? ? ? ? p n p n 的收斂性 . 11p n x n? ? ?時(shí) , 因 為 當(dāng) 時(shí) , 有11ppnx163。所以 111 1 1nnp p pnn d x d xn n x=?蝌1 1 1[]1 ( 1 ) ppp n n=2 , 3 ,n = L當(dāng) 第七章 無(wú)窮級(jí)數(shù) 微 積 分 返回 下頁(yè) 上頁(yè) p 級(jí)數(shù) ) 0 ( 1 1 ? ? ? ? p n p n 的收斂性 ： 當(dāng) p ? 1 時(shí) , ]1)1( 1[111 11 ? ppp nnpn ( n ? 2 , 3 , ? ? ?) , 即 而級(jí)數(shù) ]1)1( 1[ 112??? ppn nn收斂 , 所 以 級(jí)數(shù) pn n11???也 收斂 . 而級(jí)數(shù) ]1)1( 1[ 112??? ppn nn收斂 , 所 以 級(jí)數(shù) pn n11???也 收斂 . 當(dāng) p ? 1 時(shí)收斂 ； 當(dāng) p ? 1 時(shí)發(fā)散 . 故該級(jí)數(shù)收斂 . 311 211nnnn nゥ===邋例如 3 12p ??p是 的 級(jí)數(shù)， 第七章 無(wú)窮級(jí)數(shù) 微 積 分 返回 下頁(yè) 上頁(yè) (2)當(dāng) ? ?1(或 ????)時(shí) ， 級(jí)數(shù)發(fā)散 ? 定理 3(比值判別法 ) 用法：常判別含有因子 !n na nn或 、 的級(jí)數(shù)斂散性。 設(shè)級(jí)數(shù) 為正項(xiàng)級(jí)數(shù) , 1nnu??? 則 如果 1lim ,nn nuu ?????1??(1)當(dāng) 時(shí) , 級(jí)數(shù)收 斂 。 (3)當(dāng) ??1時(shí)，比值判別法不能用 . 第七章 無(wú)窮級(jí)數(shù) 微 積 分 返回 下頁(yè) 上頁(yè) 解 因?yàn)?101lim 321)1( 321lim lim 1 ????????????????????? nnnuunnnnn, 解 : 所以 , 根據(jù)比值 判別 法可知所給級(jí)數(shù)收斂 . 例 3 證明級(jí)數(shù) )1( 321 1 321 121 1111 ???????????????????? n 是收斂的 . 解 因?yàn)?101lim 321)1( 321lim lim 1 ??????????????????? nnnuunnnnn, 解 因?yàn)?101lim 321)1( 321lim lim 1 ???????????????????? nnuunnnn, 第七章 無(wú)窮級(jí)數(shù) 微 積 分 返回 下頁(yè) 上頁(yè) 所以 , 根據(jù)比值判別法可知所給級(jí)數(shù)收斂 . 解 11l im l im l im = 11nnnn n nnu x n nxxu n x n??? ? ? ? ? ??? ??所以當(dāng) 10 ?? x 時(shí)，級(jí)數(shù)收斂； 當(dāng) 1x? 時(shí)，級(jí)數(shù)發(fā)散 . 2n1112 ( 1 ) ! 2l im l im l im 2 ( ) = 1 ( 1 ) 2 ! 1nnnnnn n nnu n n nu n n n e????? ? ? ? ? ?????? 解 例 4 判斷級(jí)數(shù) ( 0 )nxxn???n=1的斂散性 . 1 ,n??n=1當(dāng) 1x? 時(shí)，級(jí)數(shù)成為 它發(fā)散 . 112!nnnnn????例 5 判斷級(jí)數(shù) 的斂散性 . 第七章 無(wú)窮級(jí)數(shù) 微 積 分 返回 下頁(yè) 上頁(yè) 解 :因?yàn)? 111 2 1 1 1l im l im l im = 12 2 2nnnn n nnu nnu n n??? ? ? ? ? ???? ? ?例 6 判斷級(jí)數(shù) 的斂散性 . 2c os 1 ,3n ? ?2c os322nnnnn? ? 所以 而級(jí)數(shù) 2nn??n=1 滿(mǎn)足 因此級(jí)數(shù) 2nn??n=1收斂 , 從而級(jí)數(shù) 2c o s 32 nnn ???n=1收斂 . 2c o s32 nnn ???n=1第七章 無(wú)窮級(jí)數(shù) 微 積 分 返回 下頁(yè) 上頁(yè) (2)當(dāng) ? ?1(或 ????)時(shí) ， 級(jí)數(shù)發(fā)散 ? 定理 4(根值判別法 ) 用法：常判別含有因子 na nn或 的級(jí)數(shù)斂散性。 設(shè)級(jí)數(shù) 為正項(xiàng)級(jí)數(shù) , 1nnu???則 如果 lim ,n nn u ??? ?1??(1)當(dāng) 時(shí) , 級(jí)數(shù)收 斂 。 (3)當(dāng) ??1時(shí)，根值判別法不能用 . 第七章 無(wú)窮級(jí)數(shù) 微 積 分 返回 下頁(yè) 上頁(yè) 解 :因?yàn)? 11l i m l i m ( ) l i m = 011 ( 1+ )nnnn n nnnune? ? ? ? ? ?? ? ??例 7 判斷級(jí)數(shù) 的斂散性 . 所以 ( ) ( 0 )1 nna an????n=1l im l im ( ) l im ,11nn nnn n nn a n auann? ? ? ? ? ?? ? ???01a??(1)當(dāng) 時(shí) , 級(jí)數(shù)收 斂 。 1a?(2)當(dāng) 時(shí) , 級(jí)數(shù)發(fā) 散 。 1a?(3)當(dāng) 時(shí) , 有 1a?所以當(dāng) 時(shí) , 級(jí)數(shù)發(fā) 散 . 第七章 無(wú)窮級(jí)數(shù) 微 積 分 返回 下頁(yè) 上頁(yè) 167。 任意項(xiàng)級(jí)數(shù) ,絕對(duì)收斂 一、 交錯(cuò)級(jí)數(shù)的定義 交錯(cuò)級(jí)數(shù)是這樣的級(jí)數(shù) , 它的各項(xiàng)是正負(fù)交錯(cuò)的 . 交錯(cuò)級(jí)數(shù)的一般形式為 ???11)1(n nn u , 其中 0?nu . 定理 1(萊布尼茲定理 ) 如果交錯(cuò)級(jí)數(shù) ???11)1(n nn u 滿(mǎn)足條件 : (1)un?un?1(n?1, 2, 3, ? ? ?)? ( 2 ) 0lim ??? nn u , 則級(jí)數(shù)收斂 , 且其和 s?u1, 其余項(xiàng) rn的絕對(duì)值 |rn|?un?1. 第七章 無(wú)窮級(jí)數(shù) 微 積 分 返回 下頁(yè) 上頁(yè) ( 1 ) 1111 ????? nn unnu ( n ? 1 , 2 ,? ? ?) , ( 2 ) 01limlim ?? ???? nu nnn , 這是一個(gè)交錯(cuò)級(jí)數(shù) . 解 : 由萊布尼茨定理 , 級(jí)數(shù)是收斂的 , 且其和 su1?1, 余項(xiàng) 11|| 1 ??? ? nur nn . 則級(jí)數(shù)收斂 , 且其和 s?u1, 其余項(xiàng) rn的絕對(duì)值 |rn|?un?1. 如果交錯(cuò)級(jí)數(shù) ???11)1(n nn u 滿(mǎn)足條件 : 定理 1(萊布尼茲定理 ) ( 1 ) u n ? u n ? 1 ( n ? 1 , 2 , 3 , ? ? ?) ? ( 2 ) 0l i m ??? nn u , 因?yàn)榇思?jí)數(shù)滿(mǎn)足 ( 1 ) 1111 ????? nn unnu ( n ? 1 , 2 ,? ? ?) , ( 2 ) 01limlim ?? ???? nu nnn , 例 10 證明級(jí)數(shù) 1)1(11???nnn 收斂 , 并估計(jì)和及余項(xiàng) . 例 1 第七章 無(wú)窮級(jí)數(shù) 微 積 分 返回 下頁(yè) 上頁(yè) 二、 絕對(duì)收斂與條件收斂 例如 : 級(jí)數(shù) ???1 21 1)1(nnn 是絕對(duì)收斂的 , 級(jí)數(shù) ???11 1)1(nnn 是條件收斂的 . 若級(jí)數(shù) ? ? ? 1 | | n n u 收斂 , 則稱(chēng)級(jí)數(shù) ? ? ? 1 n n u 絕對(duì)收斂 ?