常微分方程--第六章 （64節(jié)）-文庫吧
2025-01-05 04:56 本頁面
【正文】 作變換 X T Y?1Y T X??即 ，其中 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 xXy???????Y????? ????1 1 1 22 1 2 2ttTtt??? ????是上邊所說的 實可逆矩陣 ，則系統(tǒng) ()變?yōu)?: 1dY T A TYdt??() 從 而變換的幾種形式就能容易的得出 1T AT?平面系統(tǒng)（ ）的軌線結(jié)構(gòu)，至于 ( , )?? 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 原方程組 ()的奇點及附近的軌線結(jié)構(gòu)只須 用變換 返回到就行了。 X T Y?由于變換 不改變奇點的位置與類 X T Y?型 ，因此我們只對線性系統(tǒng)的標準方程組給出 討論。 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 2 ( ) 0ab a d a d b ccd?????? ? ? ? ? ??記 2( ) , , 4p a d q a d b c p q? ? ? ? ? ? ?設(shè) 的特征方程為： A則 特征方程為 ，特征根為 2 0pq??? ? ?2p? ??? () 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 由特征根的不同情況分為四種情況來討論 : 1. 特征根為不相等的同號實根 ( 0 , 0)q??此時對應(yīng)的標準型為 dxxdtdyydt???????? ???() 容易求出其通解為 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 12( ) , ( ) .ttx t c e y t c e???? （ ） 其中 是任意常數(shù)， 對應(yīng)于零解， 12,cc 12 0cc??對應(yīng)的 軸正負半軸都是軌線； 120 , 0cc?? Y120 , 0cc??對應(yīng)的 軸正負半軸是軌線； X12,0cc ?當 時候，再分兩種情況討論： （ 1）， ,?? 同號且均為負數(shù) ( 0)p ? 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 這時消去 得 ty cx???（ ） 所以軌線均為以 頂點的拋物線，且 (0,0)當 時由 t ? ??()21tcdy ed x c?????? 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 我們可知： 當 時 ???()21l im 0ttc ec?????? ? ??即切線切 軸趨于 點。 (0,0)X當 時 ???()21l im ttcec?????? ? ??? 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 即切線切 軸趨于 點。 (0,0)Y且由于 ()知此時原點 是 漸近穩(wěn)定的 ， (0,0)所以系統(tǒng)在原點及附近的相圖如下圖所示： 圖 (a) 圖 (b) 我們把這樣的奇點稱為 穩(wěn)定結(jié)點 。 （ 2）， ,?? 同號均為正數(shù) ( 0)p ? 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 這時關(guān)于 (1)的討論在此適用只需將 t ? ??改為 所以此時的奇點稱為 不穩(wěn)定結(jié)點 ， t ? ??軌線分布如圖 ，僅是圖上的箭頭反向。 2. 為異號實根 ,?? ( 0 , 0)q??這時仍有 ()和 ()，所以兩個坐標軸的 正負半軸仍為軌線，但是由于 ，奇點附近 0?? ? 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 的軌線成為雙曲線的且 若 ，則當 時， 0???? t ? ??( ) 0 , ( )x t y t? ? ?若 ，則當 時， 0???? t ? ??( ) , ( ) 0x t y t? ? ?軌線均以 軸 軸為漸近線，系統(tǒng)在原點及 X Y附近的軌線分布如 : 圖 (a) 圖 (b) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 這種奇點成為 鞍點 ， 它是不穩(wěn)定奇點 。 3 . 為重根 ??? ( 0 , 0)q??這時由 Jordan塊 的不同分為兩種： (1) 標準型為 dxxdtdyydt??
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