問題的提出 如圖1,有一條河,兩個(gè)工廠p 和q位于河-文庫吧
2025-01-03 20:48 本頁面
【正文】 (1) y12918yy2y10)8(2y)3(8 222 ????????思路二 P Q R M l39。 圖 4 Q 若把 |PR|＋ |RQ|看作定值，則 R在以 P、 Q為焦點(diǎn)的橢圓上，故這需在橢圓找點(diǎn) R，作 R到 L的距離最小，因此可考慮運(yùn)用橢圓的定義和直線與橢圓的關(guān)系建模。 思路三： P Q 圖 5 o 如圖 5所示，建立直角坐標(biāo)系， P、 Q為橢圓的焦點(diǎn)， L //L，且 L39。切橢圓于 R，根據(jù)題意，易求出直線 L為： x－ 4 y－ 63＝ 0 (1) 設(shè) L39。為： x－ 4 y＋ n＝ 0 (2) y x L L R 橢圓方程為： (3) 聯(lián)立 (2) (3)， 化簡得 (4) 根據(jù) L39。為橢圓的切線，得△＝ 0解得： n2 ＝ 4 9（ a2－ 48）。由題意 n 0 ， 則 n＝－ 7 ，所以直線 L39。 為： x－ 4 y－ 7 ＝ 0. 所以 L39。與 L的距離為： 故輸水管的總長度： S(R) ＝ 2a ＋ 9－ (5) 用△法，可得 S(R)≥21或 S(R) ≤ － 3，由于 S(R)≥0， 則 S(R)≥21，即 S(R)的最小值為 21, 代入 (5), 解得 a＝ 8,從而 d＝ 5,進(jìn)一步可求出 |PR|＝ 10, |PQ|＝ 6。 思路四： 如圖 6 ， AB//L ， RH ⊥ L， ∠ PRA＝ ∠ QRB＝ 30176。 . 設(shè) QB=x 則 PA＝ x＋ 2， AR＝ (x＋ 2)， RB＝ x 由 AB＝ 8 ， 得 (x＋ 2) ＋ x ＝ 8 。 所以 x＝ 3 ，從而 RP＝ 10, PQ＝ 6 , RH＝ 5 . P Q R A B C D H 圖 6 l 聯(lián)想經(jīng)典的數(shù)學(xué)問題，運(yùn)用費(fèi)爾馬點(diǎn)建模 四、論證結(jié)論 R 8 l 10 Q 14 P 河 *****方案二更經(jīng)濟(jì)合理 ***** 即選這樣的點(diǎn) R ，使 R 到河岸 L 的距離為 5千米，到工廠 P 的距離為 10千米，到工廠 Q 的距離為6千米，這時(shí)所需總水管的長度為 21千米。 １、若將直線 L縮成一個(gè)點(diǎn)（如向水庫取水），則問題就是在三角形內(nèi)求一點(diǎn) R，使 R到三角形三頂點(diǎn)的距離之和為最?。ù它c(diǎn)即為費(fèi)爾馬點(diǎn)）。 五、問題引申 河 P Q 圖７ ２、若取水的河道不是直線，是一段圓?。ㄈ鐖D７），該如何選點(diǎn)？ １、數(shù)學(xué)建模就是把實(shí)際問題數(shù)學(xué)化。數(shù)學(xué)模型就是通過抽象和簡化，使用數(shù)學(xué)語言、數(shù)學(xué)符號(hào)對(duì)實(shí)際現(xiàn)象給予推理、論證，從而得出實(shí)際問題結(jié)論。 ２、建模的基本程序是： 實(shí)際問題 數(shù)學(xué)語言 數(shù)學(xué)符號(hào) 實(shí)際問題的結(jié)論 數(shù)學(xué)問題的解 數(shù)學(xué)模型 量化經(jīng)驗(yàn) 抽象概括 整 理 假 設(shè) 實(shí)踐檢驗(yàn) 運(yùn) 算 推 理 評(píng) 價(jià) 檢 索 類 比 問 題 解 決
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