【正文】 不成立，故命題 p4不正確．故正確選項(xiàng)為 C. 第 1講 │ 要點(diǎn)熱點(diǎn)探究 ? 創(chuàng)新鏈接 1 集合中的新定義問題 以集合為背景的新定義問題，歷來是高考命題創(chuàng)新型試題的一個(gè)熱點(diǎn)，常見的命題形式有新概念、新法則、新運(yùn)算等，這類試題中集合只是基本的依托，考查的是考生創(chuàng)造性解決問題的能力． 求解集合中的新定義問題，主要抓兩點(diǎn)： ( 1) 緊扣新定義．首先分析新定義的特點(diǎn)，把新定義所敘述的問題的本質(zhì)弄清楚，并能夠應(yīng)用到具體的解題過程之中，這是破解新定義型集合問題難點(diǎn)的關(guān)鍵所在； ( 2) 用好集合的性質(zhì)．集合的性質(zhì) ( 概念、元素的性質(zhì)、運(yùn)算性質(zhì)等 ) 是破解新定義 型集合問題的基礎(chǔ)，也是突破口，在解題時(shí)要善于從試題中發(fā)現(xiàn)可以使用集合性質(zhì)的一些因素，在關(guān)鍵之處用好集合的性質(zhì)． 第 1講 │ 要點(diǎn)熱點(diǎn)探究 例 4 [ 201 1 廣東卷 ] 設(shè) S 是整數(shù)集 Z 的非空子集，如果 ? a ，b ∈ S ，有 ab ∈ S ，則稱 S 關(guān)于數(shù)的乘法是封閉的，若 T ， V 是 Z的兩個(gè)不相交的非空子集， T ∪ V ＝ Z ，且 ? a ， b ， c ∈ T ，有 abc∈ T ； ? x ， y ， z ∈ V ，有 xyz ∈ V ，則下列結(jié)論恒成立的是 ( ) A ． T ， V 中至少有一個(gè)關(guān)于乘法是封閉的 B ． T ， V 中至多有一個(gè)關(guān)于乘法是封閉的 C ． T ， V 中有且只有一個(gè)關(guān)于乘法是封閉的 D ． T ， V 中每一個(gè)關(guān)于乘法都是封閉的 第 1講 │ 要點(diǎn)熱點(diǎn)探究 【解析】 A T 全部是偶數(shù)， V 全部是奇數(shù)，那么 T ， V 對(duì)乘法是封閉的，但如果 T 是全部偶數(shù)和 1,3 ，那么此時(shí) T ， V 都符合題目要求，但是在 V 里面，任意取的數(shù)是－ 1 和－ 3 ，那么相乘等于 3 ，而 V 里面沒有 3 ，所以 V 對(duì)乘法不封閉．排除B 、 C 、 D 選項(xiàng)，所以 “ 至少一個(gè) ” 是對(duì)的． 【分析】 根據(jù)新定義，就是要判斷 “ ? a ， b ∈ T ，有 ab ∈ T ” ， “ ? x ， y ∈ V ，有 xy ∈ V ” 這兩個(gè)全稱命題的真假． 【點(diǎn)評(píng)】 集合的創(chuàng)新問題，通常需要弄清題目給出的新定義、新概念、新法則與教材上的知識(shí)間的聯(lián)系，將新的定義、概念、法則轉(zhuǎn)化為 “ 常規(guī)數(shù)學(xué) ” 問題，然后求解． 第 1講 │ 要點(diǎn)熱點(diǎn)探究 (1) [ 201 1 福建卷 ] 在整數(shù)集 Z 中，被 5 除所得余數(shù)為 k 的所有整數(shù)組成一個(gè)“ 類 ” ，記為 [ k ] ，即 [ k ] ＝ {5 n ＋ k | n ∈ Z} ， k ＝ 0,1,2,3,4. 給出如下四個(gè)結(jié)論： ① 201 1 ∈ [1] ； ② － 3 ∈ [3] ； ③ Z ＝ [0] ∪ [1] ∪ [2] ∪ [3] ∪ [4] ； ④ “ 整數(shù) a ， b 屬于同一 ‘ 類 ’” 的充要條件是 “ a － b ∈ [0] ” ． 其中，正確結(jié)論的個(gè)數(shù)是 ( ) A ． 1 B ． 2 C ． 3 D ． 4 (2) 設(shè) S 是至少含有兩個(gè)元素的集合，在 S 上定義了一個(gè)二元運(yùn)算 “*”( 即對(duì)任意的 a ， b ∈ S ，對(duì)于有序元素對(duì) ( a ， b ) ，在 S 中有唯一確定的元素 a * b 與之對(duì)應(yīng) ) ．若對(duì)任意的 a ， b ∈ S ，有 a *( b * a ) ＝ b ，則對(duì)任意的 a ， b ∈ S ，下列等式中不恒成立的是 ( ) A ． ( a * b )* a ＝ a B ． [ a *( b * a )]*( a * b ) ＝ a C ． b *( b * b ) ＝ b D ． ( a * b )*[ b *( a * b )] ＝ b 第 1講 │ 要點(diǎn)熱點(diǎn)探究 (1)C (2)A 【解析】 (1) 因?yàn)?201 1 ＝ 5 402 ＋ 1 ，則 20 1 1 ∈ [1] ，結(jié)論 ① 正確； 因?yàn)椋?3 ＝ 5 ( － 1) ＋ 2 ，則－ 3 ∈ [2] ，結(jié)論 ② 不正確； 因?yàn)樗械恼麛?shù)被 5 除的余數(shù)為 0,1,2,3,4 五類，則 Z ＝ [0] ∪ [1] ∪ [ 2] ∪ [3] ∪ [4] ，結(jié)論 ③ 正確； 若整數(shù) a ， b 屬于同一 “ 類 ” [ k ] ，可設(shè) a ＝ 5 n1＋ k ， b ＝ 5 n2＋ k ( n1， n2∈ Z) ，則a － b ＝ 5( n1－ n2) ∈ [0] ； 反之，若 a － b ∈ [0] ，可設(shè) a ＝ 5 n1＋ k1， b ＝ 5 n2＋ k2( n1， n2∈ Z) ，則 a － b ＝ 5( n1－ n2) ＋ ( k1－ k2) ∈ [0] ； ∴ k1＝ k2，則整數(shù) a ， b 屬于同一 “ 類 ” ，結(jié)論 ④ 正確，故選 C. (2) 選項(xiàng) B 中， [ a *( b * a )]*( a * b ) ＝ b *( a * b ) ＝ a ，成立；選項(xiàng) C 中， b *( b * b ) ＝ b ，成立；選項(xiàng) D 中，把 ( a * b ) 看做一個(gè)整體，記為 c ，則 ( a * b )*[ b *( a * b )] ＝ c *( b * c ) ＝ b ，成立，故只有選項(xiàng) A 中的結(jié)論不恒成立． 規(guī)律技巧提煉 第 1講 │ 規(guī)律技巧提煉 1 ． 解答集合有關(guān)問題，首先正確理解集合的意義，準(zhǔn)確地化簡(jiǎn)集合是關(guān)鍵．其次關(guān)注元素的互異性，空集是任何集合的子集等問題，關(guān)于不等式的解集、抽象集合問題，要借助數(shù)軸和韋恩圖加以解決． 2 ．一個(gè)命題的真假與它的否命題的真假?zèng)]有必然的聯(lián)系，但一個(gè)命題與這個(gè)命題的否定是互相對(duì)立、一真一假的． 第 1講 │ 規(guī)律技巧提煉 3 ．判斷充要條件的方法，一是結(jié)合充要條件的定義；二是根據(jù)充要條件與集合之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系，把命題對(duì)應(yīng)的元素用集合表示出來，根據(jù)集合之間的包含關(guān)系進(jìn)行判斷，在以否定形式給出的充要條件判斷中可以使用命題的等價(jià)轉(zhuǎn)化方法． 4 ．含有邏輯聯(lián)結(jié)詞的命題的真假是由其中的基本命題決定的，這類試題首先把其中的基本命題的真假判斷準(zhǔn)確，再根據(jù)邏輯聯(lián)結(jié)詞的含義進(jìn)行判斷． 5 ．特稱命題的否定是全稱命題、全稱命題的否定是特稱命題． 第 1講 │ 教師備用例題 教師備用例題 備選理由： 例 1 是對(duì)本講例 2 的一個(gè)補(bǔ)充，即判斷充要條件定義外還可以根據(jù)等價(jià)轉(zhuǎn)化的方法進(jìn)行；例 2 是對(duì) “ 且 ” 命題的否定，由于其位置不突出我們?cè)谡闹袥]有給出；例 3 為一個(gè)新定義試題，雖然是 2022 年的高考試題，但這個(gè)題和正文例題 4 及其變式可以形成對(duì)集合中新定義試題的一個(gè)題組訓(xùn)練，達(dá)到一個(gè)較好的效果． 第 1講 │ 教師備用例題 例 1 “ α ≠ β ” 是 “ sin α ≠ sin β ” 的 ( ) A ．充分而不必要條件 B ．必要而不充分條件 C ．充要條件 D ．既不充分也不必要條件 【解析】 B 方法 1 ：由于 α ＝ 2π ＋ β 時(shí)， α ≠ β ，但此時(shí) sin α＝ sin β ，故條件是不充分的；由于 sin α ≠ sin β 時(shí)，如果 α ＝ β ，則sin α ＝ sin β ，故由 sin α ≠ s in β ? α ≠ β ，故條件是必要的． 方法 2 ：命題 “ 若 α ≠ β ，則 sin α ≠ s in β ” 等價(jià)于命題 “ 若 sin α ＝sin β ，則 α ＝ β ” ，這個(gè)命題顯然不正確，故條件是不充分的；由于命題 “ 若 sin α ≠ sin β ，則 α ≠ β ” 等價(jià)于命題 “ 若 α ＝ β ，則 sin α＝ sin β ” ，這個(gè)命題是真命題，故條件是必要的． 第 1講 │ 教師備用例題 例 2 已知命題 p ：若 x 0 ， y 0 ，則 xy 0 ，則 p 的否命題是 ( ) A ．若 x 0 ， y 0 ，則 xy ≤ 0 B ．若 x ≤ 0 ， y ≤ 0 ，則 xy ≤ 0 C ．若 x ， y 至少有一個(gè)不大于 0 ，則 xy 0 D ．若 x ， y 至少有一個(gè)小于或等于 0 ，則 xy ≤ 0 【解析】 D 否命題應(yīng)在否定條件的同時(shí)否定結(jié)論，而原命題中的條件是 “ 且 ”的關(guān)系，所以條件的否定形式是 “ x ≤ 0 或 y ≤ 0 ” ． 第 1講 │ 教師備用例題 例 3 設(shè) S 為復(fù)數(shù)集 C 的非空子集．若對(duì)任意 x ， y ∈ S ，都有 x ＋ y ， x － y ， xy ∈ S ，則稱 S 為封閉集．下列命題： ① 集合 S ＝ { a ＋ b i| a ， b 為整數(shù)， i 為虛數(shù)單位 } 為封閉集； ② 若 S 為封閉集，則一定有 0 ∈ S ； ③ 封閉集一定是無限集； ④ 若 S 為封閉集，則滿足 S ? T ? C 的任意集合 T 也是封閉集． 其中真命題是 ________( 寫出所有真命題的序號(hào) ) ． 【答案】 ①② 【解析】 設(shè) x ＝ a 1 ＋ b 1 i ， y ＝ a 2 ＋ b 2 i ， a 1 ， b 1 ， a 2 ， b 2 為整數(shù)，則 x ＋ y ＝ ( a 1 ＋ a 2 )＋ ( b 1 ＋ b 2 )i ， x － y ＝ ( a 1 － a 2 ) ＋ ( b 1 － b 2 )i ， xy ＝ ( a 1 a 2 － b 1 b 2 ) ＋ ( a 1 b 2 ＋ a 2 b 1 )i ，由于 a 1 ，b 1 ， a 2 ， b 2 為整數(shù)，故 a 1 177。 a 2 ， b 1 177。 b 2 ， a 1 a 2 － b 1 b 2 ， a 1 b 2 ＋ a 2 b 1 都是整數(shù)，所以 x ＋ y ，x － y ， xy ∈ S ，故集合 S ＝ { a ＋ b i| a ， b 為整數(shù)， i 為虛數(shù)單位 } 為封閉集， ① 是真命題；若 S 是封閉集，取 x ＝ y ∈ S ，則根據(jù)封閉集的定義， x － y ＝ x － x ＝ 0 ∈ S ，故命題 ② 正確；集合 S ＝ { 0} 顯然是封閉集，故封閉集不一定是無限集，命題 ③ 不正確；集合 S ＝ { 0} ? { 0,1 } ＝ T ? C ，容易驗(yàn)證集合 T 不是封閉集，故命題 ④ 不是真命題． 第 2講 函數(shù)、基本初等函數(shù)的圖象與性質(zhì) 第 2講 函數(shù)、基本初等函數(shù) 的圖象與性質(zhì) 主干知識(shí)整合 第 2講 │ 主干知識(shí)整合 1 ． 函數(shù)的性質(zhì) ( 1 ) 單調(diào)性：?jiǎn)握{(diào)性是函數(shù)在 其定義域上的局部性質(zhì)，是函數(shù)中最常涉及的性質(zhì)，特別注意定義中的符號(hào)語(yǔ)言； ( 2 ) 奇偶性：偶函數(shù)其圖象關(guān)于 y 軸對(duì)稱，在關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)對(duì)稱的定義域區(qū)間上具有相反的單調(diào)性；奇函數(shù)其圖象關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)對(duì)稱，在關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)對(duì)稱的定義域區(qū)間上具有相同的單調(diào)性．特別注意定義域含 0 的奇函數(shù) f ( 0 ) ＝ 0 ； ( 3 ) 周期性： f ( x ＋ T ) ＝ f ( x )( T ≠ 0) ，則稱 f ( x ) 為周期函數(shù)， T 是它的一個(gè)周期． 第 2講 │ 主干知識(shí)整合 2 ． 對(duì)稱性與周期性的關(guān)系 ( 1 ) 若函數(shù) f ( x ) 的圖象有兩條對(duì)稱軸 x ＝ a ， x ＝ b ( a ≠ b ) ，則函數(shù)f ( x ) 是周期函數(shù)， 2| b － a |是它的一個(gè)正周期，特別地若偶函數(shù) f ( x ) 的圖象關(guān)于直線 x ＝ a ( a ≠ 0) 對(duì)稱，則函數(shù) f ( x ) 是周期函數(shù)， 2| a |是它的一個(gè)正周期； ( 2 ) 若函數(shù) f ( x ) 的圖象有兩個(gè)對(duì)稱中心 ( a, 0) ， ( b, 0 ) ( a ≠ b ) ，則函數(shù)f ( x ) 是周期函數(shù)， 2| b － a |是它的一個(gè)正周期，特別，若奇函數(shù) f ( x ) 的圖象關(guān)于點(diǎn) ( a, 0 ) ( a ≠ 0) 對(duì)稱，則函數(shù) f ( x ) 是周期函數(shù)， 2| a |是它的一個(gè)正周期； 第 2講 │ 主干知識(shí)整合 ( 3 ) 若函數(shù) f ( x ) 的圖象有一條對(duì)稱 軸 x ＝ a 和一個(gè)對(duì)稱中心( b, 0 ) ( a ≠ b ) ，則函數(shù) f ( x ) 是周期函數(shù)， 4| b － a |是它的一個(gè)正周期，特別是若偶函數(shù) f ( x ) 有對(duì)稱中心 ( a, 0 ) ( a ≠ 0) ，則函數(shù) f ( x ) 是周期函數(shù)，4| a |是它的一個(gè)正周期，若奇函數(shù) f ( x ) 有對(duì)稱軸 x ＝ a ( a ≠ 0) ，則函數(shù)f ( x ) 是周期函數(shù)， 4| a |是它的一個(gè)正周期． 3 ． 函數(shù)的圖象 ( 1 ) 指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)和冪函數(shù)、一次函數(shù)、二次函數(shù)等初等函數(shù)的圖象的特點(diǎn)； ( 2 ) 函數(shù)的圖象變換主要是平移變換、伸縮變換和對(duì)稱變換． 第 2講 │ 主干知識(shí)整合 4 ． 指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)和冪函數(shù)的圖象和性質(zhì) ( 注意根據(jù)圖象記憶性質(zhì) ) 指數(shù)函數(shù) y ＝ ax( a 0 ， a ≠ 1) 的圖象和性質(zhì)，分 0 a 1 ， a 1