【正文】 0,??☆ NURBS曲線 ● 有理樣條曲線 ● NURBS曲線表示 ? 有理分式表示 ? 有理分式性質(zhì) ? 基函數(shù)表示 ? 基函數(shù)性質(zhì) ? 基函數(shù)性質(zhì) ? 齊次坐標(biāo)表示 ? 齊次坐標(biāo)表示 ● 形狀因子概念 ● NURBS曲線形狀 ☆ NURBS曲面 ● NURBS曲面表示 ● NURBS曲面性質(zhì) ● NURBS形狀因子 ☆ 三次曲線比較 NURBS有理分式表示性質(zhì) ? 對(duì)于非周期 NURBS曲線 ， 常將兩端節(jié)點(diǎn)的重復(fù)度取為k+1， 即： u0=u1=u2,… ,uk,un+1=un+2=… =un+k+1。 ? 且在大多數(shù)實(shí)際應(yīng)用里 ， 端節(jié)點(diǎn)值分別取為 0和 1， 因此 ， 有曲線定義域： u∈ [uk,un+1]=[0,1]。 ? 特殊地 ， 當(dāng) n=k時(shí) ， k次 NURBS曲線就成為 k次有理B233。zier曲線 。 ? k次 NURBS曲線節(jié)點(diǎn)向量?jī)啥斯?jié)點(diǎn)重復(fù)度取 k+1，就使曲線具有同次有理 B233。zier曲線端點(diǎn)幾何性質(zhì)； ? 如果權(quán)因子 ω1,ωn1≠0， 曲線首末端點(diǎn)分別就是控制多邊形首末頂點(diǎn) ， 曲線在首末端點(diǎn)處分別與控制多邊形首末邊相切 。 ☆ NURBS曲線 ● 有理樣條曲線 ● NURBS曲線表示 ? 有理分式表示 ? 有理分式性質(zhì) ? 基函數(shù)表示 ? 基函數(shù)性質(zhì) ? 基函數(shù)性質(zhì) ? 齊次坐標(biāo)表示 ? 齊次坐標(biāo)表示 ● 形狀因子概念 ● NURBS曲線形狀 ☆ NURBS曲面 ● NURBS曲面表示 ● NURBS曲面性質(zhì) ● NURBS形狀因子 ☆ 三次曲線比較 NURBS曲線有理基函數(shù)表示 ? NURBS曲線方程可寫為如下等價(jià)形式： ? Ri,k(u)稱為 k次有理基函數(shù) 。 它具有與 k次規(guī)范 B樣條基函數(shù)Bi,k(u)類似的性質(zhì)： ? 局部支撐性質(zhì)：即 u不在區(qū)間 [ui,ui+k+1]內(nèi)時(shí) , Ri,k(u)=0； ? 規(guī)范性： ∑Ri,k(u)=1； ? 可微性：如果分母不為零 ， 在節(jié)點(diǎn)區(qū)間內(nèi)是無(wú)限次連續(xù)可微的 ， 在節(jié)點(diǎn)處是 kr次可微的 ， r為該節(jié)點(diǎn)的重復(fù)度； ? ωi是控制頂點(diǎn)權(quán)因子 ? 若 ωi=0， 則： Ri,k(u)=0；若 ωi→+∞ ， 則： Ri,k(u)=1； ? 若 ωj→+∞, j≠i， 則： Ri,k(u)=0。 ? 若所有權(quán)因子 ωj=1， 當(dāng)節(jié)點(diǎn)向量 U={0,0,… 0,1,1,… ,1}(0和 1的重復(fù)度都為 k+1)時(shí) ， Ri,k(u)=BEZi,k(u)； ? 其它情況下 ， Ri,k(u)=Bi,k(u) 。 ? ? ? ? ? ? ? ?? ??????? nikiikiikinikiiuBuBuRuRPuP0,0, 。??☆ NURBS曲線 ● 有理樣條曲線 ● NURBS曲線表示 ? 有理分式表示 ? 有理分式性質(zhì) ? 基函數(shù)表示 ? 基函數(shù)性質(zhì) ? 基函數(shù)性質(zhì) ? 齊次坐標(biāo)表示 ? 齊次坐標(biāo)表示 ● 形狀因子概念 ● NURBS曲線形狀 ☆ NURBS曲面 ● NURBS曲面表示 ● NURBS曲面性質(zhì) ● NURBS形狀因子 ☆ 三次曲線比較 NURBS有理基函數(shù)表示的性質(zhì) ? 非有理與有理 B233。zier曲線和非有理 B樣條曲線是 NURBS的特例 。 ? 局部性質(zhì)： ? k次 NURBS曲線上參數(shù)為 u∈ [ui,ui+1]的一點(diǎn) P(u)至多與 k+1個(gè)控制頂點(diǎn) Pi及 相聯(lián)系的權(quán)因子 ωj（ j=ik, ik+1,… ,i） 有關(guān) ， 與其它頂點(diǎn)及權(quán)因子無(wú)關(guān)； ? 若移動(dòng) k次 NURBS曲線的一個(gè)控制頂點(diǎn) Pi或改變所聯(lián)系的權(quán)因子將僅僅影響定義 在區(qū)間 [ui,ui+k+1]上那部分曲線的形狀 ， 對(duì) NURBS曲線的其它部分不發(fā)生影響 。 ? 變差減少性質(zhì)： ? 平面內(nèi)任一直線與 B樣條曲線的交點(diǎn)各數(shù)不多于該直線與曲線控制多邊形的交點(diǎn)數(shù)目 。 ☆ NURBS曲線 ● 有理樣條曲線 ● NURBS曲線表示 ? 有理分式表示 ? 有理分式性質(zhì) ? 基函數(shù)表示 ? 基函數(shù)性質(zhì) ? 基函數(shù)性質(zhì) ? 齊次坐標(biāo)表示 ? 齊次坐標(biāo)表示 ● 形狀因子概念 ● NURBS曲線形狀 ☆ NURBS曲面 ● NURBS曲面表示 ● NURBS曲面性質(zhì) ● NURBS形狀因子 ☆ 三次曲線比較 NURBS有理基函數(shù)表示的性質(zhì) ? 強(qiáng)的凸包性質(zhì) ? 定義在非零節(jié)點(diǎn)區(qū)間 [ui,ui+k+1]上那一曲線段位于它的 k+1個(gè)控制頂點(diǎn) Pj(j=ik,ik+1,… ,i)的凸包內(nèi) 。 ? 整條 NURBS曲線位于所有定義各曲線段的控制頂點(diǎn)的凸包的并集內(nèi) 。 ? 所有權(quán)因子大于零保證了凸包性質(zhì)成立 。 ? 在仿射變換和透視變換下的不變性 ? 在曲線定義域內(nèi)有與有理基函數(shù)同樣的 可微性 或參數(shù)連續(xù)性 ， 即在節(jié)點(diǎn)處是 kr次可微的； ? 如果 某個(gè)權(quán)因子 ωi等于零 ， 那么 相應(yīng)的那個(gè)控制頂點(diǎn) Pj對(duì)曲線根本沒有影響 。 ? 若 ωi=→+∞ ， 則當(dāng) u∈ [ui,ui+k+1]時(shí) ， P(u)= Pi； 即： 控制頂點(diǎn)在曲線上 。 ☆ NURBS曲線 ● 有理樣條曲線 ● NURBS曲線表示 ? 有理分式表示 ? 有理分式性質(zhì) ? 基函數(shù)表示 ? 基函數(shù)性質(zhì) ? 基函數(shù)性質(zhì) ? 齊次坐標(biāo)表示 ? 齊次坐標(biāo)表示 ● 形狀因子概念 ● NURBS曲線形狀 ☆ NURBS曲面 ● NURBS曲面表示 ● NURBS曲面性質(zhì) ● NURBS形狀因子 ☆ 三次曲線比較 ? 用帶權(quán)控制點(diǎn) Di(i=0,1,… ,n)定義一條三維的 k次 NURBS非有理 B樣條曲線： ? 將它投影到 ω=1平面上 ， 所得透視像即 xy平面上一條 k次 NURBS曲線： NURBS曲線齊次坐標(biāo)表示 ? 對(duì)平面內(nèi)給定控制頂點(diǎn) Pi=[xi yi](i=0,1,… ,n)及相聯(lián)系的權(quán)因子 ωi (i=0,1,… ,n)， 按下列步驟定義 k次 NURBS曲線： ? 確定所給控制頂點(diǎn) Pi(i=0,1,… ,n)的帶權(quán)控制點(diǎn)： Di=[ωiPi ωi]=[ωixi ωiyi ωi](i=0,1,… ,n) ? ? ? ????nikii uBDup0,? ?? ?? ??????nikiinikiiiuBuBpuP0,0,??ω=1 X Y D 2 D 3 D 1 D 0 P 2 P 3 P 1 P 0 X Y ω ☆ NURBS曲線 ● 有理樣條曲線 ● NURBS曲線表示 ? 有理分式表示 ? 有理分式性質(zhì) ? 基函數(shù)表示 ? 基函數(shù)性質(zhì) ? 基函數(shù)性質(zhì) ? 齊次坐標(biāo)表示 ? 齊次坐標(biāo)表示 ● 形狀因子概念 ● NURBS曲線形狀 ☆ NURBS曲面 ● NURBS曲面表示 ● NURBS曲面性質(zhì) ● NURBS形狀因子 ☆ 三次曲線比較 NURBS曲線齊次坐標(biāo)表示 ? 對(duì)于三維空間內(nèi)一組給定控制頂點(diǎn) Pi=[xi yi zi]及相聯(lián)系的權(quán)因子 ωi (i=0,1,… ,n)， 可用同樣的方法定義 。 ? 先確定控制頂點(diǎn) Pi(i=0,1,… ,n)的帶權(quán)控制點(diǎn)： Di=[ωiPi ωi]=[ωixi ωiyi ωizi ωi](i=0,1,… ,n) ? 用帶權(quán)控制點(diǎn) Di(i=0,1,… ,n)定義一條四維的 k次NURBS非有理 B樣條曲線： ? 取它 ω=1超平面的中心投影 ， 即得三維空間里的一條 k次 NURBS曲線：