【正文】 1 1 0 0 1 0 1 0 1 0 1 1 0 1 0 0 0 1 0 1 0 0 1 0 1 125 4－ 3 繪制根軌跡的基本法則 一、根軌跡的分支數(shù) 分支數(shù)＝開環(huán)零點(diǎn)數(shù) m與開環(huán)極點(diǎn)數(shù) n中的大者 二、根軌跡對(duì)稱于實(shí)軸 閉環(huán)極點(diǎn)為 實(shí)數(shù) → 在實(shí)軸上 復(fù)數(shù) → 共軛 → 對(duì)稱于實(shí)軸 返回子目錄 425130 0 1 1 0 0 1 0 1 0 1 0 1 1 0 1 0 0 0 1 0 1 0 0 1 0 1 126 起于開環(huán)極點(diǎn)，終于開環(huán)零點(diǎn)。 三、根軌跡的起點(diǎn)與終點(diǎn) *111)()(Kpszsniimii????????由根軌跡方程有： 425130 0 1 1 0 0 1 0 1 0 1 0 1 1 0 1 0 0 0 1 0 1 0 0 1 0 1 127 mn ?mn ?若開環(huán)零點(diǎn)數(shù) m 開環(huán)極點(diǎn)數(shù) n (有 個(gè)開環(huán)零點(diǎn)在無窮遠(yuǎn)處 ) 則有 ( )條根軌跡趨于無窮遠(yuǎn)點(diǎn) 0* ?K 0?? ipsips ?→ → 起點(diǎn) ??*K 0?? izsizs ?→ → 終點(diǎn) 425130 0 1 1 0 0 1 0 1 0 1 0 1 1 0 1 0 0 0 1 0 1 0 0 1 0 1 128 四、實(shí)軸上的根軌跡 實(shí)軸上根軌跡區(qū)段的右側(cè)，開環(huán)零、極點(diǎn)數(shù)目之和應(yīng)為奇數(shù)。 證明： 設(shè)一系統(tǒng)開環(huán)零、極點(diǎn)分布如圖。 425130 0 1 1 0 0 1 0 1 0 1 0 1 1 0 1 0 0 0 1 0 1 0 0 1 0 1 129 在實(shí)軸上任取一試驗(yàn)點(diǎn) 代入相角方程則 3411121( ) ( )( ) ( )()( 2 1 )iiiis z s ps z s zspk? ? ? ? ???? ? ? ? ?? ? ? ? ? ??? ?? ? ? ? ? ???所以相角方程成立，即 是根軌跡上的點(diǎn)。 1s1s425130 0 1 1 0 0 1 0 1 0 1 0 1 1 0 1 0 0 0 1 0 1 0 0 1 0 1 130 一般，設(shè)試驗(yàn)點(diǎn)右側(cè)有 L個(gè) 開環(huán)零點(diǎn)， h個(gè)開環(huán)極點(diǎn)，則有關(guān)系式 證畢 11( ) ( ) ( )lhiiiis z s p l h ???? ? ? ? ? ? ???( ) ( 2 1 )l h k??? ? ??如滿足相角條件必有 所以， Lh必為奇數(shù)，當(dāng)然 L+h也為奇數(shù)。 425130 0 1 1 0 0 1 0 1 0 1 0 1 1 0 1 0 0 0 1 0 1 0 0 1 0 1 131 例 4－ 3 2 ( 1 )()( 2 )KsGsss???0K ? ? ??設(shè)一單位負(fù)反饋系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為G(s)=K(s+1)/[s(+1)],求 時(shí)的閉環(huán)根軌跡。 ?解： 將開環(huán)傳遞函數(shù)寫成零、極點(diǎn)形式 設(shè)一單位負(fù)反饋系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為求時(shí)的閉環(huán)根軌跡。425130 0 1 1 0 0 1 0 1 0 1 0 1 1 0 1 0 0 0 1 0 1 0 0 1 0 1 132 最后繪制出根軌跡如圖 4－ 7所示。 ① 法則一，有兩條根軌跡 ② 法則三，兩條根軌跡分別起始于開環(huán)極點(diǎn)0、－ 2，一條終于有限零點(diǎn)－ 1，另一條趨于無窮遠(yuǎn)處。 ③ 法則四，在負(fù)實(shí)軸上， 0到－ 1區(qū)間和－ 2到負(fù)無窮區(qū)間是根軌跡。 按繪制根規(guī)跡法則逐步進(jìn)行： 425130 0 1 1 0 0 1 0 1 0 1 0 1 1 0 1 0 0 0 1 0 1 0 0 1 0 1 133 圖 4－ 7 例 4－ 3根軌跡 425130 0 1 1 0 0 1 0 1 0 1 0 1 1 0 1 0 0 0 1 0 1 0 0 1 0 1 134 法則五、根軌跡的分離點(diǎn)和會(huì)合點(diǎn) ? 分離點(diǎn)和會(huì)合點(diǎn)一般位于實(shí)軸上： ? 根軌跡在實(shí)軸上相交后走向復(fù)平面時(shí)，稱為根軌跡的 分離點(diǎn) ； ? 根軌跡由復(fù)平面走向?qū)嵼S相會(huì)時(shí)，稱為根軌跡的 會(huì)合點(diǎn) ； 425130 0 1 1 0 0 1 0 1 0 1 0 1 1 0 1 0 0 0 1 0 1 0 0 1 0 1 135 ? 分離點(diǎn)與會(huì)合點(diǎn)的確定方法： ()( ) ( )()K B sG s H sAs?1 ( ) ( ) 0G s H s??( ) ( ) 0A s K B s??0 0 0( ) ( ) 0A s K B s??000( ) ( ) 0s s s sdA s dB sKds ds????設(shè) K=K0時(shí)， s0是重根，則有 425130 0 1 1 0 0 1 0 1 0 1 0 1 1 0 1 0 0 0 1 0 1 0 0 1 0 1 136 2( ) ( ) ( ) ( )[ ( ) ]d K A s B s A s B sd s B s?????0dKds ?( ) ( ) 0A s K B s??()( ) ( )()K B sG s H sAs?1 ( ) ( ) 0G s H s??()()AsKBs??425130 0 1 1 0 0 1 0 1 0 1 0 1 1 0 1 0 0 0 1 0 1 0 0 1 0 1 137 分離點(diǎn)的坐標(biāo) d也可由下面方程求得 ? ?? ? ???nimjjizdpd1 111jz式中： 為各開環(huán)零點(diǎn)的數(shù)值， 為各開環(huán)極點(diǎn)的數(shù)值。 ip425130 0 1 1 0 0 1 0 1 0 1 0 1 1 0 1 0 0 0 1 0 1 0 0 1 0 1 138 ? 舉例： 判斷如下系統(tǒng)的根軌跡的分離點(diǎn)和會(huì)合點(diǎn) + _ ()Cs( 1 ) ( 2 )Ks s s??()Rs1 ( ) ( ) 0G s H s?? ( 1 ) ( 2 ) 0s s s K? ? ? ?( 1 ) ( 2 )K s s s? ? ? ?0dKds ?120 .4 2 31 .5 7 7ss???????? 425130 0 1 1 0 0 1 0 1 0 1 0 1 1 0 1 0 0 0 1 0 1 0 0 1 0 1 139 法則六、根軌跡的漸近線 ? 漸近線與實(shí)軸正方向的夾角為： mnka ??? ?? )12(漸近線與實(shí)軸相交點(diǎn)的坐標(biāo)為： mnzpnimjjia???? ?? ?1 1?425130 0 1 1 0 0 1 0 1 0 1 0 1 1 0 1 0 0 0 1 0 1 0 0 1 0 1 140 （ 1）根軌跡漸近線的傾角 根據(jù)幅角條件： 當(dāng) 時(shí)，零點(diǎn) 、極點(diǎn) 與 矢量復(fù)角可近似看成相等 得到 所以漸近線的傾角： 因共有 (nm)條漸近線，所以只要取 (nm)個(gè)不同的傾角即可 。 ),2,1,0()12(1 8 01 1???????? ?? ?kkpszsminjji??s iz?jp? s)k(nm 12180 ???? ???mn)k(???? 12180 ???????jipszs425130 0 1 1 0 0 1 0 1 0 1 0 1 1 0 1 0 0 0 1 0 1 0 0 1 0 1 141 （ 2）漸近線與實(shí)軸的交點(diǎn) 幅值條件： 當(dāng) ，則對(duì)應(yīng)于 ，此時(shí) ，上式可寫成： 上式左邊展開： 上式右邊展開 比較對(duì)應(yīng) s冪項(xiàng)系數(shù)相等，求得： 所以漸近線相交于同一點(diǎn) mnzszspspsK?????????111??1K ??s ii pszs ?????? ????????? ??? 12121 )]()[( mnmnmn szzzppps????? ??? 1)( mnmn smns ?)()()( 2121 mn zzzpppmn ????????? ???mnzzzppp mn??????????? )()( 2121 ???mnmn szszszspspsps ????????? )()())(()())((2121 ?????425130 0 1 1 0 0 1 0 1 0 1 0 1 1 0 1 0 0 0 1 0 1 0 0 1 0 1 142 例 44 已知系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù) 試根據(jù)法則六，求出根軌跡的漸近線。 1 2 3 40 , 4 , 1 1 , 1 1 ,4p p p j p jn? ? ? ? ? ? ? ? ??極點(diǎn) 解： 零點(diǎn) 1 , 1zm? ? ?*2( 1 )( ) ( )( 4 ) ( 2 2 )KsG s H ss s s s??? ? ?425130 0 1 1 0 0 1 0 1 0 1 0 1 1 0 1 0 0 0 1 0 1 0 0 1 0 1 143 按照公式得 12300011( 2 1 ) ( 2 1 ) ( 2 1 )4 1 360 ( 0)18 0 ( 1 )30 0 ( 2)53nmiiiikkknmkkkpznm????????????????????????????? ? ????425130 0 1 1 0 0 1 0 1 0 1 0 1 1 0 1 0 0 0 1 0 1 0 0 1 0 1 144 以下是幾種開環(huán)傳遞函數(shù)的根軌跡漸近線 *1()Ks s p?*12( ) ( )Ks s p s p??425130 0 1 1 0 0 1 0 1 0 1 0 1 1 0 1 0 0 0 1 0 1 0 0 1 0 1 145 *1 2 3( ) ( ) ( )Ks s p s p s p???*21 2 3( ) ( ) ( )Ks s p s p s p???425130 0 1 1 0 0 1 0 1 0 1 0 1 1 0 1 0 0 0 1 0 1 0 0 1 0 1 146 對(duì)應(yīng)的開環(huán)傳遞函數(shù) *1( ) ( )()KG s H ss s p??(a) *12( ) ( )( ) ( )KG s H ss s p s p???(b) *1 2 3( ) ( )( ) ( ) ( )KG s H ss s p s p