數(shù)學(xué)建模案例之多變量有約束最優(yōu)化-文庫(kù)吧
2024-12-31 05:45 本頁(yè)面
【正文】 ．建立數(shù)學(xué)模型 根據(jù)前面的分析，原問題的數(shù)學(xué)模型如下： m ax ( , ) ( 339 03 ) ( 399 04 1 )( 400 000 195 225 ) ,. . 100 00,500 0 , 800 0 ,0 , 0P s t as t s s t tsts t s tstst? ? ? ? ? ? ????????? （ 2 .1 ） 這里 a = 0 .0 1 。 3 ．模型求解 3 .1 求解方法 L a g r a n g e 乘子法 這是一個(gè)帶有多個(gè)約束條件的多變量最優(yōu)化問題，可以使用 L a g r a ng e 乘子法求解。 第 1 步 ：確定目標(biāo)函數(shù) P ( s,t ) 的可行域 S 目標(biāo)函數(shù) P ( s,t ) 的可行域 S （見圖 1 ）為： { ( , ) : 10 00 0, 0 50 00 , 0 80 00 }S s t s t s t? ? ? ? ? ? ? 2022 4000 6000 8000 10000202240006000800010000可行域 圖 1 目標(biāo)函數(shù)的可行域圖 第 2 步 ：計(jì)算 P? ( , ) ( 1 4 4 0 .0 2 0 .0 0 7 , 1 7 4 0 .0 0 7 0 .0 2 )PPstP s t s t????? ? ? ? ? ? ? （ 2 .2 ） 在可行域 S 的內(nèi)部， 0P?? ，因此，最大值一定在邊界上達(dá)到。 第 3 步 ：計(jì)算邊界上的極大值 由于可行域由 5 條直線圍成，因此需要分別計(jì)算 P ( s,t ) 在每一條邊界線段上的 極 大值，下面分別計(jì)算，重點(diǎn)介紹如何計(jì)算 P ( s,t ) 在直線 10000st ?? 上的最大值。 （ 1 ） P ( s,t ) 在約束直線10000st??上的 極 大值 此時(shí)，需要求解問題 ma x ( , ). . ( , ) 1 0 0 0 0P s ts t g s t s t? ? ? （ 2 .3 ） 其 L a g r a n g e 乘子方程為Pg ?? ? ?，即 1 4 4 0 . 0 2 0 . 0 0 71 7 4 0 . 0 0 7 0 . 0 2stst??? ? ???? ? ?? 與約束方程 10000st?? 聯(lián)立求解，得到 003846615424st????????? （ 2 .4 ） 代入目標(biāo)函數(shù) P ( s, t ) 可得極大值為00( , ) 532 308P s t ?。 圖 2 可行域及水平集圖 上面的圖 2 給出了可行域以及 P ( s,t ) 的水平集圖像。水平集 P ( s,t ) = C 為一簇同心環(huán)，這些環(huán)與可行域相交，水平集 P ( s,t ) = 5 3 2 3 0 8 為最小的環(huán)。這個(gè)集合剛剛接觸到
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