【正文】 － 2, 0) ， ( 0, 2) 內(nèi)單調(diào)遞減， ∴ 容易求得 f ( x ) 的單調(diào)遞增區(qū)間為 ( －∞ ， 0) ， (4 ，＋ ∞ ) ；單調(diào)遞減區(qū)間為 (0 , 2) ， (2 ,4) ． (2 ) ∵ f ( x ) 在 x ∈ [0 ,1 ] 上單調(diào)遞減， ∴ 其值域?yàn)?[ － 1, 0] ，即 x ∈ [0 ,1 ] 時(shí)，g ( x ) ∈ [ － 1, 0] ． ∵ g (0 ) ＝ 0 為最大值， ∴ 最小值只能為 g ( 1) 或 g ( a ) ， 若 g ( 1) ＝－ 1 ?????? a ≥ 1 ，1 － 2 a ＝－ 1? a ＝ 1 ； 若 g ( a ) ＝－ 1 ?????? 12≤ a ≤ 1 ，－ a2＝－ 1? a ＝ 1. 綜上可知 a ＝ 1. 例 4 已知函數(shù) f ( x ) ＝x2＋ 2 x ＋ ax， x ∈ [1 ，＋ ∞ ) ． ( 1 ) 當(dāng) a ＝12時(shí)，求函數(shù) f ( x ) 的最小值； ( 2 ) 若對(duì)任意 x ∈ [1 ，＋ ∞ ) ， f ( x ) 0 恒成立，試求實(shí)數(shù) a 的取值范圍． 解析 ： ( 1 ) 當(dāng) a ＝12時(shí)， f ( x ) ＝ x ＋12 x＋ 2. ∵ f ( x ) 在區(qū)間 [1 ，＋ ∞ ) 上為增函數(shù)， ∴ f ( x ) 在區(qū)間 [1 ，＋ ∞ ) 上的最小值為 f ( 1 ) ＝72. 【例 5 】 已知函數(shù) f ( x ) ＝x2＋ 2 x ＋ ax， x ∈ [1 ，＋ ∞ ) ． (1 ) 當(dāng) a ＝12時(shí)，求函數(shù) f ( x ) 的最小值； (2 ) 若對(duì)任意 x ∈ [1 ，＋ ∞ ) ， f ( x )0 恒成立，試求實(shí)數(shù) a 的取值范圍． 解析 ： (1 ) 當(dāng) a ＝12時(shí)， f ( x ) ＝ x ＋12 x＋ 2. ∵ f ( x ) 在區(qū)間 [1 ，＋ ∞ ) 上為增函數(shù)， ∴ f ( x ) 在區(qū)間 [1 ，＋ ∞ ) 上的最小值為 f (1 ) ＝72. (2)(法一 )在區(qū)間 [1，＋ ∞)上， f(x)＝ 0恒成立? x2＋ 2x＋ a0恒成立． 設(shè) y＝ x2＋ 2x＋ a， x∈ [1，＋ ∞)． ∵ y＝ x2＋ 2x＋ a＝ (x＋ 1)2＋ a－ 1在 [1，＋ ∞)內(nèi)遞增， ∴ 當(dāng) x＝ 1時(shí)， ymin＝ 3＋ a，當(dāng)且僅當(dāng) ymin＝ 3＋ a0時(shí)，函數(shù)f(x)0恒成立， ∴ a－ 3. (法二 )f(x)＝ x＋ ＋ 2， x∈ [1，＋ ∞)． 當(dāng) a≥0時(shí)，函數(shù) f(x)的值恒為正； 當(dāng) a0時(shí)，函數(shù) f(x)遞增，故當(dāng) x＝ 1時(shí)， f(x)min＝ 3＋ a， 當(dāng)且僅當(dāng) f(x)min＝ 3＋ a0時(shí)，函數(shù) f(x)0恒成立，故 a－ 3. ??2x 2x axax例 5 求二次函數(shù) f(x)＝ x2－ 2x＋ 3在區(qū)間 [t， t＋ 1](t∈ R)上的最大值與最小值． 解析： ∵ f(x)＝ x2－ 2x＋ 3＝ (x1)2＋ 2， ∴ 其對(duì)稱(chēng)軸為 x＝ 1. (1)當(dāng) t＋ 1≤1，即 t≤0時(shí)， f(x)在區(qū)間 [t， t＋ 1]上是減函數(shù)， ∴ f(x)max＝ f(t)＝ t2－ 2t＋ 3， f(x)min＝ f(t＋ 1)＝ (t＋ 1)2－ 2(t＋ 1)＋ 3＝ t2＋ 2. (2)當(dāng) t≥1時(shí)， f(x)在區(qū)間 [t， t＋ 1]上是增函數(shù)， ∴ f(x)min＝ f(t)＝ t2－ 2t＋ 3， f(x)max＝ f(t＋ 1)＝ (t＋ 1)2－ 2(t＋ 1)＋ 3＝ t2＋ 2. (3)當(dāng) t1t＋ 1，即 0t1時(shí)， f(x)在區(qū)間 [t,1]上是減函數(shù)，在區(qū)間 [1， t＋ 1]上是增函數(shù)， ∴ f(x)min＝ f(1)＝ 12－ 2＋ 3＝ 2， (i)當(dāng) 1－ t≥t＋ 1－ 1，即 0t≤ 時(shí)， f(t)≥f(t＋ 1)， ∴ f(x)max＝ f(t)＝ t2－ 2t＋ 3， (ii)當(dāng) 1－ tt＋ 1－ 1，即 t1時(shí)， f(t)f(t＋ 1)， ∴ f(x)max＝ f(t＋ 1)＝ t2＋ 2， 綜上所述， 1212f ( x ) ma x ＝????? t2－ 2 t ＋ 3 ， t ≤12，t2＋ 2 ， t 12，f ( x ) min ＝????? t2＋ 2 ， t ≤ 0 ，2 ， 0 t 1 ，t2－ 2 t ＋ 3 ， t ≥ 1. 例 6．已知函數(shù) f(x)＝－ x2＋ 2ax＋ 1－ a在 0≤x≤1上有最大值 2，求 a的值． 解析： f(x)＝－ x2＋ 2ax＋ 1－ a＝－ (x－ a)2＋ a2－ a＋ 1,0≤x≤1， (1)當(dāng) 0≤a≤1時(shí)， f(x)max＝ f(a)＝ a2－ a＋ 1， ∴ a2－ a＋ 1＝ 2，解得 a＝ ， ∵ 0≤a≤1， ∴ a無(wú)解． (2)當(dāng) a1時(shí)， f(x)max＝ f(1)＝ a＝ 21，成立． (3)當(dāng) a0時(shí)， f(x)max＝ f(0)＝ 1－ a， ∴ 1－ a＝ 2，得 a＝－ 10成立． 綜上可得 a＝－ 1或 a＝ 2. 1177。 52 例 7 已知函數(shù) y＝ f(x)是定義在 R上的周期函數(shù)，周期 T＝ 5，函數(shù) y＝ f(x)(－ 1≤x≤1)是奇函數(shù)．又知 y＝ f(x)在 [0,1]上是一次函數(shù)，在 [1,4]上是二次函數(shù)，且在 x＝ 2時(shí)函數(shù)取得最小值－ 5. (1)證明： f(1)＋ f(4)＝ 0； (2)求 y＝ f(x)， x∈ [1,4]的解析式； (3)求 y＝ f(x)在 [4,9]上的解析式． (1)證明： ∵ f(x)是以 5為周期的周期函數(shù)， ∴ f(4)＝ f(4－ 5)＝ f(－ 1)． 又 ∵ y＝ f(x)(－ 1≤x≤1)是奇函數(shù)， ∴ f(1)＝－ f(－ 1)＝－ f(4)． ∴ f(1)＋ f(4)＝ 0. (2)解析： 當(dāng) x∈ [1,4]時(shí) ， 由題意可設(shè) f(x)＝ a(x－ 2)2－ 5(a0)， 由 f(1)＋ f(4)＝ 0得 a(1－ 2)2－ 5＋ a(4－ 2)2－ 5＝ 0， ∴ a＝ 2. ∴ f(x)＝ 2(x－ 2)2－ 5(1≤x≤4)． (3)解析： ∵ y＝ f(x)(－ 1≤x≤1)是奇函數(shù)， ∴ f(0)＝ 0. 又知 y＝ f(x)在 [0,1]上是一次函數(shù)， ∴ 可設(shè) f(x)＝ kx(0≤x≤1)，而 f(1)＝ 2(1－ 2)2－ 5＝－ 3， ∴ k＝－ 3.∴ 當(dāng) 0≤x≤1時(shí)， f(x)＝－ 3x， 從而當(dāng)－ 1≤x0時(shí)， f(x)＝－ f(－ x)＝－ 3x， 故－ 1≤x≤1時(shí)， f(x)＝－ 3x. 又 ∵ 當(dāng) 4≤x≤6時(shí)，有－ 1≤x－ 5≤1， ∴ f(x)＝ f(x－ 5)＝－ 3(x－ 5)＝－ 3x＋ 15. 當(dāng) 6x≤9時(shí)， 1x－ 5≤4， ∴ f(x)＝ f(x－ 5)＝ 2[(x－ 5)－ 2]2－ 5＝ 2(x－ 7)2－ 5. ∴ f(x)＝ ????? － 3 x ＋ 15 ， 4 ≤ x ≤ 6 ，2 ? x － 7 ? 2 － 5 ， 6 x ≤ 9. 一、指數(shù)函數(shù)的定義、圖象與性質(zhì) 名稱(chēng) 指數(shù)函數(shù) 函數(shù)式 y＝ ax(a0且 a≠ 1) 底數(shù) a的 取值分類(lèi) a1 0a1 定義域 (－ ∞ ，＋ ∞ ) 值域 (0，＋ ∞ ) 考點(diǎn)三 指數(shù)函數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù) 形如 y＝ ax(a0且 a≠1)的函數(shù)叫做指數(shù)函數(shù)，其中 x是自變量，定義域是 (－ ∞，＋ ∞)，值域是 (0，＋ ∞)． 名稱(chēng) 指數(shù)函數(shù) 函數(shù)式 y＝ ax(a0且 a≠ 1) 圖象 單調(diào)性 在 (－ ∞ ，＋ ∞ )上為增函數(shù) 在 (－ ∞ ，＋ ∞ )上為減函數(shù) 函數(shù)值 的分布 圖象過(guò)點(diǎn) (0,1)及 (1， a)，(－ 1， a－ 1)； 若 x0，則 y1； 若 x＝ 0，則 y＝ 1； 若 x0，則 0y1 圖象過(guò)點(diǎn) (0,1)及 (1， a)， (－1， a－ 1)； 若 x0，則 0y1；若 x＝ 0，則 y＝ 1； 若 x0，則 y1 (續(xù)上表 ) 二、對(duì)數(shù) 的運(yùn)算法則 如果 a0， a≠1， M0， N0，有 (1)loga(MN)＝ logaM＋ logaN； (2)loga ＝ logaM－ logaN； (3)logaMn＝ nlogaM. MN三 ．對(duì)數(shù)換底公式及對(duì)數(shù)恒等式． ( 以下各式中 a 0 ， a ≠ 1 ， b 0 ， b ≠ 1 ， c 0 ， c ≠ 1 ， M 0 ， N 0 ) ( 1 ) 對(duì)數(shù)恒等式： ① alo gaN＝ N ； ② lo gaan＝ n . ( 2 ) 換底公式： lo gaN ＝lo gbNlo gba. ( 3 ) 由換底公式可推出如下結(jié)論： ① lo gab ＝1lo gba； ② lo gaM ＝ lo ganMn； ③ lo gab lo gba ＝ 1 ； ④ lo gab lo gbc lo gca ＝ 1 ； ⑤ lo gambn＝nmlo gab . 四、對(duì)數(shù)函數(shù)的定義、圖象與性質(zhì) 1． 定義：形如 y＝ logax(a0且 a≠1)的函數(shù)叫做對(duì)數(shù)函數(shù)．其中 x是自變量，其定義域是 (0，＋ ∞)，值域是 (－ ∞，＋∞)． 2．對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象和性質(zhì)，可以歸納于下表： 名稱(chēng) 對(duì)數(shù)函數(shù) 函數(shù)式 y＝ logax (a0且 a≠ 1) 底數(shù) a的分類(lèi) a1 0a1 定義域 (0，＋ ∞ ) (續(xù)上表 ) 名稱(chēng) 對(duì)數(shù)函數(shù) 值域 (－ ∞ ，＋ ∞ ) 圖象 單調(diào)性 在 (0，＋ ∞ )上為增函數(shù) 在 (0，＋ ∞ )上為減函數(shù) 函數(shù)值的分布 過(guò)點(diǎn) (1,0)及 (a,1)， ；若 x1，則 y0；若 x＝ 1，則 y＝ 0；若 0x1，則 y0 過(guò)點(diǎn) (1,0)及 (a,1)， ；若 x1，則 y0；若 x＝ 1，則y＝ 0；若 0x1，則 y0 ??? ???1a，－ 1 ??????1a，－ 1 例 1．若函數(shù) f(x)＝ 的最大值是 m，且 f(x)是偶函數(shù)，則m＋ μ＝ ______. ()x ? 2e－ －解析： ∵ 函數(shù) f(x)＝ 的最大值是 1， ∴ m＝ ∵ f(x)是偶函數(shù)， ∴ μ＝ 0.∴ m＋ μ＝ 1. 答案： 1 ()x ? 2e－ －例 2 (1)設(shè) 0＜ a＜ 1，函數(shù) f(x)＝ loga(a2x－ 2ax－ 2)，則使f(x)0的 x的取值范圍是 ( ) A． (－ ∞， 0) B． (0，＋ ∞) C． (－ ∞， loga3) D． (loga3，＋ ∞) (2)方程 log4(3x－ 1)＝ log4(x－ 1)＋ log4(3＋ x)的根是 ______． 思路點(diǎn)撥： (1)將不等式兩邊化為同底的對(duì)數(shù) ， 再利用對(duì)數(shù)的單調(diào)性去解； (2)對(duì)數(shù)方程去掉對(duì)數(shù)符號(hào) ， 轉(zhuǎn)化為整式方程求解 ， 但要注意檢驗(yàn) ． 解析： (1)f(x)0? loga(a2x－ 2ax－ 2)0? loga(a2x－ 2ax－2)loga1，因?yàn)?0a1，所以 a2x－ 2ax－ 21，即 (ax)2－ 2ax＋14? (ax－ 1)24? ax－ 12或 ax－ 1－ 2，所以 ax3或 ax－ 1(舍去 )，因此 x C. (2) log4(3x－ 1)＝ log4(x－ 1)＋ log4(3＋ x)變形為 log4(3x－ 1)＝log4[(x－ 1)(3＋ x)]，即 3x－ 1＝ x2＋ 2x－ 3， 所以 x＝ 2 或 x＝－ 1，經(jīng)檢驗(yàn)， x＝ 2. 答案： (1)C (2)2 點(diǎn)評(píng) ：解對(duì)數(shù)方程要注意同解變形，所以驗(yàn)根是必不可少的一個(gè)環(huán)節(jié)． 例 3．如果函數(shù) y＝ a2x＋ 2ax－ 1(a0， a≠1)在區(qū)間 [－ 1,1]上的最大值是 14，求 a的值． 解析： 設(shè) t＝ ax，則 y＝ f(t)＝ t2＋ 2t－ 1＝ (t＋ 1)2－ 2. 當(dāng) a＞ 1時(shí)， t∈ [a－ 1， a]， ∴ ymax＝ a2＋ 2a－ 1＝ 14，解得 a＝ 3或 a＝－ 5(舍去