數(shù)學(xué)競賽-數(shù)列試題及答案-文庫吧
2024-12-30 02:37 本頁面
【正文】 |x|=1且y≠?x。 （）反之，如果條件（）或（）滿足，則當(dāng)n≥2時，必有an=常數(shù)，且常數(shù)是1或－1。（2）由（）和（），我們得到，n≥2。 （）記，則當(dāng)n≥2時，由此遞推，我們得到，n≥2， （）這里Fn=Fn?1+Fn?2，n≥2，F(xiàn)0=F1=1。 （）由（）解得。 （）上式中的n還可以向負向延伸，例如F?1=0，F(xiàn)?2=1。這樣一來，式（）對所有的n≥0都成立。由（）解得，n≥0。 （）式（）中的F?F?2由（）確定。7．(05)記集合將M中的元素按從大到小的順序排列，則第2005個數(shù)是（ ）A． B．C． D．解：用表示k位p進制數(shù)，將集合M中的每個數(shù)乘以，得 中的最大數(shù)為。在十進制數(shù)中，從2400起從大到小順序排列的第2005個數(shù)是24002004=396。而將此數(shù)除以，便得M中的數(shù)故選C。8．(05) 將關(guān)于的多項式表為關(guān)于的多項式其中則.解：由題設(shè)知，和式中的各項構(gòu)成首項為1，公比為的等比數(shù)列，由等比數(shù)列的求和公式，得：令得取有9．(05) 數(shù)列滿足：證明：（1）對任意為正整數(shù)；(2)對任意為完全平方數(shù)。證明：（1） ①?、冖佗诘谩、塾散凼郊翱芍瑢θ我鉃檎麛?shù).…………………………10分（2）將①兩邊配方，得④由③≡∴≡≡0（mod3）∴為正整數(shù)④式成立.是完全平方數(shù).………………………………………………………………20分10．(04) 已知數(shù)列a0，a1，a2，…，an，…滿足關(guān)系式(3－an+1)(6+an)=18，且a0=3，則的值是 ；解：=+，222。令bn=+，得b0=，bn=2bn－1，222。bn=180。2n．即=，222。=(2n+2－n－3)．11．(04) 在平面直角坐標(biāo)系XOY中，y軸正半軸上的點列{An}與曲線y=(x≥0)上的點列{Bn}滿足|OAn|=|OBn|=，直線AnBn在x軸上的截距為an，點Bn的橫坐標(biāo)為bn，n∈N*．⑴ 證明anan+14，n∈N*；⑵ 證明有n0∈N*，使得對?nn0，都有++…++n－2004．解：⑴ 點An(0，)，Bn(bn，)222。由|OAn|=|OBn|，222。bn2+2bn=()2，222。bn=－1(bn0)．∴ 0bn．且bn遞減，222。n2bn=n(－n)= =單調(diào)增．∴ 0n．222。令tn=且tn單調(diào)減．由截距式方程知，+=1，(1－2n2bn=n2bn2)∴ an====()2+()=tn2+tn=(tn+)2－≥(+)2－=4．且由于tn單調(diào)減，知an單調(diào)減，即anan+14成立．亦可由=bn+2．=，得 an=bn+2+，．∴ 由bn遞減知an遞減，且an0+2+180。=4．⑵ 即證(1－)2004．1－===k2(()2－()2) ≥180。．∴(1－)(+)+(+++)+…++++…．只要n足夠大，就有(1－)2004成立．12．(03) 刪去正整數(shù)數(shù)列1，2，3，……中的所有完全平方數(shù)，得到一個新數(shù)列，這個新數(shù)列的第2003項是A．2046 B．2
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