數(shù)列測試題答案高考數(shù)學(xué)專項訓(xùn)練-文庫吧
2024-12-30 02:23 本頁面
【正文】 任何成立 設(shè)數(shù)列的前項和為，且方程有一根為 （I）求 （II）求的通項公式提示:（1 ）為方程的根,代入方程可得將n=1和n=2代入上式可得 （2） 求出等,可猜想并用數(shù)學(xué)歸納法進(jìn)行證明本題主要考察1 一般數(shù)列的通項公式 求和公式間的關(guān)系（3） 方程的根的意義(根代入方程成立)（4） 數(shù)學(xué)歸納法證明數(shù)列的通項公式(也可以把分開為,可得解：(Ⅰ)當(dāng)n＝1時，x2－a1x－a1＝0有一根為S1－1＝a1－1，于是(a1－1)2－a1(a1－1)－a1＝0，解得a1＝ 當(dāng)n＝2時，x2－a2x－a2＝0有一根為S2－1＝a2－，于是(a2－)2－a2(a2－)－a2＝0，解得a1＝ (Ⅱ)由題設(shè)(Sn－1)2－an(Sn－1)－an＝0，即 Sn2－2Sn＋1－anSn＝0 當(dāng)n≥2時，an＝Sn－Sn－1，代入上式得Sn－1Sn－2Sn＋1＝0 ?、儆?Ⅰ)知S1＝a1＝，S2＝a1＋a2＝＋＝ 由①可得S3＝ 由此猜想Sn＝，n＝1，2，3，… ……8分下面用數(shù)學(xué)歸納法證明這個結(jié)論 (i)n＝1時已知結(jié)論成立 (ii)假設(shè)n＝k時結(jié)論成立，即Sk＝，當(dāng)n＝k＋1時，由①得Sk＋1＝，即Sk＋1＝，故n＝k＋1時結(jié)論也成立 綜上，由(i)、(ii)可知Sn＝對所有正整數(shù)n都成立 ……10分于是當(dāng)n≥2時，an＝Sn－Sn－1＝－＝，又n＝1時，a1＝＝，所以｛an｝的通項公式an＝，n＝1，2，3，… ……12分難道較大,不過計算較易,數(shù)列的前面一些項的關(guān)系也比較容易發(fā)現(xiàn) （本小題滿分12分）已知數(shù)列，其中記數(shù)列的前n項和為數(shù)列的前n項和為(Ⅰ)求；(Ⅱ) 設(shè) （其中為的導(dǎo)函數(shù)），計算本小題主要考察等差數(shù)列、等比數(shù)列的基礎(chǔ)知識，以及對數(shù)運(yùn)算、導(dǎo)數(shù)運(yùn)算和極限運(yùn)算的能力，同時考查分類討論的思想方法，滿分12分 解：（Ⅰ）由題意，是首項為，公差為的等差數(shù)列 前項和，（Ⅱ） 設(shè)數(shù)列的首項 （1）求的通項公式；（2）設(shè)，證明，其中為正整數(shù) 解：（1）由 整理得 又，所以是首項為，公比為的等比數(shù)列，得 （2）方法一： 由（1）可知，故 那么， 又由（1）知且，故，因此 為正整數(shù) 方法二：由（1）可知， 因為，所以 由可得， 即 兩邊開平方得 即 為正整數(shù) 已知,其中,設(shè), (I) 寫出。(II) 證明:對任意的,恒有 【解析】(I)由已知推得,從而有(II) 證法1:當(dāng)時, 當(dāng)x0時, ,所以在[0,1]上為增函數(shù)因函數(shù)為偶函數(shù)所以在[1,0]上為減函數(shù)所以對任意的因此結(jié)論成立 證法2: 當(dāng)時, 當(dāng)x0時, ,所以在[0,1]上為增函數(shù)因函數(shù)為偶函數(shù)所以在[1,0]上為減函數(shù)所以對任意的又因所以因此結(jié)論成立 證法3: 當(dāng)時, 當(dāng)x0時, ,所以在[0,1]上為增函數(shù)因函數(shù)為偶函數(shù)所以在[1,0]上為減函數(shù)所以對任意的由對上式兩邊求導(dǎo)得因此結(jié)論成立 【點評】本小題考查導(dǎo)數(shù)的基本計算,函數(shù)的性質(zhì),絕對值不等式及組合數(shù)性質(zhì)等基礎(chǔ)知識,考查歸納推理能力以及綜合運(yùn)用數(shù)學(xué)知識分析問題和解決問題的能力 已知數(shù)列中的相鄰兩項是關(guān)于的方程的兩個根，且 （I）求，，；（II）求數(shù)列的前項和；（Ⅲ）記，求證： 本題主要考查等差、等比數(shù)列的基本知識，考查運(yùn)算及推理能力 滿分15分 （I）解：方程的兩個根為，當(dāng)時， 所以；當(dāng)時，， 所以；當(dāng)時，， 所以時；當(dāng)時，， 所以 （II）解： （III）證明：，所以， 當(dāng)時，，同時， 綜上，當(dāng)時， 1 已知公比為的無窮等比數(shù)列各項的和為9，無窮等比數(shù)列各項的和為 (Ⅰ)求數(shù)列的首項和公比；(Ⅱ)對給定的,設(shè)是首項為，公差為的等差數(shù)列 求數(shù)列的前10項之和；(Ⅲ)設(shè)為數(shù)列的第項，求，并求正整數(shù)，使得存在且不等于零 (注：無窮等比數(shù)列各項的和即當(dāng)時該無窮數(shù)列前n項和的極限)1解: (Ⅰ)依題意可知,(Ⅱ)由(Ⅰ)知,所以數(shù)列的的首項為,公差,即數(shù)列的前10項之和為155 (Ⅲ) ===，=當(dāng)m=2時，=－，當(dāng)m2時，=0，所以m=21 A是由定義在上且滿足如下條件的函數(shù)組成的集合：①對任意，都有 ； ②存在常數(shù)，使得對任意的，都有（Ⅰ）設(shè)，證明：(Ⅱ)設(shè),如果存在,使得,那么這樣的是唯一的。(Ⅲ)設(shè),任取,令證明:給定正整數(shù)k,對任意的正整數(shù)p,成立不等式1解：對任意,所以對任意的，，所以0,令=，所以反證法:設(shè)存在兩個使得,則由，得，所以，矛盾，故結(jié)論成立 ，所以+…1 已知數(shù)列滿足，并且（為非零參數(shù)，）．（1）若成等比數(shù)列，求參數(shù)的值；（2）當(dāng)時，證明；當(dāng)時，證明1 （I）由已知，且若、成等比數(shù)列，則，即。 而， 解得。（II）由已知及，可得由不等式的性質(zhì)，有另一方面，因此，故（III）當(dāng)時，由（II）可知又由（II）則從而因此 1已知函數(shù)f(x)=x+ x，數(shù)列｜x｜(x＞0)的第一項x＝1，以后各項按如下方式取定：曲線x=f(x)在處的切線與經(jīng)過（0，0）和（x,f (x)）兩點的直線平行（如圖）.求證：當(dāng)n時，(Ⅰ)x （Ⅱ）1本題主要考查函數(shù)的導(dǎo)數(shù)、數(shù)列、不等式等基礎(chǔ)知識，以及不等式的證明，同時考查邏輯推理能力 證明：（I）因為所以曲線在處的切線斜率因為過和兩點的直線斜率是所以.（II）因為函數(shù)當(dāng)時單調(diào)遞增，而，所以，即 因此又因為 令則因為 所以因此 故1 已知為正整數(shù)，（I）用數(shù)學(xué)歸納法證明：當(dāng)時，；（II）對于，已知，求證，求證，；（III）求出滿足等式的所有正整數(shù) 1 本小題主要考查數(shù)學(xué)歸納法、數(shù)列求和、不等式等基礎(chǔ)知識和基本的運(yùn)算技能，考查分析問題能力和推理能力 解法1：（Ⅰ）證：用數(shù)學(xué)歸納法證明：（?。┊?dāng)時，原不等式成立；當(dāng)時，左邊，
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