【正文】 于圖像處理的目的以及圖像 F 的數(shù)學(xué) 模型 I ??????? ?? TOp e r a t o r P r o c e s s in g m a g e0 其中， T 代表圖像處理算子，如去噪、銳化、分割，壓縮或圖像修復(fù)。輸入數(shù)據(jù) Q0 可以是一幅圖也可以是圖像序列，輸出數(shù)據(jù) Q 是所有希望得到的圖像性質(zhì)。圖像處理的兩個基本問題是作為輸入的 Q0 和算子 T 的建模，它們是相對獨立但又緊密相連的： 算子 T 的性能很大程度上取決于輸入數(shù)據(jù)的模型。為了 能夠有效地處理圖像，首先需要知道如何從數(shù)學(xué)的角度理解和表示圖像。圖像模型和它的表示方法在很大程度決定了圖像的處理模型。把圖像看作像素點集合的基礎(chǔ)上，以像素點集合為基礎(chǔ)的數(shù)學(xué)模型可表達(dá)三種不同的模型，即隨機場模型，小波 模型和正則空間模型，它們分別從概率統(tǒng)計、小波分析和偏微分 程這三方面來研究圖 像處理。 小波應(yīng)用圖像處理的本質(zhì)是一個函數(shù)逼近問題，小波可以構(gòu)成 Hilbert 空間的規(guī)范正交基，給出了圖像的多尺度表示： ? ? ???? ? ?????? ZnJj Zn nJnJnJnJ ffx11 , ,)(f ???? 對圖像的稀疏逼近為圖像的高效壓縮等圖像處理 提供了可能。 小波分析在圖像處理中的應(yīng)用 小波分析在圖像處理中的應(yīng)用主要表現(xiàn)在以下幾個方面： ⑴ 圖像去噪 噪聲的產(chǎn)生是一個隨機過程，噪聲分量灰度值是一個隨即變量，其統(tǒng)計特性 由概率密度函數(shù)表征， 白噪聲、高斯噪聲、泊松噪聲是三種形式常見的重要噪聲 ； 設(shè)長度為 N的信號 fn被噪聲 en所污染，所測得的含噪數(shù)據(jù)為： nn efX ??n 去噪的目標(biāo)是從含噪數(shù)據(jù) X得到信號 x的一個逼近信號 x’ ,使得在某種誤差準(zhǔn)則估計下 x’ 是 x的最佳逼近。 小波去噪的基本策略是將含噪信號進(jìn)行多尺度小波變換， 從時域變換到小波域，然后在各尺度下盡可能提取信號的小波系數(shù)，而去除屬于噪聲的變換系數(shù)，然后由小波逆變換重構(gòu)信號。 閥 值去噪的主要理論依據(jù)是，小波變換具有很強的數(shù)據(jù)去相關(guān)性，能夠使信號的能量在小波域集中在少量的大的小波系數(shù)中，而噪聲卻分布在整個小波域 ，經(jīng)小波分解后 ，信號的小波系數(shù)的幅值要大于噪聲的小波系數(shù)的幅值，于是可以采用閥 值的辦法把信號的小波系數(shù)保留，而使大部分噪聲的小波系數(shù)減少為零，閥值去噪主要思想是對小 波分解后的除了最低頻以外的各層系數(shù)模對大于和小于某閾值 系數(shù)分別處理，然后對處理完的小波系數(shù)再反變換重 構(gòu)出一幅經(jīng)去噪后的圖像。在 小波閾值收縮去噪法中最為重要的就是如何選擇閾值和閾值函數(shù)， 大多數(shù)閥 值 選擇過程是針對一組小波系數(shù)，即根據(jù)本組小波系數(shù)的統(tǒng)計特性，計算出一個閾值。 閾值函數(shù)主要可以分為如下三種： 硬閾值函數(shù) 它假定幅值大于 門限 T的小波系數(shù)都是由信號貢獻(xiàn)的，而小于門限 T的小波系數(shù) 來至于噪聲。實驗表明這種取 門 限的方式有時并不太令人滿意。 軟閾值函數(shù) 硬閾值方法可以很好保留圖像邊緣等局部特征，但圖像會出現(xiàn)振鈴、偽吉布斯效應(yīng)等視覺失真，閾值方法處理結(jié)果相對平滑得多，但是 軟閾值方法會造成邊緣模糊等失真現(xiàn)象。 半軟閥值函數(shù) 該方法通過選擇合適的閾值 T1和 T2， 可以在軟閥 值方法和硬閾值方法之間達(dá)到很好的折中。 閥 值去噪算法 閥值去噪具體的算法步驟如下： ① 選擇合適的小波函數(shù)，對于長度為 N(設(shè) N=2J)的含噪信號 (常采用周期延拓方法 )進(jìn)行小波變換，利用小波交換的快速算法獲得低分辨率 L(O≤ 0J)下的尺度系數(shù) {VL,K K=1,2,… ,2L}及各分辨率下的小波系數(shù) {Wj,k， j=L,L+1,… J1,k= 1,2,… ,2L)其中尺度系數(shù)和小波系數(shù)共 N個。 ② 為保持信號的整體形 狀不變，保留所有的低頻系數(shù) {VL,K K=1,2,… ,2L}，對小 波系數(shù)進(jìn)行非線性閾值處理。 對每個小波系數(shù)，采用軟閾值和硬閾值方法進(jìn)行處 理。 ③ 進(jìn)行逆小波變換。由所有低頻尺度系數(shù)，以及經(jīng)由閾值處理后的小波系數(shù)作逆小波變換進(jìn)行重構(gòu)，得到恢復(fù)的原始信號的估計值。 ⑵ 圖像壓縮 小波分析用于信號與圖像壓縮是小波分析應(yīng)用的一個重要方面。它的特點是壓縮比高，壓縮速度快，壓縮后能保持信號與圖像的特征不變，且在傳遞 中可抗干擾。 由于小波分析固有的時頻特性，我們可以在時頻兩個方向?qū)ο禂?shù)進(jìn)行處理，這樣就可以對我們感興趣的 部分提供不同的壓縮精度。 ⑶圖形增強 圖像增強問題主要通過時域和頻域處理兩種方法來解決。時域方法通過直接在圖像點上作用算子或掩碼來解決，頻域方法通過修改傅立葉變換系數(shù)來解決。這兩種方法的優(yōu)劣很明顯，時域方法方便快速但會丟 失很多點之間的相關(guān)信息，頻域方法可以很詳細(xì)地分離出點之間的相關(guān) ,但計算量大得多。小波分析是以上兩種方法的權(quán)衡結(jié)果， 傅立葉分析 在所有點的分辨率都是原始圖像的尺度 ， 但 我們可能不需要這么大的分辨率，而單純的時域分析又顯 得太粗糙，小波分析的多尺度分析特性為用戶提供了更靈活的處理方法， 可以選擇任意的 分解層數(shù) ，用近 可能少的計算量得到我們滿意的結(jié)果。 ⑷ 圖像融合 圖像融合 是將同一對象的兩個 或更多的圖像合成在一幅圖像中，以便它比原來的任何一幅圖像更容易 為人們所理解。這 一技術(shù)可應(yīng)用于多頻譜圖像理解以及醫(yī)學(xué)圖像處理等領(lǐng)域。在這些場合， 同一物體部件的圖像往往是采用不同的成像機理得到的。 3 MATLAB 仿真 下面 先 利用小波分析 對含噪 的 二維圖像 wbard 進(jìn)行去噪處理， 對比去噪效果， 然后對去噪后的圖像進(jìn)行銳化處理。 再對 原 二維圖像 wbarb進(jìn)行 壓縮 處理 ，之后再 對 wbarb和 woman 圖像進(jìn)行融合處理。 Matlab 程序 如下： load wbarb %下面進(jìn)行噪聲的產(chǎn)生 init=3718025452。 rand(39。seed39。,init)。 Xnoise=X+50*(rand(size(X)))。 %顯示原始圖像及它的含噪聲的圖像 colormap(map)。 figure(1)。 subplot(2,2,1)。image(wcodemat(X,192))。 title(39。原始圖像 X39。) subplot(2,2,2)。image(wcodemat(Xnoise,192))。 title(39。含噪聲的圖像 Xnoise39。)。 %用 sym5 小波對圖像信號進(jìn)行二層的小波分解 [c,s]=wavedec2(X,2,39。sym539。)。 %下面進(jìn)行圖像的去噪處理 %使用 ddencmp 函數(shù)來計算去噪的默認(rèn)閾值 %使用 wdencmp 函數(shù)來實現(xiàn)圖像的壓縮 [thr,sorh,keepapp]=ddencmp(39。den39。,39。wv39。,Xnoise)。 [Xdenoise,cxc,lxc,perf0,perfl2]=wdencmp(39。gbl39。,c,s,39。sym539。,2,thr,sorh,keepapp)。 %顯示去噪后的圖像 subplot(223)。image(Xdenoise)。 title(39。去噪后的圖像 39。)。 %對去噪后的圖像做銳化處理 blur2=Xdenoise。 %對圖像做 2 層的二維小波分解 [c,l]=wavedec2(Xdenoise,2,39。db339。)。 csize=size(c)。 %對低頻系數(shù)進(jìn)行放大處理，并抑制高頻系數(shù) for i=1:csize(2)。 if(abs(c(i))300) c(i)=c(i)*2。 else c(i)=c(i)/2。 end end %通過處理后的小 波系數(shù)重構(gòu) 圖像 blur2=waverec2(c,l,39。db339。)。 subplot(224)。image(wcodemat(blur2,192))。colormap(gray(256))。title(39。銳化去噪后的圖像 39。)。 %圖像壓縮處理 figure(2)。 subplot(221)。image(X)。colormap(map) title(39。原始圖像 39。)。 disp(39。壓縮前圖像 X 的大?。?39。)。 whos(39。X39。) %對圖像用 小波進(jìn)行 2 層小波分解 [c,s]=wavedec2(X,2,39。39。)。 %提取小波分解結(jié)構(gòu)中第一層低頻系數(shù)和高頻系數(shù) ca1=appcoef2(c,s,39。39。,1)。 ch1=detcoef2(39。h39。,c,s,1)。 cv1=detcoef2(39。v39。,c,s,1)。 cd1=detcoef2(39。d39。,c,s,1)。 %分別對各頻率成分進(jìn)行重構(gòu) a1=wrcoef2(39。a39。,c,s,39。39。,1)。 h1=wrcoef2(39。h39。,c,s,39。39。,1)。 v1=wrcoef2(39。v39。,c,s,39。39。,1)。 d1=wrcoef2(39。d39。,c,s,39。39。,1)。 c1=[a1,h1。v1,d1]。 %顯示分解后各頻率成分的信息 subplot(222)。image(c1)。 title(39。分解后低頻和高頻信息 39。)。 %保留小波分解第一層低頻信息，進(jìn)行圖像的壓縮 %第一層的低頻信息即為 ca1，顯示第一層的低頻信息 %首先對第一層信息進(jìn)行量化編碼 ca1=appcoef2(c,s,39。39。,1)。 ca1=wcodemat(ca1,440,39。mat39。,0)。 %改變圖像的高度 ca1=*ca1。 subplot(223)。image(ca1)。colormap(map)。 title(39。第一次壓縮 39。)。 disp(39。第一次壓縮圖像的大小為： 39。)。 whos(39。ca139。) %保留小波分解第二層低頻信息，進(jìn)行圖像的壓縮，此時壓縮比更大 %第二層的低頻信息即為 ca2，顯示第二層的低頻信息 ca2=appcoef2(c,s,39。39。,2)。 %首先對第二層信息進(jìn)行量化編碼 ca2=wcodemat(ca2,440,39。mat39。,0)。 %改變圖像的高度 ca2=*ca2。 subplot(224)。image(ca2)。colormap(map)。 axis square title(39。第二次壓縮 39。)。 disp(39。第二次壓縮圖像的大小為： 39。)。 whos(39。ca239。) %圖像融合 figure(3)。 X2=X。map2=map。 subplot(221)。image(X2)。colormap(map2)。 title(39。wbarb39。)。 load woman。 X1=X。map1=map。 %畫出原始圖像