《工學(xué)格林公式》ppt課件-文庫吧
2024-12-28 11:19 本頁面
【正文】 DdxdyyPxQ )(????? ????? CEA F CBALAB 2{ ??? ????? C G AECL Q d yP d x )(}3? ?? L Q d yPd x? ? ? ???? 2 3 1 ))(( L L L Qd yP d x),( 32,1 來說為正方向?qū)?DLLL格林公式的實質(zhì)： 溝通了沿閉曲線的積分與二重積分之間的聯(lián)系。 ? ? ??? L x d yy d x ? ? ???? L x d yy d xS 21可用于計算平面區(qū)域的面積。 公式，則由特別地：若 G r e e nxQyP ??? ,???? ??????? ?????DDd x d yd x d yyPxQ 2? ???? L xdySxQP 得取 ,0? ? ????? L y d ySQyP 得取 ,0,x y o L 例 1 計算 ?ABxdy , 其中曲線 AB 是半徑為 r 的圓在第一象限部分 . 解 引入輔助曲線 L , A B DBOABOAL ???應(yīng)用格林公式 , xQP ?? ,0 有 ??? ?? LDx d yd x d y,??? ??? BOABOA xdyxdyxdy,0,0 ?? ?? BOOA x d yx d y由于.41 2rdxdyxdyDAB?????? ???例 2 計算 dxyxdyyxL)()3( ???? , 其中 L 是 圓周9)4()1( 22 ???? yx ， 取逆時針方向。 解 }9)4()1(|),{( 22 ????? yxyxD d x d yyxyyxxD?? ?????????????)()3( ?? 18322 2 ???? ??Dd x dy例 3 計算 ?? ?Dy dxdye 2 , 其中 D 是以)1,0(),1,1(),0,0( BAO 為頂點的三角形閉區(qū)域 . 解 令 2,0 yxeQP ??? ,x y o AB11 D則 2yeyPxQ ??????? ,應(yīng)用格林公式 , 有??????? ?BOABOAyDy dyxed xd ye 22?? ?? ?? 10 22 dxxedyxe xOA y).1(21 1??? e例 4 計算 ???L yxx d yy d x22, 其中 L 為： 1) 1)1()2( 22 ???? yx 的正向； 2) 122 ?? yx 的正向。 則當(dāng) 022 ?? yx 時 , 有yPyxyxxQ????????22222)(. 1 ) }1)1()2(|),{( 22 ????? yxyxD , 在 D 內(nèi) 解 令 2222 ,yxxQyxyP????? , P， Q具有一階連續(xù)導(dǎo)數(shù)， 由 Green公式，有： 0???L Qd yP d x, oyx21 3?2) 當(dāng) L 為 122 ?? yx 的正向時 , 原點在區(qū)域內(nèi)，QP , 在原點無定義，因此不存在偏導(dǎo)數(shù)，不符合公式的條件。 ???? 20,s i nc o s ???????yx令 ? ?? ??????L dyx xdyy d x ? ?? ?? ?20 c o ssi n c o ssi n22 22 22??? 220 ???? ? dyxC?0???????????????? ???? ?L CDQ d yP d xd x d yxQyP利用 Green公式，挖掉原點，作以為 ?半徑，原點為圓心的小園，在挖掉的區(qū)域內(nèi)用 Green公式。 L?? ?? ????? CL Qd yP d xQd yP d x?2??(其中 C 的方向取順時針方向 ) D為任一區(qū)域時，結(jié)果相同： 1) 不包含原點的任意封閉曲線； 2) 以原點為中心的正向單位園； 3) 包含原點的任意正向閉曲線。 yyexyxQxxxyyxP????2),(s i n32),(解 xQxyP?????? 2例 5 計算 ? ???Ly dyyexdxxxxy )()s i n32( 2,其中 L 為 沿擺線 tyttx c os1,s i n ???? 從 (0,0)到 )2,0( ? 的弧段 。 所給積分曲線不是封閉曲線，化定積分計算太復(fù)雜。（可試算）
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