【正文】 0 j?? j??7 8 1 2 3 j??8 31 55 j?8 6 6 0 0 j??000 ?3,2 ?NP2 5 6 j??4 3 0 j??5 5 3 j??6 4 6 j??000 ?1 9 5 8 0 j??3 4 3 j?? 000 ?4,3 ?NP 4P 階 數(shù)N分 母 多 項(xiàng) 式1234567890b 1b 2b 3b 4b 5b 6b 7b 8b1 . 0 0 0 01 . 0 0 0 01 . 0 0 0 01 . 0 0 0 01 . 0 0 0 01 . 0 0 0 01 . 0 0 0 01 . 0 0 0 01 . 0 0 0 01 . 4 1 4 22 . 0 0 0 02 . 6 1 3 13 . 2 3 6 13 . 8 6 3 74 . 4 9 4 05 . 1 2 5 85 . 7 5 8 82 . 0 0 0 03 . 4 1 4 25 . 2 3 6 17 . 4 6 4 11 0 . 0 9 7 81 3 . 1 3 7 11 6 . 5 8 1 72 . 6 1 35 . 2 3 6 19 . 1 4 1 61 4 . 5 9 1 82 1 . 8 4 6 23 1 . 1 6 3 43 . 2 3 6 17 . 4 6 4 11 4 . 5 9 1 82 5 . 6 8 8 44 1 . 9 8 6 43 . 8 6 3 71 0 . 0 9 7 82 1 . 8 6 4 24 1 . 9 8 6 44 . 4 9 4 01 3 . 1 3 7 13 1 . 1 6 3 45 . 1 2 5 81 6 . 5 8 1 7 5 . 7 5 8 8012211)( bpbpbpbppBNNNNN ?????? ???? ? 238 階 數(shù)N分 母 因 式123456789)( pB)1)(18 7 9 )(15 3 2 )(1)(13 4 7 ( 2222 ????????? ppppppppp)19 6 1 )(16 6 2 )(11 1 1 )(13 9 0 ( 2222 ???????? pppppppp)1)(18 0 1 )(12 4 7 )(14 4 5 ( 222 ??????? ppppppp)19 3 1 )(14 1 4 )(15 1 7 ( 222 ?????? pppppp)1)(16 1 8 )(16 1 8 ( 22 ????? ppppp))(( 22 ???? pppp)1)(1( 2 ??? ppp)( 2 ?? pp)1( ?p （ 3） 設(shè)計(jì)模擬高通 、帶通和帶阻 濾波器 下面僅給出 圖 108 中第二步和第四步所涉及的轉(zhuǎn)換公式。 先規(guī)定一些符號如下： 低通濾波器的歸一化系統(tǒng)函數(shù)用 )(pG 表示，令 ?jp? ， ? 稱為歸一化頻率， p 稱為歸一化復(fù)變量。 需要設(shè)計(jì)的濾波器（高通、帶通和帶阻）的歸一化系統(tǒng)函數(shù)用 )(qH 表示，令 ?jq? ，? 稱為歸一化頻率， q 稱為歸一化復(fù)變量。 ① 低通到高通的頻率變換 低通和高通濾波器的幅頻特性如 圖 109 所示。 ?)( ?jGp?sO )( ?jHO?s?p 圖 109 低通和高通濾波器的幅頻特性 圖中， p? 和 s? 分別稱為低通濾波器的歸一化通 帶截止頻率和歸一化阻帶截止頻率； p? 和 s? 239 分別稱為高通濾波器的歸一化通帶下限頻率和歸一化阻帶上限頻率。 低通到高通的頻率變換公式 為： ?? 1? 所以，有： pp ??1? ，ss ??1? 低通濾波器的歸一化系統(tǒng)函數(shù) )(pG 到高通濾波器的實(shí)際系統(tǒng)函數(shù) )(sH 的轉(zhuǎn)換關(guān)系為： sp cpGsH ??? )()( ② 低通到帶通的頻率變換 低通和帶通濾波器的幅頻特性如 圖 1010 所示。 ?)( ?jGp?sO )( ?jHO1s?lp?s?u?2s0?1s? 2s?l u0? 圖 1010 低通和帶通濾波器的幅頻特性 圖中， u? 和 l? 分別稱為帶通濾波器的通帶上限頻率和通帶下限頻率，令 luB ?? ?? ，稱 B 為通帶帶寬，一般用 B 作為歸一化參考頻率， 1s? 和 2s? 分別稱為下阻帶的上限頻率和上阻帶的下限頻率。另外定義 ul??? ?20 ，稱 0? 為通帶中心頻率。 低通到帶通的頻率變換公式為： ????202 ?? 所以，有： 240 1?p? ，22022sss ? ??? ?? ，１１sss ? ??? 202 ??? s? 與 s?? 的絕對值可能不相等，一般取絕對值小的 s? 。 低通濾波器的歸一化系統(tǒng)函數(shù) )(pG 到帶通濾波器的實(shí)際系統(tǒng)函數(shù) )(sH 的轉(zhuǎn)換關(guān)系為： )(22022022 )()()()( lu lusspsBspsBBsp pGpGpGsH ?? ???? ??????? ??? ③ 低通到帶阻的頻率變換 低通和帶阻濾波器的幅頻特性如 圖 1011 所示。 ?)( ?jGp?sO )( ?jHO1s?lp?s?u?2s01s? 2s?l u0 圖 1011 低通和帶阻濾波器的幅頻特性 圖中， u? 和 l? 分別稱為帶阻濾波器的上通帶截止頻率和下通帶截止頻率， 1s? 和 2s? 分別稱為阻帶的下限頻率和上限頻率， 0? 為阻帶中心頻率，令 luB ?? ?? ，稱 B 為阻帶帶寬，一般用 B 作為歸一化參考頻率。另外，定義 ul??? ?20 。 低通到帶阻的頻率變換公式為： 202 ?? ?? ??? 所以，有： 1?p? ， 202 ???? ???１１sss ， 20222?? ?? ????sss s? 與 s?? 的絕對值可 能不相等，一般取絕對值小的 s? 。 241 低通濾波器的歸一化系統(tǒng)函數(shù) )(pG 到帶阻濾波器的實(shí)際系統(tǒng)函數(shù) )(sH 的轉(zhuǎn)換關(guān)系為： lu lussps sBpBs sBp pGpGpGsH ?? ???? ? ?????? ??? 22022022)()()()()( 借助 模擬 濾波器設(shè)計(jì) IIR 數(shù)字濾波器 由于 模擬濾波器的理論和設(shè)計(jì)方法已發(fā)展得相當(dāng)成熟，而且有多種具有優(yōu)良特性的典型模擬濾波器可供選用，所以常常借助模擬濾波器來設(shè)計(jì)數(shù)字濾波器，其設(shè)計(jì)流程圖如圖1012 所示。 1 、 確 定 數(shù) 字 濾 波 器 的 指 標(biāo) 參 數(shù)2 、 選 擇 合 適 的 數(shù) 字 濾 波 器 設(shè) 計(jì)方 法 ， 將 數(shù) 字 濾 波 器 的 指 標(biāo) 轉(zhuǎn) 換成 相 應(yīng) 模 擬 濾 波 器 的 指 標(biāo)3 、 設(shè) 計(jì) 相 應(yīng) 模 擬 濾 波 器 的 系 統(tǒng)函 數(shù))(sHa4 、 用 所 選 設(shè) 計(jì) 方 法 將 轉(zhuǎn) 換成 數(shù) 字 濾 波 器 的 系 統(tǒng) 函 數(shù))(sHa )(z 圖 1012 借助模擬濾波器設(shè)計(jì)數(shù)字濾波器的流程圖 圖 1012 中的第三步前面已經(jīng)介紹過。所以只要掌握了第二步和第四步，就可以完成數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì)。下面分別歸納用脈沖響應(yīng)不變法和雙線性變換法將 )(sHa 轉(zhuǎn)換成 )(zH 的方法與公式，以及相應(yīng)的數(shù)字頻率 ? 與模擬頻率 ? 之間的關(guān)系式。 （ 1）沖激響應(yīng)不 變法 設(shè)模擬濾波器的系統(tǒng)函數(shù) )(sHa 只有單階極點(diǎn)，且假定分母的階次大于分子的階次。用 沖激 響應(yīng)不變法將 )(sHa 轉(zhuǎn)換成 )(zH 的方法如下： ① 將 )(sHa 展開成部分分式： ?? ?? Ni iia ss AsH 1)( ② 將 s 平面的極點(diǎn) is 映射成 z 平面的極點(diǎn) Tsie ， )(zH 的表達(dá)式為： ?? ??? Ni Ts i zeAzH i1 11)( 且滿足 )()( nThnh a? ， T 為采樣間隔。 242 數(shù)字濾波器的頻率響應(yīng) )( ?jeH 和模擬濾波器的頻率響應(yīng) )( ?jHa 之間的關(guān)系為： ????? ?? k aj kTjjHTeH )2(1)( ??? ， T??? 上式表明， )( ?jeH 是 )( ?jHa 的周期延拓，且模擬頻率 ? 和數(shù)字頻率 ? 之間呈線性關(guān)系T??? 。只有當(dāng) )( ?jHa 是帶限的，且?guī)抻谡郫B頻率以內(nèi)時(shí)，才不會產(chǎn)生頻率混疊。因此，模擬濾波器的頻率特性應(yīng)滿足條件： 0)( ??jHa Ts ??? ?? 2 那么 )(1)( ?? jHTeH aj ? ??? 此時(shí)數(shù)字濾波器可以很好地重現(xiàn)原模擬濾波器的頻率響應(yīng)，這就是 沖激 響應(yīng)不變法的優(yōu)點(diǎn)。但是，任何一個(gè)實(shí)際模擬濾波器的頻率響應(yīng)都不是嚴(yán)格帶限的，這樣就一定會發(fā)生程度不同的混疊失真，這是該方法的缺點(diǎn)，使其不能用于設(shè)計(jì)高通和帶阻濾波器。 由于數(shù)字濾波器的頻率響應(yīng)與采樣間隔 T 成反比，當(dāng) T 較小時(shí)，濾波器增益就會太高。為避免這一現(xiàn)象，可做以下修正，令 )()( nTThnh a? 則有： )()( ?? jHeH aj ? ??? ?? ??? Ni Ts i zeTAzH i1 11)( （ 2）雙線性變換法 雙線性變換法的設(shè)計(jì)思想是 首先把整個(gè) s 平面壓縮變換到某一中介的 1s 平面的一條水平帶里（寬度為 T?2 ，即從 T?? 到 T? ），用正切變換實(shí)現(xiàn)頻率壓縮： )21tan(2 1TT ?? ? 則有： TsTseeTs11112????? 然后通過變換關(guān)系 Tsez 1? 將此水平帶變換到整個(gè) z 平面上，從而得到 s 平面和 z 平面的映射關(guān)系為： 243 11112????? zzTs sTsTz??? 22 用 雙線性變換法 將 )(sHa 轉(zhuǎn)換成 )(zH 的公式為： 11112)()( ?????? zzTsa sHzH T 為采樣間隔。 模擬頻率 ? 與數(shù)字頻率 ? 之間的關(guān) 系為： )2tan(2 ?? T? 上式表明雙線性變換法存在非線性頻率失真，這是該方法的缺點(diǎn)。但正是由于這種非線性失真，將 s 平面的虛軸 ),( ??? 壓縮為 z 平面單位圓一周 ],[ ??? ，才徹底消除了頻率混疊失真。而且這種非線性對設(shè)計(jì)具有片斷常數(shù)特性的數(shù)字濾波器基本無影響。但將數(shù)字濾波器的指標(biāo)轉(zhuǎn)換成相應(yīng)模擬濾波器的指標(biāo)時(shí)，必須進(jìn)行頻率預(yù)畸變 校正。 為了簡化設(shè)計(jì)，已經(jīng)將 )(sHa 的系數(shù)與 )(zH 的系數(shù)之間的關(guān)系列成表格，供設(shè)計(jì)時(shí)使用。設(shè)模擬系統(tǒng)函數(shù)的表達(dá)式為： kkkka sBsBsBB sAsAsAAsH ???? ????? ??22102210)( 若分子多項(xiàng)式的階次小于分母多項(xiàng)式的階次，則令分子多項(xiàng)式的最高幾個(gè)階次的系數(shù)為零即可。又設(shè) )(sHa 經(jīng)雙線性變換后得到 )(zH 的表達(dá)式為： kkkkzbzbzb zazazaazH ?????????? ????? ? ?2211221101)( 表 102 給出了一階到三階的 )(zH 系數(shù)用 )(sHa 系數(shù)表示的結(jié)果： 244 表 102 系數(shù)關(guān)系表 1?k2?k3?kA0a11b CBB 10 ? ACAA /)(10 ? ACAA /)( 10 ?ACBB /)( 10 ?A0a11b2a20a11b2a2A33b2210 CBCBB ??ACACAA /)( 2210 ?? ACAA /)22( 220 ? ACACAA /)( 2210 ?? ACBB /)22( 220 ?ACBCBB /)( 2210 ??332210 CBCBCBB ???ACACACAA /)( 332210 ???ACACACAA /)33( 332210 ???ACACACAA /)33( 332210 ???ACACACAA /)( 332210 ???ACBCBCBB /)33( 332210 ???ACBCBCBB /)33( 332210 ???ACBCBCBB /)( 332210 ??? 表