【正文】 求出此時 t的值；若不存在，說明理由； （ 4）如圖 ② ，連接 PC，并把△ PQC 沿 QC翻折，得到四邊形 PQP′ C，那么是否存在某一時刻 t，使四邊形 PQP′ C為菱形？若存在，求出此時菱形的邊長；若不存在，說明理由． 28. （ 2022 年江蘇省南通市） 已知雙曲線 ky x? 與直線 14yx? 相交于 A、 B兩點 .第一象限上的點 M（ m， n）（在 A 點左側）是雙曲線 ky x? 上的動點 .過點 B作 BD∥ y軸于點 N（ 0，－ n）作 NC∥ x軸交雙曲線 ky x? 于點 E，交 BD于點 C. （ 1）若點 D坐標是（－ 8， 0），求 A、 B兩點坐標及 k的值 . （ 2）若 B是 CD的中點，四邊形 OBCE 的面積為 4，求直線 CM的解析式 . （ 3）設直線 AM、 BM分別與 y軸相交于 P、 Q兩點，且 MA＝ pMP， MB＝ qMQ，求 p－ q的值 . 29. （ 2022 年江蘇省無錫市） 一種電訊信號轉發(fā)裝置 的發(fā)射直徑為 31km．現要求：在一邊長為 30km 的正方形城區(qū)選擇若干個安裝點，每個點安裝一個這種轉發(fā)裝置，使這些裝置轉發(fā)的信號能完全覆蓋這個城市．問： （ 1）能否找到這樣的 4 個安裝點，使得這些點安裝了這種轉發(fā)裝置后能達到預設的要求？ （ 2）至少需要選擇多少個安裝點，才能使這些點安裝了這種轉發(fā)裝置后達到預設的要求？ 答題要求： 請你在解答時，畫出必要的示意圖，并用必要的計算、推理和文字來說明你的理由．（下面給出了幾個邊長為 30km 的正方形城區(qū)示意圖，供解題時選用） 壓軸題答案 1. 解：（ 1） 由已知得： 310c bc???? ? ? ??解得 c=3,b=2 ∴拋物線的線的解析式為 2 23y x x? ? ? ? (2)由頂點坐標公式得頂點坐標為（ 1， 4） 所以對稱軸為 x=1,A,E關于 x=1 對稱，所以 E(3,0) 設對稱軸與 x軸的交點為 F 所以四邊形 ABDE的面積 = ABO D FEBO FDS S S????梯 形 = 1 1 1()2 2 2A O B O B O D F O F E F D F? ? ? ? ? ? = 1 1 11 3 ( 3 4 ) 1 2 42 2 2? ? ? ? ? ? ? ? =9 （ 3）相似 如圖， BD= 2 2 2 21 1 2B G D G? ? ? ? BE= 2 2 2 23 3 3 2B O O E? ? ? ? DE= 2 2 2 22 4 2 5D F E F? ? ? ? 所以 2220BD BE??, 2 20DE? 即： 2 2 2BD BE DE??,所以 BDE? 是直角三角形 所以 90AOB DBE? ? ? ? ?,且 22AO BOBD BE??, 所以 AOB DBE??. 2. (1) ∵ A， B 兩點的坐標分別是 A(10， 0)和 B(8， 32 )， ∴ 3810 32O A Btan ???? ， ∴ ??? 60OAB 當點 A180。在線段 AB 上時， ∵ ??? 60OAB ， TA=TA180。， ∴△ A180。TA 是 等邊三角形，且 ATTP ?? ， ∴ )t10(2360s i n)t10(TP ????? ， )t10(21AT21APPA ????? ， ○ 2 當 6t2 ?? 時，由圖 ○ 1 ，重疊部分的面積 EBATPA SSS ???? ?? ∵ △ A180。EB 的高是 ?? 60sinBA ， ∴ 23)4t10(21)t10(83S 22 ?????? 34)2t(83)28t4t(83 22 ???????? 當 t=2 時， S 的值最大是 34 ； ○ 3 當 2t0 ?? ，即當點 A180。和點 P 都在線段 AB 的延長線是 (如圖 ○ 2 ，其中 E 是 TA180。與 CB 的交點， F 是 TP 與 CB 的交點 )， ∵ E T FFT PE F T ????? ，四邊形 E AB 是等腰形， ∴ EF=ET=AB=4， ∴ 3432421OCEF21S ?????? 綜上所述， S 的最大值是 34 ，此時 t 的值是 2t0 ?? . 3. 解：（ 1） RtA? ? ? ， 6AB? ， 8AC? ， 10BC??． 點 D 為 AB 中點， 1 32BD AB? ? ?． 90DHB A? ? ? ?， BB? ?? ． BH D BA C?△ ∽ △ ， DH BDAC BC??， 3 1 281 0 5BDD H A CBC? ? ? ? ?． （ 2） QR AB∥ ， 90QR C A? ? ? ? ?． CC? ?? ， RQC ABC?△ ∽ △ ， RQ QCAB BC??， 106 10yx??? ， 即 y 關于 x 的函數關系式為： 3 65yx?? ? ． （ 3）存在，分三種情況： ① 當 PQ PR? 時，過點 P 作 PM QR? 于 M ，則 QM RM? ． 1 2 90? ?? ? ， 2 90C? ?? ? ， 1 C?? ?? ． 84c o s 1 c o s 1 0 5C? ? ? ? ?， 45QMQP??， 13 642512 55x??????????， 185x?? ． ② 當 PQ RQ? 時， 3 12655x? ? ? ， 6x??． ③ 當 PR QR? 時，則 R 為 PQ 中垂線上的點， 于是點 R 為 EC 的中點， 11 224C R C E A C? ? ? ?． ta n QR BAC CR CA??， 3 6 6528x????， 152x?? ． 綜 上所述，當 x 為 185 或 6 或 152 時， PQR△ 為等腰三角形． 4. 解： （ 1） ∵ MN∥ BC， ∴∠ AMN=∠ B， ∠ ANM＝ ∠ C． ∴ △ AMN ∽ △ ABC． ∴ AM ANAB AC?，即 43x AN? ． ∴ AN＝43x． ……………2 分 ∴ S = 21 3 32 4 8M N P A M NS S x x x??? ? ? ? ?． （ 0＜ x ＜ 4） ……………3 分 （ 2）如圖 2，設直線 BC 與 ⊙ O 相切于點 D，連結 AO， OD，則 AO =OD =21MN． 在 Rt△ ABC 中， BC ＝ 22AB AC? =5． 由（ 1）知 △ AMN ∽ △ ABC． ∴ AM MNAB BC?，即 45x MN? ． ∴ 54MN x? ， ∴ 58OD x? ． …………………5 分 過 M 點作 MQ⊥ BC 于 Q，則 58MQ OD x??． 在 Rt△ BMQ 與 Rt△ BCA 中， ∠ B 是公共角， ∴ △ BMQ∽△ BCA． ∴ BM QMBC AC?． ∴ 55 2583 2 4xBM x???， 25 424A B B M M A x x? ? ? ? ?． ∴ x＝4996． ∴ 當 x ＝4996時，⊙ O 與直線 BC 相切 ． ………………………………… 7 分 故 以下分兩種情況討論： ① 當 0＜ x ≤ 2 時， 2Δ 83 xSy PMN ??． ∴ 當 x ＝ 2 時， ? ? ?最 大 ……………………………………8 分 ② 當 2＜ x ＜ 4 時，設 PM， PN 分別 交 BC 于 E， F． ∵ 四邊形 AMPN 是矩形 ， ∴ PN∥ AM， PN＝ AM＝ x． 又 ∵ MN∥ BC， ∴ 四邊形 MBFN 是平行四邊形． ∴ FN＝ BM＝ 4－ x． ∴ ? ?4 2 4P F x x x? ? ? ? ?． 又 △ PEF ∽ △ ACB． ∴ 2 PEFABCSPFAB S????????? ． ∴ ? ?23 22PEFSx? ??． … … … … … … … … … … … … … … … … … … 9 分 MNP PEFy S S????＝ ? ? 2223 3 92 6 68 2 8x x x x? ? ? ? ? ?． …………………… 10 分 當 2＜ x ＜ 4 時， 29 668y x x? ? ? ? 298 283x??? ? ? ?????． ∴ 當 83x? 時， 滿足 2＜ x ＜ 4， 2y ?最 大 ． ……………………11 分 綜上所述，當 83x? 時， y 值最大，最大值是 2． …………………………12 分 5. 解：（ 1）（ 4， 2）；（ m,km ） (2) ①由于雙曲線是關于原點成中心對稱的，所以 OP=OQ,OA=OB,所以四邊形 APBQ一定是平行四邊形 ②可 能是矩形， mn=k即可 不可能是正方形，因為 Op不能與 OA垂直 . 解：（ 1）作 BE⊥ OA， ∴ Δ AOB是等邊三角形 ∴ BE=OB sin60o=23， ∴ B(23,2) ∵ A(0,4),設 AB的解析式為 4y kx??,所以 2 3 4 2k??,解得 33k?? ,的以直線 AB的解析式為 3 43yx?? ? （ 2）由旋轉知， AP=AD, ∠ PAD=60o, ∴ Δ APD是等邊三角形 ， PD=PA= 22 19AO OP?? 6. 解 ：（ 1） 作 BE⊥ OA， ∴ Δ AOB是等邊三角形 ∴ BE=OB sin60o=23，∴ B(23,2) ∵ A(0,4),設 AB的解析式為 4y kx??,所以 2 3 4 2k??,解得 33k?? , 以直線 AB的解析式為 3 43yx?? ? （ 2）由旋轉知， AP=AD, ∠ PAD=60o, ∴ Δ APD是等邊三角形 ， PD=PA= 22 19AO OP?? （ 1）① 2AB? … ……… …… …… … ………………………… …… …………… ……… 2分 8 42OA??， 4OC? ， S 梯形 OABC=12 … … …… …… … … ……………… ……… 2 分 ②當 42 ??t 時， 直角梯形 OABC 被直線 l 掃過的面積 =直角梯形 OABC 面 積－ 直角三角開DOE 面積 211 2 ( 4 ) 2 ( 4 ) 8 42S t t t t? ? ? ? ? ? ? ? ?… …… …… … … … …………… ……… 4 分 （ 2） 存在 … ……… …… …… … ………………………………… …… …………… ……… 1 分1 2 3 4 58( 1 2 , 4 ) , ( 4 , 4 ) , ( , 4 ) , ( 4 , 4 ) , ( 8 , 4 )3P P P P P? ? ? …（每個點對各得 1 分）…… 5 分 對于第 （ 2）題我們提供如 下詳細解答（評分無此要求） .下面提供參考解法二： ① 以點 D 為直角頂點 ，作 1PP x? 軸 同理在③二圖中分別可得 P 點的生標為 P（－ 4， 4）（與①情形二重合舍去）、 P（ 4，4）， E 點在 A 點下方不可能 . 綜上可得 P 點的生標共 5 個解，分別為 P（－ 12， 4）、 P（－ 4， 4）、 P（－ 83 ， 4）、 P（ 8， 4）、 P（ 4， 4）． 下面提供參考解法二： 以直角進行分類進行討論（分三類）： 第一類如上解法⑴中所示圖22P D E y x b? ? ?為 直 角 ： 設 直 線 ： ，D此 時 （ b,o) ， E(O,2b) 的 中 點 坐 標 為 b(,b)2 ，直線 DE 的中垂線方程： 1 ()22by b x? ? ? ?，令 4y? 得3( 8,4)2bP ? ．由已知可得 2PE DE? 即 2 2 2 232 ( 8 ) ( 4 2 ) 42 b b b b? ? ? ? ? ?化簡得 23 32 64 0bb? ? ?解得 1 2 188 3b b P P? ? ? ?3b， 將 之 代 入 （ 8 ， 4 ） （ 4 ， 4) 、2 2( 4,4)P? ； 第二類如上解法②中所示圖22E D E y x b? ? ?為