物理競賽專題五：極限法-文庫吧
2024-12-25 18:53 本頁面
【正文】 的半徑為 r。試證明：從地面上將衛(wèi)星發(fā)射至運行軌道，發(fā)射速度 )2( 00 rRgRv ??，并用該式求出這個發(fā)射速度的最小值和最大值。（取 R0= 106m），設(shè)大氣層對衛(wèi)星的阻力忽略不計，地面的重力加速度為 g） 解析：由能量守恒定律，衛(wèi)星在地球的引力場中運動時總機械能為一常量 。設(shè)衛(wèi)星從地面發(fā)射的速度為 發(fā)v ，衛(wèi)星發(fā)射時具有的機械能為 021 21 RMmGmvE ?? 發(fā) ① 進入軌道后衛(wèi)星的機械能為 rMmGmvE ?? 22 21 軌 ② 由 E1=E2，并代入 ,rGMv ?軌解得發(fā)射速度為 )2( 00 rRRGMv ??發(fā) ③ 又因為在地面上萬有引力等于重力，即： gRRGMmgRMmG 0020 ?? 所以④ 把④式代入③式即得： )2( 00 rRgRv ??發(fā) （ 1）如果 r=R0，即當(dāng)衛(wèi)星貼近地球表面做勻速圓周運動時，所需發(fā)射速度最小 為 smgRv / 30m in ??? . （ 2）如果 ??r ，所需發(fā)射速度最大（稱為第二宇宙速度或脫離速度）為 smgRv / 30m a x ??? 例 7：如圖 5— 6 所示，半徑為 R 的勻質(zhì)半球體，其重心在球心 O 點正下方 C 點處， OC=3R/8， 半球重為 G，半球放在 水平面上， 在半球的平面上放一重為 G/8 的物體，它與半 5 球平在間的動摩擦因數(shù) ?? ， 求無滑動時物體離球心 圖 5— 6 O 點最大距離是多少？ 解析：物體離 O 點放得越遠，根據(jù)力矩的平衡，半球體轉(zhuǎn)過的角度 ? 越大，但物體在球體斜面上保持相對靜止時， ? 有限度。 設(shè)物體距球心為 x 時恰好無滑動，對整體以半球體和地面接觸點為軸，根據(jù)平衡條件有： ?? c os8s in83 xGRG ?? 得 ?tan3Rx? 可見， x 隨 ? 增大而增大。臨界情況對應(yīng)物體所受摩擦力為最大靜摩擦力，則： RRxNf mm , a n ????? ??? 所以. 例 8：有一質(zhì)量為 m=50kg 的直桿，豎立在水平地面上，桿與地面間 靜摩擦因數(shù) ?? ，桿的上端固定在地面上的繩索拉住，繩 與桿的夾角 ?30?? ，如圖 5— 7 所示。 （ 1）若以水平力 F 作用在桿上，作用點 到地面的距離 LLh (5/21 ? 為桿長），要使桿不滑倒，力 F 最大不能越過多少？ （ 2）若將作用點移到 5/42 Lh ? 處時，情況又如何？ 解析：桿不滑倒應(yīng)從兩方面考慮，桿與地面間的靜摩擦力達到極限的前提下，力的大小還與 h 有關(guān)，討論力與 h 的關(guān)系是關(guān)鍵。 桿的受力如圖 5— 7— 甲所示，由平衡條件得 0)(0c o s0sin?????????fLhLFmgTNfTF?? 另由上式可知， F 增大時， f 相應(yīng)也增大，故當(dāng) f 增大到最大靜摩擦力時，桿剛要滑倒，此時滿足： Nf ?? 解得：hhL m gLF m as ??? ?? ?/tan)( tan 由上式又可知，當(dāng) LhhhL ,/t a n)( 0 ????? 即當(dāng)?? 時對 F 就沒有限制了。 （ 1）當(dāng)01 52 hLh ??，將有關(guān)數(shù)據(jù)代入 maxF 的表達式得 圖 5— 7 圖 5— 7— 甲 6 NF 385max ? （ 2）當(dāng) ,5402 hLh ??無論 F為何值，都不可能使桿滑倒，這種現(xiàn)象即稱為自鎖。 例 9：放在光 滑水平面上的木板質(zhì)量為 M，如圖 5— 8 所示，板上有 質(zhì)量為 m 的小狗以與木板成 ? 角的初速度 0v （相對于地面） 由 A 點跳到 B 點，已知 AB 間距離為 s。求初速度的最小值。 圖 5— 8 解析：小狗跳起后，做斜上拋運動，水平位移向右，由于水平方向動量守恒，木板向左運動。小狗落到板上的 B 點時，小狗和木板對地位移的大小之和，是小狗對木板的水平位移。 由于水平方向動量守恒，有 MmvvMvmv ?? s i nc os 00 ?? 即 ① 小 狗在空中做斜拋運動的時間為 gvt ?sin2 0? ② 又 vttvs ??? ?cos0 ③ 將①、②代入③式得 ?2sin)(0 mM Mgsv ?? 當(dāng)0,4,12s in v時即 ??? ??有最小值，mMMgsv ??min0。 例 10：一小物塊以速度 smv /100 ? 沿光滑地面滑行，然后沿光滑 曲面上升到頂部水平的高臺上，并由 高臺上飛出，如圖 5— 9 所示， 當(dāng)高臺的高度 h 多大時，小物塊飛行的水平距離 s 最 大？這個距離是多少？（ g 取 10m/s2） 解析：依題意，小物塊經(jīng)歷兩個過程。在脫離曲面頂部之前，小物塊受重力和支持力，由于支持力不做功，物塊的機械能守恒，物塊從高臺上飛出后，做平拋運動，其水平距離 s 是高度 h 的函數(shù)。 設(shè)小物塊剛脫離曲面頂部的速度為 v ，根據(jù)機械能守恒定律， m ghmvmv ?? 220 2121 ① 小物塊做平拋運動的水平 距離 s 和高度 h 分別為： 221gth? ② vts? ③ 圖 5— 9 7 以上三式聯(lián)立解得： 22022020 )4()4(222 gvhgvghghvs ????? 當(dāng) mgvh 20 ?? 時，飛行距離最大，為 mgvs 5220max ??。 例 11：軍訓(xùn)中，戰(zhàn)士距墻 s，以速度 0v 起跳，如圖 5— 10 所示， 再用腳蹬墻面一次，使身體變?yōu)樨Q直向上的運動以繼續(xù) 升高，墻面與鞋底之間的靜摩擦因數(shù)為 ? 。求能使人體 重心有最大總升高的起跳角 ? 。 圖 5— 10 解析：人體重心最大總升高分為兩部分，一部分是人做斜上拋運動上升的高度，另一部分是人蹬墻所能上升的高度。 如圖 5— 10— 甲，人做斜拋運動 ?cos0vvx ? ，
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