【正文】 A 旋轉(zhuǎn)一周，在 旋轉(zhuǎn)的過程中， DBFS△ 是否存在最大值、最小值？如果存在，直接寫出最大值、最小值；如果不存在，請說明理由． 25. （ 2022 年上海市） 已知 24AB AD??， ， 90DAB??， AD BC∥ （如圖 13）． E 是射線BC 上的動點(diǎn)（點(diǎn) E 與點(diǎn) B 不重合）， M 是線段 DE 的中點(diǎn)． （ 1）設(shè) BE x? ， ABM△ 的面積為 y ，求 y 關(guān)于 x 的函數(shù)解析式，并寫 出函數(shù)的定義域； （ 2）如果以線段 AB 為直徑的圓與以線段 DE 為直徑的圓外切，求線段 BE 的長； （ 3）聯(lián)結(jié) BD ，交線段 AM 于點(diǎn) N ，如果以 A N D， ， 為頂點(diǎn)的三角形與 BME△ 相似，求線段BE 的長． 14 26. （ 2022 年陜西省） 某縣社會主義新農(nóng)村建設(shè)辦公室，為了解決該縣甲、乙兩村和一所中學(xué)長期存在的飲水困難問題，想在這三個(gè)地方的其中一處建一所供水站．由供水站直接鋪設(shè)管道到另外兩處． 如圖，甲，乙兩村坐落在夾角為 30 的兩條公路的 AB 段和 CD 段（村子和公路的寬 均不計(jì)），點(diǎn)M 表示這所中學(xué)．點(diǎn) B 在點(diǎn) M 的北偏西 30 的 3km 處，點(diǎn) A 在點(diǎn) M 的正西方向，點(diǎn) D 在點(diǎn) M的南偏西 60 的 23km 處． 為使供水站鋪設(shè)到另兩處的管道長度之和最短，現(xiàn)有如下三種方案： 方案一：供水站建在點(diǎn) M 處，請你求出鋪設(shè)到甲村某處和乙村某處的管道長度之和的最小值； 方案二：供水站建在乙村（線段 CD 某處），甲村要求管道建設(shè)到 A 處，請你在圖 ① 中，畫出鋪設(shè)到點(diǎn) A 和點(diǎn) M 處的管道長度之和最小的線路圖，并求其最小值； 方案三：供水站建在甲村（線段 AB 某處），請你在圖 ② 中，畫出鋪設(shè)到乙村某處和點(diǎn) M 處的管道長度之和最小的線路圖，并求其最小值． 綜上，你認(rèn)為把供水站建在何處，所需鋪設(shè)的管道最短？ 27. （ 2022 年山東省青島市） 已知：如圖 ① ，在 Rt△ ACB中，∠ C＝ 90176。， AC＝ 4cm， BC＝ 3cm，點(diǎn) P由 B出發(fā)沿 BA 方向向點(diǎn) A勻速運(yùn)動，速度為 1cm/s；點(diǎn) Q由 A出發(fā)沿 AC方向向點(diǎn) C勻速運(yùn) 15 動，速度為 2cm/s；連接 PQ．若設(shè)運(yùn)動的時(shí)間為 t（ s）（ 0＜ t＜ 2），解答下列問題： （ 1）當(dāng) t為何值時(shí)， PQ∥ BC？ （ 2）設(shè)△ AQP的面積為 y（ 2cm ），求 y與 t之間的函數(shù)關(guān)系式； （ 3）是否存在某一時(shí)刻 t，使線段 PQ 恰好把 Rt△ ACB 的周長和面積同時(shí)平分？若存在，求出此時(shí) t的值；若不存在，說明理由； （ 4）如圖 ② ，連接 PC，并把△ PQC 沿 QC翻折，得到四邊形 PQP′ C，那么是否存在某一時(shí)刻 t，使四邊形 PQP′ C為菱形？若存在，求出此時(shí)菱形的邊長；若不存在，說明理由． 28. （ 2022 年江蘇省南通市） 已知雙曲線 ky x? 與直線 14yx? 相交于 A、 B兩點(diǎn) .第一象限上的點(diǎn)M（ m， n）（在 A點(diǎn)左側(cè)）是雙曲線 ky x? 上的動點(diǎn) .過點(diǎn) B作 BD∥ y軸于點(diǎn) N（ 0，－ n）作NC∥ x軸交雙曲線 ky x? 于點(diǎn) E，交 BD于點(diǎn) C. （ 1）若點(diǎn) D坐標(biāo)是（－ 8， 0），求 A、 B兩點(diǎn)坐標(biāo)及 k的值 . （ 2）若 B是 CD的中點(diǎn)，四邊形 OBCE 的面積為 4，求直線 CM的解析式 . （ 3）設(shè)直線 AM、 BM分別與 y軸相交于 P、 Q兩點(diǎn)，且 MA＝ pMP， MB＝ qMQ，求 p－ q的值 . 29. （ 2022 年江蘇省無錫市） 一種電訊信號轉(zhuǎn)發(fā)裝置的發(fā)射直徑為 31km．現(xiàn)要求：在一邊長為30km 的正方形城區(qū)選擇若干個(gè)安裝點(diǎn)，每個(gè)點(diǎn)安裝一個(gè)這種轉(zhuǎn)發(fā)裝置，使這些裝置轉(zhuǎn)發(fā)的信號 16 能完全覆蓋這個(gè)城市．問： （ 1）能否找到這樣的 4 個(gè)安裝點(diǎn)，使得這些點(diǎn)安裝了這種轉(zhuǎn) 發(fā)裝置后能達(dá)到預(yù)設(shè)的要求？ （ 2）至少需要選擇多少個(gè)安裝點(diǎn)，才能使這些點(diǎn)安裝了這種轉(zhuǎn)發(fā)裝置后達(dá)到預(yù)設(shè)的要求？ 答題要求： 請你在解答時(shí)，畫出必要的示意圖，并用必要的計(jì)算、推理和文字來說明你的理由．（下面給出了幾個(gè)邊長為 30km 的正方形城區(qū)示意圖，供解題時(shí)選用） 17 壓軸題答案 1. 解：（ 1）由已知得： 310c bc???? ? ? ??解得 c=3,b=2 ∴拋物線的線的解析式為 2 23y x x? ? ? ? (2)由頂點(diǎn)坐標(biāo)公式得頂點(diǎn)坐標(biāo)為（ 1， 4） 所以對稱軸為 x=1,A,E關(guān)于 x=1 對稱，所以 E(3,0) 設(shè)對稱軸與 x軸的交點(diǎn)為 F 所以四邊形 ABDE的面積 = ABO D FEBO FDS S S????梯 形 = 1 1 1()2 2 2A O B O B O D F O F E F D F? ? ? ? ? ? = 1 1 11 3 ( 3 4 ) 1 2 42 2 2? ? ? ? ? ? ? ?=9 （ 3）相似 如圖， BD= 2 2 2 21 1 2B G D G? ? ? ? BE= 2 2 2 23 3 3 2B O O E? ? ? ? DE= 2 2 2 22 4 2 5D F E F? ? ? ? 所以 2220BD BE??, 2 20DE? 即： 2 2 2BD BE DE??,所以 BDE? 是直角三 角形 所以 90AOB DBE? ? ? ? ?,且 22AO BOBD BE??, 所以 AOB DBE??. 18 2. (1) ∵ A， B 兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別是 A(10， 0)和 B(8， 32 )， ∴ 3810 32O A Btan ???? ， ∴ ??? 60OAB 當(dāng)點(diǎn) A180。在線段 AB 上時(shí)， ∵ ??? 60OAB ， TA=TA180。， ∴△ A180。TA 是 等邊三角形，且 ATTP ?? ， ∴ )t10(2360s i n)t10(TP ????? ， )t10(21AT21APPA ????? ， ○ 2 當(dāng) 6t2 ?? 時(shí)，由圖 ○ 1 ，重疊部分的面積 EBATPA SSS ???? ?? ∵ △ A180。EB 的高是 ?? 60sinBA ， ∴ 23)4t10(21)t10(83S 22 ?????? 34)2t(83)28t4t(83 22 ???????? 19 當(dāng) t=2 時(shí)， S 的值最大是 34 ； ○ 3 當(dāng) 2t0 ?? ，即當(dāng)點(diǎn) A180。和點(diǎn) P 都在線段 AB 的延長線是 (如圖 ○ 2 ，其中 E 是 TA180。與 CB 的交點(diǎn)， F 是 TP 與 CB 的交點(diǎn) )， ∵ E T FFT PE F T ????? ，四邊形 E AB 是等腰形， ∴ EF=ET=AB=4， ∴ 3432421OCEF21S ?????? 綜上所述， S 的最大值是 34 ，此時(shí) t 的值是 2t0 ?? . 3. 解：（ 1） RtA? ? ? ， 6AB? ， 8AC? ， 10BC??． 點(diǎn) D 為 AB 中點(diǎn)， 1 32BD AB? ? ?． 90DHB A? ? ? ?， BB? ?? ． BH D BA C?△ ∽ △ ， DH BDAC BC??， 3 1 281 0 5BDD H A CBC? ? ? ? ?． （ 2） QR AB∥ ， 90QR C A? ? ? ? ?． CC? ?? ， RQC ABC?△ ∽ △ ， RQ QCAB BC??， 106 10yx??? ， 即 y 關(guān)于 x 的函數(shù)關(guān)系式為： 3 65yx?? ? ． （ 3）存在，分三種情況： ① 當(dāng) PQ PR? 時(shí)，過點(diǎn) P 作 PM QR? 于 M ，則 QM RM? ． 20 1 2 90? ?? ? ， 2 90C? ?? ? ， 1 C?? ?? ． 84c o s 1 c o s 1 0 5C? ? ? ? ?， 45QMQP??， 13 642512 55x??????????， 185x?? ． ② 當(dāng) PQ RQ? 時(shí)， 3 12655x? ? ? ， 6x??． ③ 當(dāng) PR QR? 時(shí)，則 R 為 PQ 中垂線上的點(diǎn)， 于是 點(diǎn) R 為 EC 的中點(diǎn)， 21 11 224C R C E A C? ? ? ?． ta n QR BAC CR CA??， 3 6 6528x????， 152x?? ． 綜上所述，當(dāng) x 為 185 或 6 或 152 時(shí)， PQR△ 為等腰三角形． 4. 解： （ 1） ∵M(jìn)N∥ BC， ∴∠ AMN=∠ B， ∠ ANM＝ ∠ C． ∴ △ AMN ∽ △ ABC． ∴ AM ANAB AC?，即 43x AN? ． ∴ AN＝43x． ……………2 分 ∴ S = 21 3 32 4 8M N P A M NS S x x x??? ? ? ? ?． （ 0＜ x ＜ 4） ……………3 分 （ 2）如圖 2，設(shè)直線 BC 與 ⊙O 相切于點(diǎn) D，連結(jié) AO， OD，則 AO =OD =21MN． 在 Rt△ ABC 中， BC ＝ 22AB AC? =5． 由（ 1）知 △ AMN ∽ △ ABC． 22 ∴ AM MNAB BC?，即 45x MN? ． ∴ 54MN x? ， ∴ 58OD x? ． …………………5 分 過 M 點(diǎn)作 MQ⊥ BC 于 Q，則 58MQ OD x??． 在 Rt△ BMQ 與 Rt△ BCA 中， ∠B 是公共角， ∴ △ BMQ∽△ BCA． ∴ BM QMBC AC?． ∴ 55 2583 2 4xBM x???， 25 424A B B M M A x x? ? ? ? ?． ∴ x＝4996． ∴ 當(dāng) x ＝4996時(shí)，⊙ O 與直線 BC 相切 ． … … … … … … … … … … … … … 7 分 故 以下分兩種情況討論： ① 當(dāng) 0＜ x ≤ 2 時(shí)， 2Δ 83 xSy PMN ??． ∴ 當(dāng) x ＝ 2 時(shí)， ? ? ?最 大 ……………………………………8 分 23 ② 當(dāng) 2＜ x ＜ 4 時(shí)，設(shè) PM， PN 分別 交 BC 于 E， F． ∵ 四邊形 AMPN 是矩形 ， ∴ PN∥ AM， PN＝ AM＝ x． 又 ∵ MN∥ BC， ∴ 四邊形 MBFN 是平行四邊形． ∴ FN＝ BM＝ 4－ x． ∴ ? ?4 2 4P F x x x? ? ? ? ?． 又 △ PEF ∽ △ ACB． ∴ 2 PEFABCSPFAB S????????? ． ∴ ? ?23 22PEFSx? ??． … … … … … … … … … … … … … … … … … … 9 分 MNP PEFy S S????＝ ? ? 2223 3 92 6 68 2 8x x x x? ? ? ? ? ?． … … … … … … … … 10 分 當(dāng) 2＜ x ＜ 4 時(shí)， 29 668y x x? ? ? ? 298 283x??? ? ? ?????． ∴ 當(dāng) 83x? 時(shí)， 滿足 2＜ x ＜ 4， 2y ?最 大 ． ……………………11 分 綜上所述，當(dāng) 83x? 時(shí)， y 值最大，最大值是 2． …………………………12 分 5. 解：（ 1）（ 4， 2）；（ m,km ） 24 (2) ①由于雙曲線是關(guān)于原點(diǎn)成中心對稱的，所以 OP=OQ,OA=OB,所以四邊形 APBQ一定是平行四邊形 ②可能是矩形， mn=k即可 不可能是正方形，因?yàn)?Op不能與 OA垂直 . 解：（ 1）作 BE⊥ OA， ∴ Δ AOB是等邊三角形 ∴ BE=OB sin60o=23， ∴ B(23,2) ∵ A(0,4),設(shè) AB的解析式為 4y kx??,所以 2 3 4 2k??,解得 33k?? ,的以直線 AB的解析式為 3 43yx?? ? （ 2）由旋轉(zhuǎn)知， AP=AD, ∠ PAD=60o, ∴ Δ APD是等邊三角形 ， PD=PA= 22 19AO OP?? 6. 解 ：（ 1） 作 BE⊥ OA， ∴ Δ AOB是等邊三角形 ∴ BE=OB sin60o=23，∴ B(23,2) ∵ A(0,4),設(shè) AB的解析式為 4y kx??,所以 2 3 4 2k??,解得 33k?? , 以直線 AB的解析式為 3 43yx?? ? （ 2）由旋轉(zhuǎn)知， AP=AD, ∠ PAD=60o, ∴ Δ APD是等邊三角形 ， PD=PA= 22 19AO OP?? 6. 解 ：（ 1） 作 BE⊥ OA， ∴ Δ AOB是等邊三角形 ∴ BE=OB sin60o=23，∴ B(23,2) ∵ A(0,4),設(shè) AB的解析式為 4y kx??,所以 2 3 4 2k??,解得 33k?? , 25 以直線 AB的解析式為 3 43yx?? ? （ 2）由旋轉(zhuǎn)知， AP=AD, ∠ PAD=60o, ∴ Δ APD是等邊三角形 ， PD=PA= 22 19AO OP?? 如圖，作 BE⊥ AO,DH⊥ OA,GB⊥ DH,顯然 Δ GBD中 ∠ GBD=30176。 ∴ GD=12 BD= 32 ,DH=GH+GD= 32 +23=532 , ∴ GB= 32 BD=32 ,OH=OE+HE=OE+BG= 372 22?? ∴ D(532 ,72 ) (3)設(shè) OP=x,則由（ 2）可得 D( 32 3 , 2 2xx??)若 Δ OPD的面積為： 1 3 3(2 )2 2 4xx?? 解得： 2 3 213x ??? 所以 P( 2 3 213??,0) 26 (1)① ,BG DE BG DE?? ? ?????????? ??? ?? ????? ??? 2 分 ② ,BG DE BG DE??仍然成立 ???????????????????? 1 分 在圖（ 2）中證明如下 ∵四邊形 ABCD 、四邊形 ABCD 都是正方形 ∴ BC CD? ， CG CE? ， 090BCD ECG? ? ? ? ∴ BCG DCE? ? ? ????????????????????????? 1 分 ∴ BCG DCE? ? ? （ SAS）????????????????????? 1 分 ∴ BG DE? CBG CDE? ? ? 又∵ BHC DHO? ? ? 090CBG BH C? ? ? ? ∴ 090CD E D H O? ? ? ? ∴ 090DOH?? ∴ BG DE? ???????????????????????????? 1 分 （ 2） BG DE? 成立， BG DE? 不成立 ??????????????????? 2 分 簡要說明如下 ∵四邊形 ABCD 、四邊 形 CEFG 都是矩形， 且 AB a? ， BC b? ， CG kb? ， CE ka? (ab? ， 0k? ) 27 ∴ BC CG bDC CE a??， 090BCD ECG? ? ? ? ∴ BCG DCE? ? ? ∴ BCG DCE????? ? ??????? ??? ??? ??????? ??? 1 分 ∴ CBG CDE? ? ? 又∵ BHC DHO? ? ? 090CBG BH C? ? ? ? ∴ 090CD E D H O? ? ? ? ∴ 090DOH?? ∴ BG DE? ????????????????????????????? 1 分 （ 3） ∵ BG DE? ∴ 2 2 2 2 2 2 2 2BE D G O B O E O G O D BD G E? ? ? ? ? ? ? 又∵ 3a? ， 2b? ， k? 12 ∴ 2 2 2 2 2 23 6 52 3 1 ( )24B D G E? ? ? ? ? ? ????? ??? ?? ????? ??? 1 分 ∴ 22654BE DG?? ?? ??? ?? ?? ? ???????? ? ????? ??? 1 分 （ 1）① 2AB? ? ??? ?? ?? ? ?????????? ?? ????? ??? 2 分8 42OA??， 4OC? ， S 梯形 OABC=12 ? ? ?? ?? ? ? ?????? ??? 2 分 ②當(dāng) 42 ??t 時(shí)， 直角梯形 OABC 被直線 l 掃過的面積 =直角梯形 OABC 面 積－ 直角三角開 DOE 面積 28 211 2 ( 4 ) 2 ( 4 ) 8 42S t t t t? ? ? ? ? ? ? ? ?? ?? ?? ? ? ?????? ??? 4 分 （ 2） 存在 ? ??? ?? ?? ? ????????????? ?? ????? ??? 1 分1 2 3 4 58( 1 2 , 4 ) , ( 4 , 4 ) , ( , 4 ) , ( 4 , 4 ) , ( 8 , 4 )3P P P P P? ? ? ?（每個(gè)點(diǎn)對各得 1 分）?? 5 分 對于第 （ 2）題我們提供如 下詳細(xì)解答（評分無此要求） .下面提供參考解法二： ① 以點(diǎn) D 為直角頂點(diǎn) ，作 1PP x? 軸 29 同理在③二圖中分別可得 P 點(diǎn)的生標(biāo)為 P（－ 4， 4）（與①情形二重合舍去）、 P（ 4， 4）， E 點(diǎn)在 A 點(diǎn)下方不可能 . 綜上可得 P 點(diǎn)的生標(biāo)共 5 個(gè)解，分別為 P（－ 12， 4）、 P（－ 4， 4）、 P（－ 83 ， 4）、 P（ 8， 4）、 P（ 4， 4）． 下面提供參考解法二： 以直角進(jìn)行分類進(jìn)行 討論（分三